数学系数学与应用数学2009级本科毕业论文

??f(x,y)dxdy???f(y,z)dxdy???f(z,x)dxdy

DDD1????f(x,y)?f(y,z)?f(z,x)?dxdy3DD

3.1 计算??222222D其中由双纽线(x?y)?a(x?y)围成. xsinydxdy??分析：已知D关于y轴对称,且是关于x的奇函数,所以??0. 3.2[8] 计算????Dy2?x2x?y?z222dxdy,其中D?{(x,y)|x?y?1}

分析：由于D关于直线x?y对称,且被积函数具有性质f(y,z)??f(x,y),所以??0. 3.3[5] 计算??分析：??2??2x?ydxdy,其中D:x2?y2?1 ??D2??2x?ydxdy ??D???4x2?y2?4xydxdy

D积分区域D关于x轴对称,且被积函数4xy为y的奇函数,所以,

??4xydxdy?0

D22xdxdy?y????dxdy,所以, DD又因为在积分区域D中x,y的地位相同,则有

??5??y2dxdy

D ?522(x?y)dxdy ??2D152?3 ??d??rdr

0205? ?

43.4 计算????(x?y)dxdy,其中D:xD222?y2?1.

分析：积分区域D:x?y?1关于x轴,y轴均对称,而且被积函数关于y和x是偶函数, 固有 ??4??(x?y)dxdy

D3?0?4?2(rcos??rsin?)d??rdr

01?20?4?d??(r2cos??r2sin?)dr

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?8 33.5[5] 设D是?1,1?、?-1,1?、?-1，-1?为顶点的三角形区域,D1为D在第一象限的部分,则

?x(xy?sinye??D2?y2)dxdy?( )

分析：如图D?D1?D2?D3?D4,由对称性可知

D1?D2??xydxdy?0,??xydxdy?0所以??xydxdy?0.

D3?D4D在D3?D4上,sinye-x

2-y2是关于y的奇函数,故有,

2D3?D4-x??sinye-y2dxdy?0

在D1?D2上 是关于x的偶函数,所以,

-x(xy?sinye??D2-y2)dxdy?2??sinye-xD12-y2dxdy

3.6 计算??322D,其中由y?x,y?1,x??1围成. x[1?yf(x?y)]dxdy??D分析：如图所示，做辅助线y??x3的左半部分,则积分区域被分为D1和D2,其中D1表示D12位于x轴上方的部分，D1关于x对称，D2关于y轴对称，由于被积函数是关于x的奇函数,故有,

??222x[1?yf(x?y)]dxdy?0 ??D2又由于xyf(x?y)是关于y的奇函数,故有,

??2??x[1?yf(xD12?y2)]dxdy

?2??xdxdy?0

D12 ?2?0?1xdx?dy

00x2 ??2 ????1x4dx

2 5小结 f(x,y)关于x,y的奇偶性,只能分别对一个变量来考虑,而不能将两个变量混在一起

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来考虑,即若区域关于x轴对称,就要考虑f(x,y)关于y的奇偶性，若区域关于y轴对称,就要考虑f(x,y)关于x的奇偶性,且容易看出对称性应用过程中被积函数一般比较复杂和抽象.

4.对称性在三重积计算分中的应用

定理3 设函数f(x,y,z)在空间区域?上连续,且?????f(x,y,z)dxdydz存在,记

??1?{(x,y,z)|(x,y,z)??,z?0} ?2?{(x,y,z)|(x,y,z)??,x?0}

?3??(x,y,z)|(x,y,z)??，y?0?

（1）设?关于xoy面对称,?(x,y,z)??,

?????0,f(x,y,?z)??f(x,y,z)?f(x,y,z)dxdydz??2f(x,y,z)dxdydz,f(x,y,?z)?f(x,y,z)

??????1（2）设?关于yoz面对称,?(x,y,z)??,

?????0,f(?x,y,z)??f(x,y,z)? f(x,y,z)dxdydz??2f(x,y,z)dxdydz,f(?x,y,z)?f(x,y,z)??????2（3）设?关于xoz面对称,?(x,y,z)??，

?????0,f(x,?y,z)??f(x,y,z)?f(x,y,z)dxdydz??2f(x,y,z)dxdydz,f(x,?y,z)?f(x,y,z) ??????3（4）（变量可轮换性）若积分区域?关于x,y,z具有轮换对称性,则

???f(x,y,z)dxdydz????f(y,z,x)dxdydz????f(z,x,y)dxdydz???1?????f(x,y,z)?f(y,z,x)?f(z,x,y)?dxdydz3?

zln(1?x2?y2?z2)222?4.1 计算?????,其中是球体x?y?z?1. dxdydz2221?x?y?z?分析：被积函数是z的奇函数,而积分区域?关于平面xoy对称,故有,

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zln(1?x2?y2?z2)?????dxdydz?0 2221?x?y?z?4.2 计算??222???edxdydz,其中?是球体x?y?z?1. ?x分析：被积函数是x的偶函数,而积分区域?关于平面yoz对称, 故??222,其中是半球体：edxdydz?2edxdydz?x?y?z?1,x?0. 1????????1xx从而 , ?????edxdydz?2???edxdydz

??1xx?2?dx??edydz

0Dx1x ?2e0?1x?(1-z2)dx

?2?

4.3 计算??2222?,其中是球体x?y?z?R(x?0,y?0,z?0). (x?y?z)dxdydz????分析：由变量的轮换性可知,

2222???xdxdydz????ydxdydz????zdxdydz,

???设DZ:x?y?R?z(x?0,y?0).则有,

??3???zdxdydz

??3?zdz??dxdy ( 4.3.1 )

0DZR?3??(R2?z2)dz

0R3??R4 4此题容易在(4.3.1)式中将z判断为奇函数,则积分为零,但是在条件x?0,y?0,z?0下,区域不是关于平面z?0对称的,故有以上做法,这也充分说明了,区域的对称性和被积函数的奇偶性必须同时满足才能进行积分计算.

4.4 计算??2222222?,其中是球体x?y?z?R(R?0). (2x?3y?5z)dxdydz????分析：由变量的轮换性可得,

22xdxdydz?y??????dxdydz????zdxdydz, ???2第8页 共22页