11.1 奇校验码码字是c?(m0,m1,?,mk?1,p),其中奇校验位p满足方程

m0?m1???mk?1?p?1 mod 2

证明奇校验码的检错能力与偶奇校验码的检错能力相同，但奇校验码不是线性分组码。 证明提示：

奇数个差错的发生总导致校验方程不满足。全0向量不是奇校验码码字。

11.2 一个(6,2)线性分组码的一致校验矩阵为

?h1?hH??2?h3??h410001?00011?? 00101??01110?(1)求hi,i?1,2,3,4使该码的最小码距dmin?3。 (2)求该码的系统码生成矩阵Gs及其所有4个码字。 解题提示：

(1)对H作行初等变换得

h1??h?hH???21?h3?h1??h4?h2?h310001?10010?? 10100??01000?要使最小码距等于3，有h1, h1?h2, h1?h3, h4?h2?h3中任意两项为1，其余为零。当要使最小码距大于3，有

中三项或四项均为1，其余为零。有h1, h1?h2, h?h3, ?h4?hh12上述关系可以求得一组或多组关于hi,i?1,2,3,4的解。 (2)对H?作行初等变换得

?h4?h2?h3?h?hH????31?h2?h1?h1?01000?10100?????Q?TI? r?10010??k?r?10001?

11.3 一个纠错码消息与码字的对应关系如下：

(00)—(00000)，(01)—(00111)，(10)—(11110)，(11)—(11001)

(1)证明该码是线性分组码

(2)求该码的码长，编码效率和最小码距。 (3)求该码的生成矩阵和一致校验矩阵。 (4)构造该码BSC上的标准阵列。

(5)若在转移概率p?10?3的BSC上，消息等概发送，求用标准阵列

译码后的码字差错概率和消息比特差错概率。 解题提示：

(1)任意两个码字的和是另一个码字且全零向量为码字。 (2)码长为向量长，即n?5。码字数为

4，故R?logqMn?log422?。55最小非零码字的重量为minw?d?3。

(3)因为码字数为4，任意两非零码字构成生成矩阵的行向量

G??11110?。按G与H正交的条件，解得H的一种可能情况??00111???11110?等于?11000?。

??01101??(4)标准阵列见题表(11.1)。

题表(11.1) 标准阵列

c0＝00000 00000 00001 00010 00100 01000 10000 10010 10100 c1＝00111 00111 00110 00101 00011 01111 10111 10101 10011 c2＝11110 11110 11111 11100 11010 10110 01110 01100 01010 c3＝11001 11001 11000 11011 11101 10001 01001 01011 01101 e0＝00000 e1＝00001 e2＝00010 e3＝00100 e4＝01000 e5＝10000 e6＝10010 e7＝10100

(5)按题解(4)的标准阵列译码，记Ac是标准阵列中码字c对应的列，

E是包括无错图案和全部可纠正差错图案的集合，那么码字

差错概率为

??P(e)?1?P(c)P(r?c?e?A)?1?P(c)P(e)???Wc??c?Cc?C?e?E??? ?1?P(c)???P(e)? (P(c)均匀分布，信道差错均匀分布)

c?C?e?E?1543 ?1??4???1?p??5p?1?p??2p2?1?p????4记消息比特差错概率为Pb(e)，消息向量差错概率为PB(e)，注意到该码是非系统码以及消息向量长为2，则应有

PW(e)?PB(e)?1?PB(c)?1??1?Pb(e)?

23Pb(e)?1?1?PW(e)?1??1?p?1?2p?5p?2p

2

11.4 证明线性分组码的码字重量或者为偶数(包括0)或者恰好一半为

偶数(包括0)另一半为奇数。 证明提示：

若码字重量全为奇数，则码不含全零码字，故不是线性码。 若码字重量全为偶数，则任意两偶数重量的码字c与c'相加仍为偶数重码字，故所有码字均可以是偶数重码字。

若M0个偶数重量的码字集合?c?{c}和M1个奇数重量码字为集合?c??，则根据二元线性分组码的任意码字重量满足

wH?c?c'??wH?c??wH?c'??2wH?c?c'?可得：对固定的奇数重码字c1?有

???c??M0?M1。又对任意奇数重码字c?j，???c???c??，所以c1c1??c?jj?2,3,???,M1???c?????，所以j?2,3,???,M1，由c1?c?j??而有，?c1M1?1?M0?1，由此证明M0?M1。

11.5一个通信系统消息比特速率为10 Kbps，信道为衰落信道，在衰落

时间(最大为2 ms)内可以认为完全发生数据比特传输差错。 (1)求衰落导致的突发差错的突发比特长度。 (2)若采用Hamming码和交织编码方法纠正突发差错，求Hamming

码的码长和交织深度。

(3)若用分组码交织来纠正突发差错并限定交织深度不大于256，求

合适的码长和最小码距。

(4)若用BCH码交织来纠正突发差错并限定交织深度不大于256，

求合适的码长和BCH码生成多项式。 解题提示：

(1)突发长度为b?10?103?2?10?3?20bits。

(2)汉明码可纠正t＝1个差错，所以交织深度D为b/t?20。由于没

有延迟限制，所以任何码长汉明码均可。 (3)由b?D?t?256?t?256????d?1?2??，以及d?n?k?1设计。

11.6 若循环码以g(x)?1?x为生成多项式，则 (1)证明g(x)可以构成任意长度的循环码； (2)求该码的一致校验多项式h(x)； (3)证明该码等价为一个偶校验码。 解题提示：

(1)由xn?1?(x?1)(xn?1?xn?2?xn?3???1)， 1?x总是xn?1的因子。 (2)一致效验多项式为h(x)?xn?1/g(x)?1?x?x2??xn?1。

(3)对生成矩阵作行初等变换总能获得偶校验码的生成矩阵形式。

?1?0?????0??010??000??10?0111??000???行初等变换??????????????????00??110??00?00??011??(n?1)?n?00?001??001?? ???????101??011??(n?1)?n

11.7 已知(8,5)线性分组码的生成矩阵为

?1?0?G??0??0??00000111?1000100??0100010?，

?0010001?0001111??(1)证明该码为循环码；

(2)求该码的生成多项式g(x)，一致校验多项式h(x)和最小码距d。