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浅谈平面几何证明中的辅助线

作者：郑海彬

来源：《试题与研究·教学论坛》2016年第26期

引言

辅助线的添法灵活多变，其作用主要在于沟通“条件”和“结论”。具体问题具体分析，本人通过在实际问题中操练、总结，认为添加辅助线的方法主要有如下几种：（1）从图形考虑（2）从要证明的结论考虑；（3）从添辅助线的作用考虑。 一、三角形

三角形作辅导线一般遵循如下三个原则：

第一，在三角形中，已知一条中线，常把延长一倍构成全等三角形或平行四边形，或把一边延长一倍造中位线，或取另一边的中点作成中位线。

第二，在三角形中，若已知两条或三条中线时，则常联结两个中点作成中位线或延长某一中线到它的三分之一处，使之与重心、两个顶点构成平行四边形。

第三，在等腰三角形中。常引底边上的高或顶角的平分线；在直角三角形中，则常引斜边上的中线或高。

如下例，为常用的辅助线做法： 1.延长中线构造全等三角形

例1 如图，已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，求证：1 分析：延长AD至A′，使A′D=AD，联结BA′.根据“SAS”易证△A′BD≌△ACD，得A′B=AC。这样将AC转移到△A′BA中，根据三角形三边关系定理可解。 2.引平行线构造全等三角形

例2 如图，已知△ABC中，AB=AC，D在AB上，E是AC延长线上一点，且BD=CE，DE与BC交于点F.求证：DF=EF。

分析：此题辅助线作法较多，如：①作DG∥AE交BC于G；②作EH∥BA交BC的延长线于H；再通过证三角形全等得DF=EF。