习 题 1
第 1 章 习 题
1.1．光在一年里走过的距离称为光年(l.y.),哈勃半径约为1026m,它等于多少光年？ 解：l.y.=（365×24×60×60）×3×108=9.46×1015m
R=946×1013m/1026m=1.05×1010（l.y.）
或：R=1026m/3×108m/s=3.3×1017（l.s.）
=3.3×1017/（365×24×60×60）=1.05×1010（l.y.）
1.2．??=e2/?c=1/137称为精细结构常量,是一个在原子尺度很有用的量.试确定其量纲. 解： dime=AT?1, dim?=ML2T?1, dimc=LT?1, dim?=(AT?1)2/ [(ML2T?1) (LT?1)]=A2M?1L?3 1.3．试由G, c,? 构造一个具有质量量纲的量. 解：令 m= G???c???,于是 dim G???c????M,
式中常量的量纲为
dim G=M?1L3T?2, dim?=ML2T?1, dim c=LT?1 代入三个常量后有
dim G???c??= M????L3??????T????????=M
对比等式两边,列出关于??、??、??的方程组 -??????，?3????????，??????????
解得 -???????????????于是
m=( c? / G)1/2? ( 3×108×1.05×10?34 / 6.67×10?11)1/2=2.17?10?8 (kg )
1.4． mec2是和电子相联系的特征能量,引力势能Gm2/r也具有能量量纲,能否据此估计电子半径？
解：电子除质量外还带电荷,电相互作用能比引力能强得多,故不能用引力能来估计电子半径.若mec2=Gme2/r，则得到结果为
r =Gme/ c2=6.67×10?11×9.1×10?31/（3×108）2=6.7×10?58（m） r =ke2/me c2=9.0×10?×(1.6×10?19)/[9.1×10?31×(3×108)2]=2.8×10?15m 1.5．m,t,F,x,v,a 分别是质量,时间,力,长度,速率,加速度.求下列各项的量纲:mv,Fx,Ft,mxv,mv2/2, Fv,ma,那些相同?并判断下列方程的合理性: 2 F=mxv, Ft=mxa, Fv= mv2/2, v2+v3=2ax,Fx= mv2/2. 解：dim(mv)=MLT??, dim(ma)= dim(F)=MLT?, dim(mxv)= ML2T??, dim(mv2/2)= ML2T?? 由力的量纲，可得： dim(mv)= dim(Ft)=MLT?? ，dim(mv2/2)= dim(Fx)= ML2T?? dim(Fv)=ML2T??? 2 习 题 根据方程中各项的量纲要一致，可以判断：Fx= mv2/2合理， 2 F=mxv, Ft=mxa, Fv= mv2/2, v2+v3=2ax均不合理. 1.6．估计地球上每年的降雨量;估计地球的质量和珠穆朗玛峰的质量,设地球半径约 6?106m. 解：地球表面积70%为海洋,按海水每年蒸发1m，可得地球上每年的降雨量为 Q =?R2×1×70%=3.14×(6×10??? ×0.7=8×10??m??取质量密度103kg/m3，可得地球的质量 Me=???R3/3×10???×3.14×(6×10???×103/3?2×10??kg 地球上山高约r=R×10?3,把珠穆朗玛峰作球体看待,则质量为 M =??r3/3×10??10??Me=2×10??kg? 1.7.哲学、音乐、美术、体育运动等与物理学有关吗？试论述之.(解答：略) 1.8. 查找有关资料,评述与“纳米”、“皮秒”、“飞秒”有关的科学领域的发展和展望. (解答：略) 1.9. 试描绘你所想象的??世纪的科技与生活. (解答：略) 1.10. 了解你所学专业的历史,评述在其发展中物理学的作用. (解答：略) 1.11. 工业技术的发展与物理学的发展是相互促进的.阅读有关材料,比较热学与蒸汽机车、核物理与核工业的发展历史中物理学的作用,有什么不同？(解答：略) 第 2 章 习 题 2.1 某人从原点出发，20 s内向东走了25 m，又在10 s内向正西南方向走了12 m，再在15 s内向北走了15 m．求在整个过程中：（1）位移和平均速度；（2）路程和平均速率。 解：建立如右图所示的坐标系，根据题意有， ??Δr1?25i m，?s1?25 m，?t1?20 s； y 5??5????r2?12cosi?12sinj (m)，?s2?12 m，?t2?10 s； 44???r3?15j m，?s3?15 m，?t3?15 s； 故整个过程中， （1）总位移： x 图2-1 题2.1图 ??5??5???????r??r1??r2??r3?25i?12cosi?12sinj?15j 44??=(25?62)i?(15?62)j (m)， 平均速度： 习 题 3 ?????1??r(25?62)i?(15?62)jv???[(25?62)i?(15?62)j](m/s) ?t20?10?1545(2)路程： ?s??s1??s2??s3?25?12?15?52 (m)， 平均速率： v??s5252???1.16 (m/s)。 ?t20?10?15452.2 一质点的运动方程为x?t2 (SI),试计算：（1)质点在2-2.1 s，2-2.001 s，2-2.00001 s内的平均速度；（2）第2 s末的速度和加速度。 解：（1）由题意得， x|t?2?22?4 (m)，x|t?2.1?2.12?4.41 (m)， x|t?2.001?2.0012?4.004001 (m)，x|t?2.00001?2.000012?4.00004 (m)。 所以， ?xx|t?2.1?x|t?24.41?4???4.1 (m/s)。 ?t2.1?20.1?xx|t?2.001?x|t?24.004001?42-2.001 s内的平均速度：v????4.001 (m/s)。 ?t2.001?20.001?xx|t?2.00001?x|t?24.00004?42-2.00001 s内的平均速度：v????4.0 (m/s)。 ?t2.00001?20.00001dxdv(2) 由x?t2 (SI)得，速度v??2t (SI)，加速度a??2 (SI)。 dtdt所以，第2 s末的速度为v?4 (m/s)，加速度a?2 (m/s2)。 2-2.1 s内的平均速度：v?2.3 质点从P点出发向左以1.0 cm/s匀速率沿半径为R=1.0 m的圆周运动。求它走过2/3圆周时的位移、路程、这段时间内的平均速度和该点的瞬时速度。 解：如右图所示， ??位移：?r?2?Rsin?3 (m)，方向如图中所示。 3路程：?s?R??1.0?4?/3?4?/3 (m)。 ?s4?/3400? (s)。走过圆周所用的时间：t? ??v1.0?10?23?33??r平均速度： (m/s)，方向与位移方向相同。 v??t400?瞬时速度：v瞬时?1.0 (cm/s)，方向沿切线方向。 y 4π/3 x ??r 图2-2 题2.3图 ?习 题 2.4 质点在xy平面内运动，速度v?(a?bt)i?ct2j (SI)，试问：（1）常量a、b和c的量纲各是什么？（2）总加速度的大小和方向各为何？若某一时刻的位置矢量r?(?4i?5j) m，经?t?5 s后，其位移?r?(6i?8j) m，求：（3）此时刻的位矢；（4）在?t时间内质点的平均速度。 解：（1）常量a、b和c的量纲分别为： [a]?LT?1，[b]?LT?2，[c]?LT?3。 4 ?????????（2）由v?(a?bt)i?ct2j得， ???????dva??bi?2ctj。 dt2ct? 所以，加速度的大小a?|a|?b2?4c2t2，与x轴正方向所成的夹角为??arctan。b????????????（3）由?r?r2?r1得，r2?r1??r?(?4i?5j)?(6i?8j)?2i?3j (m)。 ??????r6i?8j?（4）平均速度：v???1.2i?1.6j (m/s)。 ?t52.5 一质点在半径R=1 m的圆周上顺时针运动，其路程与时间的关系为s??t2??t。试求质点绕圆运行一周的路程、位移和所需时间。 解：绕行一周的路程：?s?2?R?2?(m)。 位移：?r?0。 时间：由s??t2??t?2?得，t?1 (s)。（t??2舍去） 2.6 质点的运动方程为x?at2?bt3，若a?3，b?1，试求在最初4 s内质点所经过的路程的长度和位移，并画出路径示意图。 解：由题意，x?3t2?t3，v?x -16 O 图2-3 题2.6图 4 ?dx?6t?3t2。 dtt?0和3 s时，x?0；t?3s,x?0； t?0和2 s时，v?0；t?2s,v?0。 因此，在0到2s内质点沿x轴正方向运动，2s后沿x轴负方向运动。 x|t?2?4 (m)；x|t?4??16(m)。 位移：?x?x|t?4?x|t?0??16?0??16 (m)。 ?习 题 路程的长度：s?4?4?16?24 (m)。 路径示意图如右图。 2.7 一质点作直线运动，其运动方程为x?12t?6t，其中t以s为单位，x以m为单位，求：（1）t?4 s时，质点的位置、速度和加速度；（2）质点通过原点时的速度；（3）质点速度为零时的位置；（4）作出x? t 图，v? t 图和a? t 图． 解：由x?12t?6t2得，速度v?25 dx?12?12t，加速度a?dv??12。所以， dtdt（1）x|t?4?12?4?6?42??48 (m)， v|t?4?12?12?4??36 (m/s)，a|t?4??12 (m/s2)。 （2）质点通过原点时，即x?12t?6t2?0，得x?0 s或2 s。 v|t?0?12?12?0?12 (m/s); v|t?2?12?12?2??12 (m/s)。 （3）质点速度为零时，即v?12?12t?0得，t?1 s。 此时，位置x?12?6?6 (m)。 （4）x-t, v-t, a-t图。如下图所示。 图2-4 -2xm6420.5-4-6-811.522.53 v/ms12-1a/ms-26ts0-12123t/s01-6-1223t/s题2.7 （4）图。 2.8 一气球自地面以常速度v上升，在距离放出点为R处用望远镜对气球进行观测，求望远镜观测气球的仰角?随时间t的函数，并求出?随时间的变化率． 解：由题意得，??arctanvt。 Rd?v/RvR。 ??222vtdt1?()2R?vtR2.9 一质点沿直线运动，速度v=t3+3t2+2 (SI单位)，如果当 t ?2 s时，质点位于x?4 m处，求t ?3 s时质点的位置、速度和加速度。( 答案：41.25m,56 m?s?1,45 m?s?2) t43解：由v?t?3t?2得，位置x??vdt?， ?t?2t?c（c为常数） 0432t加速度a?dv?3t2?6t。 dtt43又t?2 s时，x?4 m，于是 c??12。所以x??t?2t?12。 4习 题 6 34因此，x|t?3??33?2?3?12?41.25 (m)， 4v|t?3?33?3?32?2?56 (m/s)， a|t?3?3?32?6?45 (m/s2)。 2.10 已知质点的运动方程 x?ππ3cost； y?sint 44式中t以s为单位，x以m为单位。求：(1) 质点的轨道方程；(2) 质点的速度和加速度表达式；(3) t ?1s时，质点的位置、速度和加速度。 解：（1）r?x2?y2?3cos2?4t?sin2?4t?2cos2?4t?1 x2或 x?3cost?3(1?sint)?3(1?y)，即?y2?1。 34422?2?2（2）由运动方程得，速度：vx??3????sint，vy?cost； 44443?2??2?加速度：ax??cost，ay??sint。 164164（3）t?1 s时，位置：x?62，y?； 22速度：vx??62?，vy??； 886222?，ay???。 3232加速度：ax??2.11 某人从地面向空中抛出一球，在高度为14.7m处，观察到它的速度v=(?3.98i +9.8j) m?s?1(x轴沿水平方向,y轴沿竖直向上方向)。当忽略空气阻力时，求(1)球可以上升的总高度；(2)球所经过的总的水平距离；(3)球落地时速度的大小和方向。 (答案：(1)19.6m;(2)15.9m;(3)20.0 m?s?1,与x轴夹角?78.5?) 解：(1)令质点处在高度14.7 m时刻为t?0时刻，由题意得， vx0??3.98 (m/s)，vy0?9.8 (m/s)。 忽略空气阻力，质点在水平方向上做匀速运动，竖直方向上做竖直上抛运动。 习 题 7 9.82从14.7 m高处继续上升的高度y???4.9 (m)， 2g2?9.8所以，球可以上升的总高度为 H?14.7?4.9?19.6 (m)。 （2）质点处于地面时，速度在竖直方向上的分量：vy?球从地面上升到最高点所需的时间：t?v2y02gH?19.6 (m/s)。 vyg?2 (s)。 因此，球在整个上升和下降过程中所经过的总的水平距离： X?2?vx0t??15.92 (m)，负号表示沿x轴负方向。 （3）忽略空气阻力，球下降到地面时，水平方向的速度不变，竖直方向的速度大小不变，方向为垂直向下。因此， 速度v?2v2?vy?(?3.98)2?19.62?20.0 (m/s)， x0与水平方向的夹角??arctanvyvx0?arctan19.6??78.52?。 ?3.982.12 一弹丸以v1=100 m?s?1的初速从原点以?1?30°的仰角由投射器射出，同时位于x0=60 m处的投射器将另一弹丸以v2=80 m?s?1的初速射出，其仰角?2为何值时可望与第一弹丸相碰？求出相碰的时间和位置。 解：第一种情况，如右图（a）所示， 两弹丸相向发射，在上升过程中相遇。 根据题意有， (a) v?100m/s 1v2?80m/s ?1=30° 60m ?2 x v1x?v1cos?1?503 (m/s) （1） v1y?v1sin?1?50 (m/s) （2） (b) v?100m/s 1v2?80m/s ?1=30° v2x?v2cos?2?80cos?2 (m/s) （3） v2y?v2sin?2?80sin?2 (m/s) （4） ?2 x 60m 图2-5 题2-12图 相遇时，两弹丸上升的高度相等，水平距离之和为60m，即： 11y1?y2?y，即：v1yt?gt2?v2yt?gt2 （5） 22x1?x2?60，即：v1xt?v2xt?60 （6） 把（1）-（4）式代入（5）（6）式得， 习 题 8 ?2?38.7?，t?0.4025 (s)，y?19.2 (m)。 第二种情况，如右图（b）所示， 两弹丸都向右上方发射，在上升过程中相遇。 相遇时，两弹丸上升的高度相等，水平距离之差为60m，即： 11y1?y2?y，即：v1yt?gt2?v2yt?gt2 （5） 22x1?x2?60，即：v1xt?v2xt?60 （7） 把（1）-（4）式代入（5）（7）式得， ?2?38.7?，t?2.48 (s)，y?93.25 (m)。 2.13 一人骑摩托车跳跃一个大矿坑,他以与水平面成22.5?角的初速度65 m?s?1从西边起跳,准确地落在坑的东边.已知东边比西边低70m,忽略空气阻力,求:(1) 矿坑有多宽?他飞越的时间有多长?(2)他在东边落地时的速度有多大?速度与水平面的夹角是多少? ( 答案：(1)426m,7.1s (2)74.9 m?s?1,?36.6?) 解：（1）建立坐标系（x轴水平向右，y轴竖直向上）。由题意知， vx?vcos??65cos22.5??60.05 (m/s)， vy?vsin??65sin22.5??24.87 (m/s)。 上升的高度h上?2vy2g?31.6 (m/s)，上升时间t上?vyg?2.54 (s)。 下降的总高度h下?70?31.6 (m)，下降时间t下?2h下?4.55 (s)。 g所以，矿坑的宽度X?vx(t上?t下)?60.05?（2.54?4.55）?425.75 (m)。 （2）落地时，水平方向的速度不变vx?60.05 (m/s)； 竖直方向v'y??gt下??9.8?4.55??44.59 (m/s)，负号表示与正方向相反。 因此，速度v?2vx?v'y?60.052?44.592?74.79 (m/s)， 2与水平方向的夹角??arctanv'yvx?arctan?44.59??36.6?。 60.052.14一电子在电场中的运动方程为x?2t，y?19?2t2（SI）．求：（1）计算并图示电子的运动轨迹；（2）电子的速度和加速度；（3）什么时刻电子的位矢与速度恰好垂直？写出此时位矢；（4）何时电子离原点最近？最小距离为多少？ 习 题 解：建立坐标系（x轴水平向右，y轴竖直向上），以下个物理量单位均为SI。 9 12x。运动轨迹如图2-6所示。 2dxdy???（2）vx?，，即：v?2i?4tj；图2-6 题2.14图 ?2vy???4tdtdt（1）由x?2t，y?19?2t2得，y?19?yax???dvdvx??0，ay?y??4，即：a??4j。 dtdt???1816（3）r?2ti?(19?2t2)j，v?2i?4tj。 ??14?????? r?v时有，r?v?0，把r和v表达式代入得，t?0和3。??t?0 时，r?19j； t?3 时，r?6i?j。 （4）电子离原点的距离 x1234????r?x2?y2?(2t)2?(19?2t2)2?4(t2?81)2?37?37， 当t?9 s时取“?”，最小距离为37（m）。 2.15 已知质点的运动方程：x?rcos?t，y?rsin?t，z?ct，其中r，?，c均为常量，试求：（1）质点作什么运动？（2）质点的速度、加速度；（3）运动方程的矢量形式。 解：建立坐标系（x轴水平向右，y轴竖直向上，z轴垂直纸面向外） （1）由x?rcoswt，y?rsinwt，z?ct得， x2?y2?r2。 所以，质点做螺旋圆周运动。 （2）质点的速度： dxdydz??wrsinwt，vy??wrcoswt，vz??c， dtdtdt????即：v?(?wrsinwt)i?(wrcoswt)j?ck。 vx?质点的加速度： ax??dvdvxda??w2rcoswt，ay?y??w2rsinwt，az?z?0， dtdtdt??即：a?(?w2rcoswt)i?(?w2rsinwt)j （3）运动方程的矢量形式： 习 题 10 ????r?(rcoswt)i?(rsinwt)j?(ct)k 2.16 质点沿直线运动,加速度a=4?t2 (SI单位),如果当t ?3 s时,质点位于x?9 m处,v=2 m?s?1,求质点的运动方程。 (答案：x?2t2?14t?t?0.75) 12解：以下物理量均为SI。 已知a?4?t2，所以 t3v??adt?4t??c1 （1） 03tt4x??vdt?2t??c1t?c2 （2） 012t2 把限制条件t?3时，v?2 m/s和x?9 m代入（1）（2）式得：c1??1，c2?0.75。所以，质点的运动方程为： t4x???2t2?t?0.75 (SI)。 122.17 一物体沿x轴运动，其加速度与位置的关系为a?2?6x（SI），物体在x?0处的速度为10 m?s?1，求物体的速度和位置的关系。 解：以下物理量单位均为SI。 已知a?2?6x。 dvdxdv由a?dv??v得， dtdxdtdxadx?vdv，即：(2?6x)dx?vdv， 两边积分得， v22x?3x?c?，其中c为常数。 22代入初始条件，x?0时v?10得，c?50。 所以，速度和位置的关系为： v2?6x2?4x?100。 2.18 人在静水中划行小船，当速度为v0时不再划行，已知此后小船运动规律为a=?kv，k为常量．试证明船速的衰减规律为v=v0e解：由题意知，a??kv?kt 。 dv。 dt习 题 11 dv。 v上式两边积分得，?kt?c?lnv（c为常数）。 所以，?kdt?代入初始条件，t?0时v?v0得，c?lnv0。 所以，v?v0e?kt，得证。 2.19 一质点由静止开始作直线运动,初始加速度为a0,以后加速度均匀增加,每经过时间? 增加a0,求经过时间t后质点的速度和运动的距离. (答案：v?a0t?a02aat,x?0t2?0t3) 2?26?a0解：已知：初始加速度为a0，加加速度???，初始速度v0?0，初始位置x0?0。 所以，加速度与时间的关系为：a?a0?因而， 速度 v?即：v?a0?t。 ?t0adt?a0t?a02t?c1，代入初始速度得c1?0。 2?a02t?a0t。 2?taa位移 x?vdt?0t3?0t2（已考虑初始条件）。 ?06t22.20 位于原点的粒子在t?0时由静止开始沿x轴正方向运动,如果其加速度为a=a0e?bt,( a0和b是常量),求(1) 粒子运动的最大速度vmax;(2)粒子的运动方程。(答案：(1) vmax=(2)x?a0; ba01[t?(1?e?bt)]) bb解：已知：a?a0e?bt，v0?0，x0?0。 （1）速度：v??t0adt?a0。 (1?e?bt)（已考虑初始条件） be?bt?0，在t??时，e?bt?0。 所以，vmax?a0。 b（2）运动方程：x? ??vdt??0ta0(1?e?bt)dt 0bta0a?bt。 t?0(e?1)（注意考虑初始条件）2bb2.21 图2-28中，曲线ABC为抛物线的一部分，是一个作直线运动的质点的位置随时间变化的关系曲线．曲线在A点处切线与x轴夹角为45°．写出质点的运动方程并画出其vt曲线和xt曲线。 习 题 解：根据图可设质点的运动方程为：x?a(t?1)2?c （1）（其中常数a?0， c?0）。 12 dx。 ?2a(t?1) （2） dt由图知，t?0时，v?tan45??1， 速度：v?t?2.5时，x?0。 代入（1）（2）式得a??19，c?。 28 图2-28 习题2.21示意图 因而，质点的运动方程为： 19x??(t?1)2?。 28v?1?t。 x-t和v-t曲线如图2-7所示。 xm10.50.8vms1ts0.6-0.50.4-10.2-1.5ts0.511.522.53-20.511.522.53图2-7 题2.21图 2.22 1）图2-29（a）中给出了4个v?t图，请分别求出在第4 s末各运动物体距原点的位移及所走的路程；（2）在直线公路上行使的两汽车的v?t曲线如图2-29（b）所示，试分析两者运动的异同，图上三个点O、Q、P表示的意义，写出各自的运动方程；（3）已知作直线运动物体的a?t曲线如图2-29（c）所示，设t=0时x=0，v0=0，试画出v?t曲线和x?t曲线。 图2-29 习题2.22示意图 解：（1）图（a）的第一个图，位移?r1?4?5?20 (m),路程?s1??r1?20 (m)。 习 题 图（a）的第二个图，位移?r2?13 1?4?5?10 (m),路程?s2??r2?10 (m)。 2 图（a）的第三个图，位移?r3?2?5?2?5?0 (m),路程?s3?2?5?2?5?20 (m)。图（a）的第四个图，位移?r4?路程?s4?11?2?5??2?5?0 (m), 2211?2?5??2?5?10 (m)。 22（2）相同点：两汽车都做匀加速直线运动。 不同点：加速度不同，初始速度不同。 O、P点分别表示汽车Ⅰ、汽车Ⅱ速度为零的时刻；Q点表示两汽车速度相同的时刻。 55t，所以x1?t2； 241汽车Ⅱ的速度：v2?t?3，所以x2?t2?3t?c（c为常数）。 2由图可知，汽车Ⅰ的速度：v1?常数c的确定需要给出汽车Ⅱ的初始位置。（原点？？） （3）由图知， 0，0?t?1； 2t，1?t?2； a? 0，2?t?3； ?2t，3?t?4。 并且，t?0时，v0?0，x?0。 则， 0，0?t?1； tv??adt? 0t2?1，1?t?2； 1，2?t?3； 10?t2，3?t?4。 习 题 14 0，0?t?1。 t32?t?，1?t?2。 33x??vdt? 0tt?2，2?t?3； 3t3210t??18，3?t?4。 33v?t曲线和x?t曲线如下图所示。 -1-2vms321ts12340.521.51xm 1234ts图2-8 题2.22图 2.23 一斜抛物体初速度为v0，抛射角为?．求t时刻（在空中）的法向加速度和切向加速度；它的轨迹在抛出点和最高点的曲率半径。 解：建立坐标系（x轴沿水平方向向右，y轴沿垂直方向向上）。 由题意得，a??gj，v?(v0cos?)i?(v0sin??gt)j。 速率v?|v|???????(v0cos?)2?(v0sin??gt)2?v2?2v0gsin?t?g2t2， 0dvg2t?v0gsin?切向加速度at?， ?222dtv0?2v0gsin?t?gt法向加速度an?a2?a2?tv0gcos?v0?2v0gsin?t?gt222。 2v2v0在抛出点，v?v0，an?gcos?，于是曲率半径?0?； ?angcos?在最高点，t?v0sin?gcos?，v?v0cos?，an?，于是曲率半径g1?sin?2v2v0cos????1?sin?。 ang习 题 2.24 一质点自原点开始沿抛物线 2y?x2运动,它在x轴上的分速度为一常量,其值为4.0 m?s?1,求质点在 x?2 m处的速度和加速度的法向和切向分量以及该点的曲率半径。 (答案：(4.0i +8.0j) m?s?1, 16 j m?s?2) 解：由题意，t?0，r?0，vx?4，ax?0。于是 15 ?x2x?vxt?4t，y??8t2。 2???????drdv?????2则：r?xi?yj?4ti?8tj ，v??4i?16tj，a??16j。 dtdtdv64t??。 v?|v|?42?(16t)2?41?16t2，at?2dt1?16t当x?2时，t?0.5s，此时， 速度：v?4i?8j（m/s）， 加速度：a?16j（m/s2）， 加速度切线分量：at?加速度法向分量：an??????64?0.51?16?0.52?325（m/s2）， 5a2?at2?16， 5（m/s2） 5v2(41?16?0.52)2曲率半径：??。 ??55（m） an16552.25 一质点作半径为r ?10 m的圆周运动,其角加速度??? rad?s?2,若质点由静止开始运动,求质点在第1s末的(1)角速度;(2)法向加速度和切向加速度;(3)总加速度的大小和方向. (答案：(1) ? rad?s?1;(2) ? rad?s?2,10?2 rad?s?2;(3)103.5 rad?s?2与切向夹角为72?20?) 解：已知：r?10m，??? rad/s2，v0?0，w0?0。 则：w??t，an?w2r，at??r。 所以，第1s末时， （1）角速度：w??t??（rad/s）。 （2）法向加速度：an?w2r?10?2（m/s2）, 切向加速度：at??r?10?（m/s2）。 （3）总加速度：a?2， a2?an?10?1??2?103.58（m/s2）t习 题 16 与切向的夹角：??arctanan?72.34?。 at2.26 一质点沿半径R=10m的圆周运动,其角位置??2?4t3(rad),求: (1)t?2s时的角位置?、角速度?和角加速度?; (2)t?2s时的切向加速度和法向加速度的大小; (3)当?为何值时,其总加速度与半径成45?角? 解：已知：R?10m，??2?4t （rad）。所以， 3d?dw?12t2，???24t，an?w2R，at??R。 dtdt（1）当t?2s时，有 w?角位置??2?4?2?34（rad）， 角速度w?12?2?48 （rad/s）, 角加速度??24?2?48 （rad/s2）。 （2）当t?2s时， 22法向加速度an?wR?48?10?23040 （m/s2）， 32切向加速度at??R?48?10?480（m/s2）。 （3）总加速度与半径成45°时，有 an?tan45?，即：an?at。 at222所以，an?wR?(12t)R??R?24tR， 解得t?3o 1s。 62.27光线以i=30的入射角由空气射入折射率为n=1.3的水中．现入射角以10 rad/s的匀速增加，试求折射光线此时的角速度与角加速度。 解：已知：入射角i??6?10t（rad），n?1.3。 sini得， sinr设折射角为r，有折射定理n?sini1?r?arcsin()?arcsin(sin(?10t))。 n1.36所以，折射光线 习 题 17 角速度wr?dr?dt10cos(?10t)61.32?sin2(??6， ?10t)角加速度?r?dwr?dt?100sin(?6?10t)1.32?sin2(?650cos(?10t)sin(?20t)63? [1.32?sin2(???10t)?6?10t)]3?100sin( ??6?10t)100cos2(??6?10t)sin(?6?10t) 1.32?sin2(?6?10t)[1.32?sin2(?6?10t)]3?69sin( ??6?10t)[1.32?sin2(?6。 ?10t)]32.28 一质点作半径为0.2m的圆周运动,其切向加速度大小恒为0.05m?s?2,若该质点由静止开始运动,求需要多少时间(1)切向加速度大小等于法向加速度大小;(2)法向加速度大小等于切向加速度大小的二倍.(答案：(1)2.0s;(2)2.8s) 解：已知：r?0.2m，at?0.05 m?s?2，v0?0m?s?1。 所以，速度v?v0?att?0.05t m?s?1, v20.05t2m?s?1。 法向加速度an??r40.05t2（1）切线加速度与法向加速度相等时，有?0.05，解得t?2s。 40.05t2 法向加速度是切线加速度的两倍时， （2）有解得t?22?2.82 s。?2?0.05， 42.29 旋转齿轮测光速．历史上测量光速的一个著名实验方法是旋转齿轮法．一束光线通过匀速旋转齿轮边缘的齿孔到达远处的镜面反射以后又回到齿轮上来，调整齿轮旋转角速度使反射光恰好经过下一个齿孔返回．设齿轮边缘的齿孔数目为500个，当反射镜与齿轮相距500 m时测得光速为3.0×10 m?s?．试求齿轮旋转的角速度和齿轮边缘上一点的线速度和线加速度。 解：已知：光速c?3.0?108m/s，s?500?2m，???8 1 2??（rad）。 ?500250习 题 18 s10310?5 s。 所以，?t???v3?1083于是，角速度w???， ?1.2??103 （rad/s） ?t线速度v?wr??，（齿轮半径不知） 线加速度a??v??。 ?t2.30 某人在静水中的划船速度是1.10m?s?1,当他要以最短的划船距离横渡一宽为4000m,水流速度为0.55m?s?1的江面时,应如何确定划行方向?到达对岸需要多少时间? 解:设水流相对于岸的速度为u,船相对于水的速度为v?,江面宽为D,船相对于岸的速度为v,由速度变换式 v ?u? v? 如图2?9所示,船要到达正对岸,划行方向应偏向上游?,则 ??arcsinu0.5530? ?arcsin?v?1.10 图2-9 题2-30速度合成示意图 船到达对岸所需的时间为 DDt???4199s?1.17h vv?cos?m?s?1时,感觉到风是从东北吹向西南,求风向与风速. (答案： 西北风, 2.12 m?s?1 ) 解：建立坐标系（x轴正方向水平向右，y轴正方向垂直向上）。 2.31 一人以1.5 m?s?1的速率向东行走时感觉到风从北吹向南,当他的行走速率加快到3.0 令人行走的速度为u，风速为v，与人行走的方向成?角，则 ?????。 v?vcos?i?vsin?j（m/s） 由速度变换公式可知，人感觉到的风速为 ???v'?v?u。 ????把人行走的速度u1?1.5i（m/s），u2?3.0i（m/s）代入得， ??v1'?(vcos??1.5)i?vsin?j，向南， ???v2'?(vcos??3.0)i?vsin?j，向西南。 所以，vcos??1.5?0，vsin??0； vcos??3.0?vsin?。 解上述方程得，v?1.52?2.12 （m/s）, ????4（即西北风）。 习 题 2.32 一条河宽度为l,河水流速与离岸的距离成正比,设中心流速最大为vm,两岸边处流速为零,如图所示.一艘船以恒定的相对速度v垂直水流从岸边驶向对岸,当它驶至河宽的燃料不足,立即掉头以相对速度地点. (答案：x? 解：由题意知，水流速度v'?19 1处时发现41v垂直水流驶回原岸,求船驶往对岸时的轨迹和返回原岸的2vm23lvm) y,x?lv16v?2vmax?yi。 l（1）驶往对岸时， 根据速度变换，船相对岸的速度为 ???2vm??v?v'?u?yi?vj。 l所以， dx2vmdy?y，vy??v。 dtldtv2由上两式可得，x?my。 lvdx2vmdyv（2）返回原岸时，有vx??y，vy???。 dtldt2lvl考虑约束条件y?时，x?m。解得， 416vvx?vml2vm2l2x??(y?)。 16vlv16返回原岸时，y?0求得x?3vml。 16v2.33 两物体同时沿不同的方向以不同的速度被抛出。试证：在此后运动中它们的相对速度在数值上及方向上都固定不变。 解：以下物理量的单位均为SI，建立坐标系（x轴正方向水平向右，y轴正方向垂直向上）。 设两物体抛出的初速度分别为v0和v0'，与水平方向的夹角分别为?和?'，则， 物体1的速度v1?(v0cos?)i?(v0sin??gt)j， 物体2的速度v2?(v0'cos?')i?(v0'sin?'?gt)j， 两物体的相对速度 ???????????v'?v1?v2?(v0cos??v0'cos?')i?[v0sin??gt?(v0'sin?'?gt)]j ???(v0cos??v0'cos?')i?(v0sin??v0'sin?')j，恒量。 得证。 习 题 2.34 一舰艇正以17 m/s的速度向东行驶，有一架直升机准备降落在艇的甲板上。海上有12m/s的北风吹着。若艇上的海员看到直升机以5 m/s的速度垂直下降，试求直升机相对于海水以及相对于空气的速度。 解：建立坐标系（x轴正方向水平向右，y轴正方向垂直向上）。 20 ????以海水为参考系，u船?17i（m/s），u风??12j（m/s）。 以船为参考系，v'。 飞机??5j（m/s）由速度变换得， 飞机相对于海水的速度 v， 飞机?v'飞机?u船?17i?5j（m/s） ???????????????（?12j）?17i?7j（m/s）飞机相对于空气的速度 v\飞机?v。 飞机?u风?17i?5j?2.35 三个质点处于边长为l的等边三角形的三个顶点上，A相对于B和B相对于C以及C 相对于A的相对速度的大小都为v，且同时开始运动，则经多长时间三个质点相聚？ 解： 如右图（以水平向右为x轴正向，垂直向上为y轴正向建立坐标系）。处于A、B、C三点的三个质点都往中心O运动。 根据等边三角形的性质， C 23l。 AO?BO?CO??l?323要它们相聚，必有它们的速率相等。 令它们的速率为u，且速度两两之间的夹角为2π/3。 因此两两相对速度的大小为：3u。 所以，u?A 图2-9 题 2.35图 O B v。 3相聚的时间t?AOl?。 vu2.36 在一根以恒定角速度w绕其一端点O在水平面内旋转的细棒上，一蚂蚁t=0开始从O 点以恒定速率u沿棒向外爬行。求蚂蚁的速度和加速度。 解： 如右图（以水平向右为x轴正向，垂直向上为y轴正向建立坐标系）。令棒的初始位置在x轴上，然后逆时针旋转。根据题意有， v2 蚂蚁相对棒的速度为： ???u?ucos?i?usin?j，其中??wt。 蚂蚁所在位置棒上质点相对水平面的速度为： v1 ? ???v??wrsin?i?wrcos?j，其中r?ut。 所以，蚂蚁对水平面的速度为： ?????V?v?u?(ucos??wrsin?)i?(usin??wrcos?)j 习 题 21 ???(ucoswt?wutsinwt)i?(usinwt?wutcoswt)j （m/s） 加速度为： ????dVa??(?2uwsinwt?w2utcoswt)i?(2uwcoswt?w2utsinwt)j dt第三章 习题 3.1 一质量为m的质点在O-xy平面上运动，运动方程为 r?acos?ti?bsin?tj 求质点的动量． 解: v?dr??a?sin?ti?b?cos?tj ； dt所以质点的动量: p?mv??ma?sin?ti?mb?cos?tj 3.2 以速度3.0 m?s?运动的质量为8.0 kg的炸弹爆炸成质量相等的两块，炸后一块的速度为2.0 m?s?，方向沿原来的方向，求另一块的速度． 解: 设炸弹爆炸前的运动方向为正向，爆炸前后动量守恒，即 1 1 MMv1?v2 22MMv0?v18.0?3.0?4.0?2.02解得： v2???4.0ms?1 M4.02 Mv0? 方向沿原来的方向 3.3 冰面上质量为0.2 kg的小球以0.4 m?s?的速度与另一质量为0.3 kg的静止小球碰撞．碰后第一个小球的速度变为0.3 m?s?，方向与原方向发生30°角偏转．分别求两个小球碰撞前后动量的变化以及碰撞过程中受到的力（平均而言）的方向． 'v11 1 m1v1m1300m2'v2 解: 碰撞前后动量守恒 水平方向： m1v1?m1v1cos30?m2v2cos? '0'习 题 '?1竖直方向： m1v1sin30?m2v2sin??0 代入数据解得，??45 v2?0.14ms '0'0''?0.26i?0.15j v2?0.1i?0.1j v1?0.4i v122 由F?t??P 可知碰撞过程所受力的方向与动量变化量的方向一致 '?P1?m1v1?m1v1?(?0.028i?0.03j)kg?ms?1 ?1?arctan0.030.03???arctan?1330 ?0.0280.0280.03??450 ?0.031 '?P2?m2v2?(0.03i?0.03j)kg?ms?1 ?2?arctan3.4质量为80 kg的小车以速度3.6 km/h运动，一质量为60 kg的人以3 m?s?的速度从后面跳上小车，试问小车的速度将变为多大？如果迎面跳上小车，结果又如何？ 解：以小车和跳上去的人为研究系统，水平方向动量守恒： 从后面跳上 Mv0?mv1?(M?m)v2 v2?迎面跳上 ''Mv0?mv1?(M?m)v2 v2?Mv0?mv180?1?60?3??1.86ms?1 M?m80?60Mv0?mv180?1?60?3???0.71ms?1 M?m80?603.5 三个质量同为m的人站在质量为M的静止的小车上，他们以相对于小车的速度v沿同一方向跳离小车．试分别就他们同时跳离和一个一个依次跳离两种情况求小车的速度． 解： 以小车和车上的认为研究系统，水平方向动量守恒： 同时跳离时： 0?Mv?3mv 解得，小车的速度 v?? 一个一个依次跳离时： 0?(M?2m)v1?mv (2m?M)v1?(M?m)v2?m(v1?v) (m?M)v2?Mv3?m(v2?v) ''3mv M?mm2?2Mm?解得，小车的速度 v3????2m?M?M?M?m???v ??3.6 一子弹以400 m?s?的初速度与水平方向成60°角的方向由静止的枪中射出，子弹离开枪50 s后爆炸成质量相等的两块碎片，其中一块碎片的速率立刻为零，因而该碎片竖直下落，忽略空气阻力，试问另一块碎片离枪多远着地？ 1 习 题 23 v0600 0?1解: v0x?400?cos60?200ms v0y?400?sin600?2003ms?1 t?50s 时爆炸前 ?1 vx?200ms vy?v0y?gt?2003?9.8?50??143.6ms?1 v?(200i?143.6j)ms?1 爆炸瞬间 动量守恒 Mv?M'v v'?2v?(400i?287.2j)ms?1 211h?v0yt?gt2?2003?50??9.8?502?5070m 221h?v'yt'?gt'2 代入数据解得 t'?14.2s 2l?v0xt?v'xt'?200?50?400?14.2?15680m 3.7 ?粒子散射．在一次?粒子散射过程中，?粒子和静止的氧原子核发生“碰撞”，如图3-29所示．实验测出碰撞后?粒子沿与入射方向成?=72°角方向运动，而氧原子核沿与?粒子入射方向成?=41°角的方向“反冲”，求碰撞前后?粒子的速率比． m?????720???410m?o? 解：分别取水平向右和竖直向上为X轴和Y轴正向，以?粒子和原子核组成的系统为研究对象，碰撞前后动量守恒： 水平方向： m???v0?m???v1cos??m?o?v2cos? 竖直方向： m???v1sin??m?o?v2sin??0 解得， v0?cos??sin?cot??0.309?1.094?1.403 v13.8 如图3-30所示．质量为M、半径为R的半圆形滑槽停在光滑的水平面上，另有一质量为m的小球自顶端沿圆弧由静止下滑．求当小球滑到底部时，M移动的距离． 习 题 '解: 水平方向动量守恒 Mv?mvx?0 '' 设小球相对于滑槽的水平速度为 u vx?u?v v??24 mu m?M ?XMmmR ??vxdt??udtudt?R?X??M??m?Mm?M000ttt3.9 半径为a的圆形水管弯成直角．当水管中水的流速为v时，求拐弯处水管受到的平均 作用力的大小和方向． F'Fv2v1v2?vv1 解: ?v?v2?v1 v1?vj v2?vi Fdt?dm?v2?v1??dm?v F? F?dm?vi?vj? dm??水?a2v dtdt2?水?a2v2 F'??F 3.10 机枪每分钟发射180发子弹，子弹质量为10 g，发射时的速度为800 m/s，求射击时的平均后坐力 dm'180?10?10?3v?v??800?24N 解: Fdt?dm?v?v? F?dt60'??3.11 如图3-31所示，圆锥摆的摆球质量为m，摆长为l，摆线与铅垂线间的夹角为?，试分别用冲量定义和动量定理计算摆球转半圈的过程中所受的总冲量． lTm ?Fmg 解: 由图可知： mg?Tcos? F?Tsin? 冲量的定义： dI?Fndt 习 题 25 I??Fndt??mgtan??cos?ti?sin?tj?dt?mgtan?又由 F?m?lsin??mgtan? 21??sin?ti?cos?tj?0???2mgtan?1?j1??lcos? g I?2msin?glj cos? 动量定理： I?P2?P1?mv2j?mv1j ?v2??v1?v? glv2j ?mgtan? 解得：I?2mvj?2msin? mcos?lsin?3.12 传送带以恒定的速度v水平运动，传送带上方高为h处有一盛煤的料斗，连续向下 卸放煤，单位时间落煤量为?．求碎煤作用在皮带上的水平力和皮带作用在碎煤上的力的大小及方向． 解: 分别以传送带运动方向和竖直向上为X轴和Y轴正方向 碎煤作用在皮带上的水平力为F Fdt?vdm F?''' dmv??v F'??F???v dtv1v2皮带作用在碎煤上的力F '' Fdt?dm?v2?v1? F?‘’?vdmvi?2ghj dt?? 2gh F??v?2gh ??arctan v''2方向: 沿皮带运动方向向上?角度 3.13 氢分子质量m=3.3×10? kg，它以（与器壁的法向夹角）??60°的入射角入射到容器壁后沿法线另一侧以同样的角度反射．设氢分子与器壁碰撞前后速度大小不变，均为v=1.6×10 m?s?，碰撞时间为10? s，求氢分子对器壁的平均作用力． 3 1 13 27 0v10600600v2 00 解：v1?vsin60i?vcos60j v2?vsin60i?vcos60j F?t?P2?P1?m?v2?v1??2mvcos60j 0习 题 26 2mvcos600mv3.3?10?27?1.6?103?11???5.28?10N F??13?t?t103.14 有一冲力作用在质量为0.3 kg的物体上，物体最初处于静止状态．已知力与时间t的关系为 ?2.5?104t F?t???25?2.0?10?t?0.07?0.020.070?t?0.020.02?t?0.07 式中单位为SI．求：（1）在上述时间内的冲量、平均冲力；（2）物体的末速度． 解：（1）I?Fdt? F???02.5?10tdt??40.022.0?105?t?0.07?dt??735.66Ns 2I?735.66???1.05?104N ?t0.07I?735.66（2）I?mv?0 v????2.45?103ms?1 m0.31 1 1 3.15 某喷气式飞机以200 m?s?的速率在空中飞行，引擎以50 kg?s?吸入空气并与燃料混合燃烧，设燃料质量与空气质量相比可以忽略，燃烧后的气体以400 m?s?的速度相对于飞机向后喷出．试求此飞机引擎的推力． 解： 气体进入引擎时的相对速度为200ms，喷出时的相对速度为 F?u出?1400ms?1 dMdM?u进??400?200??50?1?104N dtdt3.16 台秤称米．质量为m的米粒自离台秤h高度自由下落，设每秒钟有n粒米粒落到台秤上，求t时刻台秤的示数． 解： 由变质量方程 F外?MdMdvdMdvdM?dv??0;?nm? 得： N?nmgt?M ??u?udtdtdtdtdt?dt? 以向下为X正方向，上式投影为 N?nmgt??nmu u? N??nmgt?2gh 3.17 （1）质量为2 kg的质点的运动学方程为 r?(6t2?1)i?(3t?3)j(SI) ?2gh ??? 求力的大小和方向． （2）证明习题3.1中质点所受到的合力恒指向原点 解： （1）a?dr?12i F?ma?2?12i?24i dt2 力的大小为24N，方向沿X正向 （2）r?acos?ti?bsin?tj 习 题 v??a?sin?ti?b?cos?tj a??a?cos?ti?b?sin?tj F?ma??m?r F恒与r同轴反向，指向原点 3.18 一长为L，质量为m的匀质绳，求下列两种情况下绳内各点处的张力：（1）绳放在光滑斜面上，斜面仰角为??，沿斜面以恒力F拉绳一端；（2）绳绕其一端以角速度?在水平内转动，忽略重力． 22227 Fdxx ? 解： （1） 以dx为研究对象有 mmgxdx?F?sin? ??LLF 当绳不动或作惯性运动时，mgsin??F T??L?x? L T?F?gsin?dm?F?gsin? （2） dx 以dx为研究对象 T?xo ?Lx?xdm??2Lxm?2m?22xdx?L?x2 L2L??3.19 如图3-32所示，物体与地面间的摩擦系数为0.20，以轻绳系于物体之一端，并通过滑轮以一水平力 F= 8 N 拉此物体，设物体的质量为 2 kg，（1）问绳与水平方向的夹角?为何值时，物体的加速度为最大？（2）求此时的加速度以及地面对物体的作用力． NF?f解： mg （1） 对物体进行受力分析可得： 竖直方向： Fsin??N?mg 习 题 水平方向： Fcos??f?ma f??N 联立得： Fcos????mg?Fsin???ma 28 a?Fcos???Fsin???g?4cos??0.80sin??1.96?16.64sin??????1.96 m当????时，a取到最大值amax 24?tan???5 ??arctan5 ???arctan5?11.30 0.802? （2）amax?16.64?1.96?2.12ms?2 地面对物体的作用力F?f?N N?mg?Fsin??2?9.8?8?sin11.3?18.03N f??N?0.20?18.03?3.61N F?'0'f2?N2??3.61?2??18.03?2?18.39N ?'?arctan????N?18.390? ???arctan?101.3?3.61?f?3.20 两根弹簧的劲度系数分别为k1和k2．试证明（1）当它们串联起来时，总的劲度系数为k?k1k2；（2）当它们并联起来时，总的劲度系数为k?k1?k2． k1?k2解：（1）当它们串联起来时，弹簧中的力相等为F ?FF? F?k1x1 F?k2x2 F?kx?k?x1?x2??k??k?k?? 2??1 可得： kk111?? k?12 k1?k2kk1k2（2） 当它们并联时，弹簧伸长量相等为x F1?k1x F2?k2x F?kx F?F1?F2??k1?k2?x 可得：k?k1?k2 3.21 质量为M的木块置于桌面上，木块与桌面间的摩擦系数为??，今再在木块上置一质量为m的物体，它与木块间的摩擦系数为??．问用多大的水平拉力才能把木块抽出来（即相对于m移动）？ 习 题 N29 ?2?1MmFf2f1FN'f1 ?M?m?gmg ''解：对m受力分析可得：N?mg f1??2N?mam am??2g 对M受力分析可得：N??M?m?g F?f1?f2?MaM 解得：F?f1?f2?MaM??2mg??1?M?m?g?MaM 若要将木块抽出需aM?am 即F???1??2??M?m?g 3.22 在光滑水平面上固定有一半径为R的圆环形围屏，质量为m的滑块沿环形内壁滑动， 滑块与壁间摩擦系数为?．求：（1）当滑块速度为v 时，它与壁间的摩擦力及滑块的切向加速度；（2）滑块的速率由v 变为 v/3 所需的时间． mR? o mv2解： （1）法向：N?F? 切向：f??N??ma Rv2mv2 联立解得：f?? a??? RRv2dt （2）由 dv?adt???R 得 dt??R1R1R12Rdvt??dv?? 22??v?v?vv?vv3vv33.23 质量分别为m1、m2和m3的物体通过绳和滑轮连接为如图3-33所示的系统．不计滑轮和绳的质量以及各处的摩擦力，求各物体的加速度和绳中的张力． 习 题 30 NT2T3m3m3g m1T1m2m2gm1g 解： 对三物体分别进行受力分析可得： T1?m1a1 m2g?T2?m2a2 m3g?T3?m3a3 T1?T2?T3 T2?T3 a2??a3 解得：a1?4m2m34m1m2m3g T1?m1a1?g ????m1m2?m3m1m2?m3m2?m3gm2?m3 T2?T3? a2??a3?2m1m2m3g m1?m2?m3?3.24 旋转水筒．有一高为h=12 cm，半径为r=6 cm的圆柱形筒，其中2/3充满水后放在转台上绕其轴线匀速转动．（1）证明圆筒内的水面是一个旋转抛物面；（2）转动的角速度达到多大时，水开始从筒内异常溢出？ （1） 以任一水面小体元为研究对象，如图进行受力分析可得： Ncos???mg Nsin???m?r 解得：tan??2?2rg 又有 tan??dz dr z得： dz??2rgdr z??r?2rg0dr??2r22g 即证筒内水面是一个旋转抛物面 （2） 旋转抛物面内的体积 V? V?N???2r44g ?r02?rzdr??2?r0r?2r22gdr??mgor 12?rh 32r 联立解得：??gh 水开始从桶内溢出时r?0.06m h?0.12m 3习 题 31 代入数据解得：??20.87rads 3.25小车在倾角为??的光滑坡面上自由下滑，求车内悬挂的摆锤悬线与竖直方向的夹角． 解： 以小车为非惯性参考系，考虑惯性力的作用，受力分析如图所示： ?1T?Fmg ? 水平方向：Tsin??mgsin?cos? 竖直方向：Tcos??mgsin?sin??mg 联立解得：??? 3.26 如图3-34所示，升降机中质量分别为M和m的物体，通过跨过轻滑轮的不可伸长的轻绳相连．不计摩擦，当升降机以g/2（g为重力加速度）的加速度上升时，分别对升降机和地面求两个物体的加速度 NTma'?1g21??m?g?g?2??TM1??M?g?g?2?? 解： 分别取水平向右和竖直向下为X轴和Y轴正方向 以升降机为非惯性参考系，考虑惯性力的作用，受力分析如图所示： 可得： T?ma M?g? ??1?3Mgg??T?Ma 联立解得：a? 2?2?M?m?am?3Mg3Mgi aM?j 2?M?m?2?M?m?习 题 以地面为参考系 32 am??3M3Mg11?2M?mi?gj aM????gj?gj ??2?M?m?22?M?m??2?M?m?2?3.27 求均匀等边三角形薄板的质心 ydyo x 解： 设等边三角形的边长为a，有图可知：第一象限x??31y?a 323a2yc? 1M?ydm?2?M?3a20?31?2??3312??dy???y??y?ay?ay??3???2?M?94??o ?a33a3?3??????a?2?16?63a?88 根据对称性可知xc?0 等边三角形薄板的质心Rc?3aj 即为重心的位置 63.28 如图3-35所示，在半径为R的匀质薄圆盘中偏心地挖去一半径为R/2的半圆洞，设剩下部分的质量为M，两圆心的连线OO1=R/2，求它的质心的坐标． [答案：（0，?R/14?4R/21?）] ydyroxx 根据对称性可知，xc?0 x?y?r yc?22212?ydm?m?m?r0yxdy?2?m?r0yr2?y2dy??m?0rr2?y2dy2 习 题 2233 令t?r?y yc???t?m12dt???2m3t??32?2?rm32?y3r220??1R2??r ? m??????m324???2382R32Ryc?? 23??R38若以圆盘中心为坐标原点，则挖去部分的质心的坐标为 x1c?0圆盘的质心坐标为 x2c?0 y2c?0 剩下部分的质心坐标为 xc yc 由质心的定义可得： x1cm?xcM?0 y1cm?ycM?0 解得：xc?0 yc?? y1c?R2R ?23?R2R ?1421?3.29一小船静止在无风的静水中，问人在船上不停地走动能否使船到达彼岸？设小船在无阻力的水面上静止飘浮，小船质量为M，长为L，（1）若一质量为m的人以相对船为a的加速度在船板上运动，求船相对水面的加速度；（2）若质量分别为mA和mB（mA>mB）的两人，分别从船头和船尾同时以相对船的相同速率v0向位于船正中但固定在水中的木桩走去，则谁先走到木桩处，所需时间为多少．（3）一质量为m=50 kg的人站在一条质量为M=200 kg、长度L=4 m的船头上，开始时船静止．试用质心法求当人走到船尾时人和船相对于岸各移动了多少距离． 解： 不能 （1）设船相对水面的加速度为a 任一时刻t系统动量守恒 ' ma?at?Mat a?'?'?'ma M?m（2） mA?mBmAmBx 系统动量守恒 设vA和vB为对水面的速度 习 题 mAvA?mBvB?Mv?0 vA?v0?v vB??v0?v 解得：v?34 ?mB?mA?v0mA?mB?M?0 沿X轴负方向 vB?vA 所以B先走到木桩处 LLL?mA?mB?M?2? tB?2? vBv??mA?mB?v02?2mA?M?v00mA?mB?M(3)人和船组成的系统的质心位置不变 ymo 由质心的定义可得： Mx 设人在船头时，系统质心距离船头的距离为xc x1cm?x2cM??M?m?xc x1c?0 解得：xc? x2c?L 2M2004x2c???1.6m m?M2502' 设人走到船尾时，系统质心距离船头的距离为xc ''''' x1cm?x2cM??M?m?xc x1c?L x2c?L 2'x1'cm?x24?50?2?200cM??2.4m x?M?m250'c' 船相对于岸移动 L?xc?xc?0.8m ''' 人相对于岸移动 L??xc?x1c??x1c?xc??1.6?0???4?2.4??3.2m ??平行运动时，密度为多少? 解：运动长度收缩 相对论质量 运动的体积： X?X0v21?2c,Y?Y0,Z?Z0习 题 35 运动时的质量： V?XYZ?X0v2v21?2Y0Z0?X0Y0Z01?2ccv2?1?2c v2?1m?m0(1?2)c??m?Vm0v2(1?2)c8.17 一个电子的总质量是其静止质量的5倍，问它的速率、动量和动能分别为多少？ 解：相对论质量 动量和动能 v2?1?m?m0(1?2)?5cv?0.98cP?mv?4.9m0cEk?c2(m?m0)?4c2m08.18 将一个电子从静止加速到0.1 c的速度需要做多少功？从0.8 c加速到0.9 c需要做多少功?已知电子静止质量m0=9.1×10 -31 kg. 解：质能关系 A?Ek??mc2?(m?m0)c2????1??A1?m0c2??1??0.005m0c22?0.1c???1??????c???????11??2A2?m0c2???0.63mc022??0.9c??0.8c???1?1???????cc??????31 (1)(2)8.19 一个电子和一个正电子相遇转化为电磁辐射，电子与正电子质量均为m0=9.1×10kg，设恰在湮没前两电子静止，求电磁辐射的总能量为多少eV? 解：质能关系 E?c2?m?2m0c2?163.8?10?13(J)?102?106(ev) 8.20 ??介子衰变为μ?子和中微子?:π?→μ???. 求质心系中μ?子和中微子?的能量. 习 题 已知粒子的静质量分别为m?,m?和0. 解：在衰变过程中系统动量守恒 36 P??P?(1) 在衰变过程中系统能量守恒 m?c2?E??E24?E??c2p??m?c22(2)?(3)E??c2p?22(m??m?)c222(4)?E??2m?2E??22(m??m?)c22m?22(m??m?)c2?EK??E??m?c?(m??m?)2c22m?EK??E??2m?8.21 太阳 太阳和绝大多数恒星中最重要的能源是由质子参与的一系列反应产生的，其总结果相当于下述反应： 4H→He + 2e? 已知正电子的静止质量为me+=9.1×10 31 kg，质子（H）的静止质量约为mp=1.67×10 27 27 kg， 一个氦核（He）的静止质量约为mHe=6.64×10（2）消耗1 kg质子所释放的能量为多大？ 解：质能关系 kg. 求：（1）这反应所释放的能量为多大? （1） （2） E?c2?m?c2(4mp?mHe?2me?)?1.98?10?10(J)1?1.98?10?10?3.0?1016(J)4mpE?