章编号:1005-3085(2003)07-0001-19 2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛 姜 启 源

(清华大学，北京100084)

由教 育 部 高教司和中国工业与应用数学学会主办、高等教育出版社独家赞助的“2003 高教社杯全国大学生数学建模竞赛”于2003年9月22日至25日举行，来自全国30个省 (市、自治区)及香港特别行政区637所高校的5406队(其中大专组1198队)参加了这项通 讯比赛，比2002年的572所高校的4448队有很大发展。

竞赛 答 卷 首先在由省(市、自治区)形成的26个赛区和联合赛区(今年由内蒙、宁夏、青 海、海南和香港组成)进行初评，评出各赛区的获奖者，然后各赛区按一定比例将优秀答卷送

全国竞赛组委会，全国组委会聘请专家从中评出本科组全国一等奖151名，二等奖306名， 大专组全国一等奖48名，二等奖103名。厦门大学缪旭晖、郑晓练、邹宇庭同学组成的参赛 队，和沈阳工程学院尹立伟、李志波、刘中亮同学组成的参赛队(大专组)荣获高教社杯。我 国的这项竞赛创办于1992年，每年一届，十几年来参赛规模以年均20%左右的速度增长， 成为目前全国高校规模最大的课外科技活动。

这项 竟 赛 之所以受到大学生们如此热烈的欢迎，是因为它有以下的特点:赛题由工程技 术、管理科学等领域的实际问题简化加工而成，要求参赛者结合实际问题灵活运用数学和计 算机软件以及其他学科的知识，通过建立、求解、评估、改善数学模型，充分发挥其聪明才智

和创造精神;三名大学生组成一队，团结合作，选择一题在三天时间内完成一篇研究论文;可

以自由地收集、查阅资料，调查研究，使用计算机、互联网和各种软件(但是不能与队外的任

何人讨论赛题);赛题没有事先确定的答案，论文评阅的标准是，假设的合理性、建模的创造 性、结果的正确性和表述的清晰程度

为 了进 一 步加强竟赛规则的执行，促进竞赛的健康发展，今年要求参赛同学签名保证: “我们完全明白在竞赛开始后不能以任何方式与队外的任何人(包括指导教师)讨论竞赛题 的求解问题，抄袭别人的成果也是违反竞赛规则的，如被发现将会受到严肃处置。我们也 知道如果引用别人的成果或其他公开的资料〔包括网上查到的资料)必须按照规定的参考文 献的表述方式在正文和参考文献中明确列出”。全国评阅专家组认真审查了送交的答卷，发 现了·些违反保证书的论文，全国组委会取消了这些队的全国评奖资格，并建议赛区组委会 认真处理。

今 年 竞 赛的A,C题由全国组委会成员唐云、周义仓等拟就，B题由吉林大学方沛辰提 万方数据

工程数学学报第20卷

供，D题素材由华中农业大学殷建肃提供，全国组委会成员叶其孝等拟就。为了更]泛、有 效地收集适合竞赛的题目和素材，再次向全社会诚征赛题，有意者请与全国组委会办公室联 系:100084北京清华大学数学科学系郝秀荣，电话及传真(010)62781785

为 了与 广 大同学进行交流，对今后的竞赛予以适当引导，全国评阅专家组选择了一些优 秀论文在本刊发表，并请命题者和评阅者撰文讲评。发表的论文是同学们三天内写出的，为 了保持原貌只作了适当的删节和文字上的修正，文章不可避免地存在着相当多的不妥之处， 请读者谅解。

希望 对 这 项竞赛作进一步了解的读者，请看:http://m ern.edu.cn

200 3 高 教社杯全国大学生数学建模竞赛题目(本科组)

说 明 :题 目中的附件从略，附件及全部赛题均可从以下网址下载

ht tp :// m cm.ed u.cn h ttp:// - -w.he p.ed u.cn h ttp:// m cm.ne ase.ne t A题 SA RS的传播

SA RS (S evereA cuteR espiratoryS yndrome，严重急性呼吸道综合症，俗称:非典型肺炎) 是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和 人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染 病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS的传播建立 数学模型，具体要求如下:

1)对 附 件 1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。

2)建 立 你 们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型;特别要说明怎样才能建立一 个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里? 对于卫生部门所采取的措施做出评论，如:提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传 播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。

3)收 集 SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3 提供的数据供参考

4) 给 当 地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模M的重要性 B题 露 天矿生产的车辆安排

钢铁 工 业 是国家工业的基础之一，铁矿是钢铁工业的主要原料基地。许多现代化铁矿 是露天开采的，它的生产主要是由电动铲车(以下简称电铲)装车、电动轮自卸卡车(以下简 称卡车)运输来完成。提高这些大型设备的利用率是增加露天矿经济效益的首要任务。

露天 矿 里 有若干个爆破生成的石料堆，每堆称为一个铲位，每个铲位已预先根据铁含量 将石料分成矿石和岩石。一般来说，平均铁含量不低于25%的为矿石，否则为岩石。每个 铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量(称为品位)都是已知的。每个铲位至多能安 置一台电铲电铲的平均装车时间为5分钟。

卸货 地 点 (以下简称卸点)有卸矿石的矿石漏、2个铁路倒装场(以下简称倒装场)和卸 岩石的岩石漏、岩场等，每个卸点都有各自的产量要求。从保护国家资源的角度及矿山的经 济效益考虑，应该尽量把矿石按矿石卸点需要的铁含量(假设要求都为29.5%1%,称为品 位限制)搭配起来送到卸点，搭配的量在一个班次(8小时)内满足品位限制即可。从长远 万方数据

第7期2003高教杜杯全国大学生数学建模竞赛

看，卸点可以移动，但一个班次内不变。卡车的平均卸车时间为3分钟。

所用 卡 车 载重量为154吨，平均时速28。卡车的耗油量很大，每个班次每台车消耗近1 吨柴油。发动机点火时需要消耗相当多的电瓶能量，故一个班次中只在开始工作时点火一 次。卡车在等待时所耗费的能量也是相当可观的，原则上在安排时不应发生卡车等待的情 况。电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以上卡车服务。卡车每次都是满载运输。 每个 铲 位 到每个卸点的道路都是专用的宽60的双向车道，不会出现堵车现象，每段道 路的里程都是已知的。

一个 班 次 的生产计划应该包含以下内容:出动几台电铲，分别在哪些铲位上;出动几辆 卡车，分别在哪些路线上各运输多少次(因为随机因素影响，装卸时间与运输时间都不精确， 所以排时计划无效，只求出各条路线上的卡车数及安排即可)。一个合格的计划要在卡车不 等待条件下满足产量和质量(品位)要求，而一个好的计划还应该考虑下面两条原则之一: 1， 总 运 量(吨公里)最小，同时出动最少的卡车，从而运输成本最小;

2 利 用 现有车辆运输，获得最大的产量(岩石产量优先;在产量相同的情况下，取总运 量最小的解)。

请你 就 两 条原则分别建立数学模型，并给出一个班次生产计划的快速算法。针对卜面 的实例，给出具休的生产计划、相应的总运量及岩石和矿石产量。

某露 天 矿 有铲位10个，卸点5个，现有铲车7台，卡车20辆。各卸点一个班次的产量 要求:矿石漏1.2万吨、倒装场1 1.3万吨、倒装场Q1.3万吨、岩石漏1.9万吨、岩场1.3万 吨

铲位和抑点位里的二维示意图知下，各铲位和各却点之间的距离(公里)如下表 铲位1 铲位2 铲位3 铲往4 一铲位5}铲住6铲位7一{铲位8铲位9 铲位10 ?}b 漏!一5.26 5.19 4.21 {4.00一2.95一2.74 2.46一19。:0.64 }，27 倒装场工}一1.90}一099 1.90一1.13 1.27 2.25}一1.48 2.04一3.09 3.51 岩场5.89 5.61 5.61 4.56 3.51 3.65 2.46 2.46 1. 06 0.57

岩石漏0.64 }1.76一，27 1.83 一2.74}2.60一}4.21一3.72{5.05一6，“- 倒装场开{4.42 3.86 3.72 3.16 一2.25{2.81 0.78一卜62 1.27 0 .50

各铲位犷石、岩石教童(万吨)和犷石的平均铁含量如下表

铲位1 铲位2一}铲位3一}铲位4一}铲位5}一铲位6铲位7}一铲位8一}铲位9一铲位10 矿石蚤0.95 1.05 1.00 1.05 1.10 1.25 1.05 1.30 1.35 1.25

岩石量一1.25}1.10}1.35 1.05 }1.15一}135 1.05一}1.15 1.35 }125 铁含量{30%}28% 29% 一32% 31% 33%一32% 31% 33% }3t% 2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目(大专组)

说明:题目中的附件从略，附件及全部赛题均可从以下网址下载:

http:// m cm.ed u.cn h ttp:// w ww.he pedu,.en h ttp:// m cm,ne ase_ne t C题 SA RS的传播

SA RS (S evereA cuteR espiratoryS yndrome，严重急性呼吸道综合症，俗称:非典型肺炎) 是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和 人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训、认识到定量地研究传染 万方数据

工程数学学报第加卷

病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS的传播建立 数学模型，具体要求如下:

1)对 附 件 1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。

2) 建立 你 们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型;特别要说明怎样才能建立一 个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里? 对于卫生部门所采取的措施做出评论，如:提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传 播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。

3) 给 当地 报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性口 D题 抢 渡长江

“渡 江 ”是 武汉城市的一张名片。1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联

手，在武汉第一次举办横波长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北 码头，全程约5000米。有44人参加横渡，40人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠 送了一块银盾，上书“力挽狂澜”。

200 1 年 ，“武汉抢渡长江挑战赛”重现江城62 002年，正式命名为“武汉国际抢渡长江挑

战赛”，于每年的5月1日进行。由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观

赏性。

200 2 年 5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约 1160米。据报载，当日的平均水温16.8'C，江水的平均流速为1.89米，tpo参赛的国内外 选手共186人(其中专业人员将近一半)，仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。除 了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终 点。

终点:汉阳南岸咀 1000M

长江水流方向

假 设 在 竞渡区域两岸为平行直 线，它们之间的垂直距离为1160 米，从武昌汉阳门的正对岸到汉阳 南岸咀的距离为1000米，见示意 图。

请 你 们 通过数学建模来分析上 述情况，并回答以下问题: 1. 假 定 在竞渡过程中游泳者 的速度大小和方向不变，且竟渡区 11，二，︺

一 域每点的流速均为1.8 9米/秒。

起点 : 武 昌 汉 阳门试说明2002年第一名是沿着怎样

图 I 长 江示 恋 图 的 路 线 前进的，求她游泳速度的大

小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保待在1.5米/秒的 人选择游泳方向，并估计他的成绩。

2 在 (1 )的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游，他(她)们能否到达终点? 根据你们的数学模型说明为什么1934年和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大 的差别;给出能够成功到达终点的选手的条件。 万方数据

第7期2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛 竺竺竺竺竺旦竺竺竺竺竺竺竺竺竺竺

3. 若流 速 沿离岸边距离的分布为(设从武昌汉阳门垂直向上为y轴正向) {“4 7米 /秒 ， 。 米全 入 全“ 0米 ”‘“ ’一 万2 ·‘1 羊/ 势20米>“>906米 以 4 了 术 / 秒 ， 96 0 米 2 几 七 n 6o 米

游泳 者 的 速度大小(15米/秒)仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他 的成绩。

4. 若 流速 沿离岸边距离为连续分布，例如 湍，， 。。二“0 二(久) 228米 斋(，‘6。一‘’， 200米> 久>960米

96 0 兰 几豆1160 了1产we |||之十

或你们认为合适的连续分布，如何处理这个问题。