数学系数学与应用数学2009级本科毕业论文

??1a33a3??xdydz?ydxdz?zdxdy

? ???xdydz

? ?3222222[a-x-ydxdy?(?a-x-y)dxdy] 3????aDxyDxy6a3 ?Dxy??a2-x2-y2dxdy

623??a 3a3 ?4?

?8.2 计算??分.

分析：?关于xoy面对称,而xyz是关于z的奇函数,满足“反对奇倍”, 故有, ??2??xyzdxdy,其中?是球面:x?2?y2?z2?1的外侧,位于x?0,y?0的部

??xyzdxdy

?1 ?2Dxy22xy1-x-ydxdy ???033 ??2sin?d??r1-rdr

01 ?2 152222其中?1: z?1-x-y, (x,y)?Dxy?{(x,y)|x?y?1,x?0,y?0}

8.3[10] 计算??22(x?yz)dydz?(y-xz)dxdz?2zdxdy,其中?是锥面：???z?1?x2?y2被平面z?0所截得的部分,取上侧.

分析：?? ???(x?2?yz)dydz?(y2-xz)dxdz?2zdxdy

22(x?yz)dydz?(y????-xz)dxdz???2zdxdy ??? ?0?0?2 ?2??zdxdy

?Dxy22(1?x?y)dxdy ?? ?2?2?0d??(1?r)rdr

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?2? 3其中Dxy?{(x,y)|x2?y2?1}

8.4[10] 计算??xyz222r?x?y?z,其中, ?是球面：dydz?dxdz?dxdy333??rrr?x2?y2?z2?a2(a?0)的外侧.

分析：根据?的轮换对称性,可知, ??3zdydz ??3?r ?6zdydz (反对奇倍) ??3?1r ?6Dxy??a2?x2?y2a3dxdy

?4?

8.5 设?是球面：x?y?z?R,在下面四组积分中,同一组的两个积分均为0的是：（C）

2222A. ????x2ds, ????x2dydz

??B. ????xds, ????xdydz

??C. ????xds, ????x2dydz

??D. ????xyds, ????ydydz

??分析：由于曲面?关于yoz平面对称,被积函数 x,xy关于x为奇函数,被积函数x关于x为偶函数.故有, 第一型曲面积分 ??2??xds?0, ????xyds?0,

??2x??ds?? ??1222(x?y?z)ds ??3? ?第二型曲面积分 ??1442Rds??R 3??3???xdydz?0

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????xdydz?2?y?z2?R22??R2?y2?z2dydz?0

????ydydz?2?y2?x2?R2??R2?x2?z2dxdz?0

8.6 [6] 设?是球面：x2?y2?z2?1的上半部分,则下列错误的是：（B）

A. ????x2dydz?0 B. ????xdydz?0

??C. ????y2dydz?0 D. ????ydydz?0

??分析：由于曲面?关于yoz 面对称,被积函数x关于x为奇函数,被积函数x,y,y关于x为偶函数.

22????x2dydz?0,????ydydz?0,????y2dydz?0

???????xdydz?2?y2?z2?R2??R2?y2?z2dydz?0

9.总结

（1）对称的对象：积分区间对称,积分区域对称.

（2）关于对称性,除关于原点和y?x对称外,都遵循关于谁对称谁不变的原则. （3）变量的轮换性是指对称的对象?由f(x,y,z)?0表示,若将x,y,z的位置变换后,f(x,y,z)?0仍然表示?.在其他书籍和相关资料中提及的x,y具有相同的地位,x,y具有循环性都是这里所指的轮换性.

（4）当且仅当积分区域对称性与被积函数f(x,y)奇偶性同时具备才能使用本文中提及的定理.

（5）f(x,y)关于x,y的奇偶性,只能分别对一个变量来考虑,而不能将两个变量混在一起来考虑.若关于x轴对称,就要考虑关于y的奇偶性,若关于y轴对称,就要考虑关于x的奇偶性. 若关于xoy面对称,就要考虑被积函数关于z的奇偶性依次类推.

（6）第二类曲线积分和第二类曲面积分如果关于对称对象方向相反,那么它们的积分结论刚好与第一类曲线积分和第一类曲面积分结论相反.

根据以上总结,对称性的问题便能很好的被应用,使数学积分的计算过程得到简化.

参考文献：

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[9] 于宁丽,王静.利用对称性计算两类区面积分时的差异问题[J].专题研究,2009.7

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[11] 西北工业大学高等数学教研室编.高等数学学习辅导：问题、解法、常见错误剖析[M].北京：科学出版社,2007

[12] 魏平等编著.高等数学复习指导[M].西安：西安交通大学出版社,1999.11 [13] 华罗庚著.高等数学引论[M].沈阳：科学出版社.2003

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[15] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社,2006.4 [16]邹本腾等编著.高等数学辅导[M].北京：科学技术文献出版社，1999.6

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Application of symmetry in the integral calculation

Abstract The symmetry is one of the important methods to solve mathematical problems. In integral calculus, it can make the integral calculation process simplified to make full use of symmetry of integral region and the parity of integrand. This paper illustrates the application of symmetry in definite integral, multiple integrals, curve integrals, and surface integrals in the calculation through summary theorem and its nature and with the aid of examples.

Key words definite integral multiple integrals curve integrals surface integrals

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