（2）非线性无约束极值问题极值的必要条件是什么？充分条件是什么？ （3）为什么说正定二次函数在最优化理论中具有特殊意义？

（4）为什么在常用的无约束极值的算法中，把梯度准则作为终止准则？

（5）一维搜索的目的是什么？为什么说一维搜索是一元函数极小化的数值方法？ （6）二次插值法中插值函数的极小点与所求函数的极小点是什么关系？ （7）二次插值法与黄金分割法的相同和不同点是什么？

（8）为什么说一维搜索求出的极小点为问题的局部极小点？如何求全局极小点？

习题4

1 试用最速下降法求解以下各题（作两次迭代） （1）minf(X)?x1?x2?2x3,X（2）minf(X)?2x1?x2?52试用牛顿法求解以下各题

（1）minf(X)?x1?2x1x2?1.5x2?x1?2x2,X（2）将函数f(X)?x1?3x1x2?2x2,在点X解此二次函数的极小化问题。 3试用共轭梯度法求解以下各题

（1）minf(X)?2x1?2x1x2?x2?2x2,X（2）minf(X)?x1?1?2(x2?2),X4试用变尺度法求解以下各题

（1）minf(X)?x1?x2?x1x2?10x1?4x2,X（2）minf(X)?x1?x2?2x1x2?4x1,X22(())22(())22(())423(())22(())222(0)??2,?2,1?

T????x21?x2?,X(())?(1,2)T

2?(1,1)T

?(1,1)T简化为二次函数，并用牛顿法求

?(3,1)T

??22(())?(1,1)T

?(1,1)T

?(1,1)T

5 思考题

（1）梯度法计算速度慢的原因？

（2）牛顿方向是如何构造的，其优缺点？

（3）共轭梯度法是如何修正梯度法的，有何特点？ （4）变尺度法构造搜索方向的思路。

（5）为什么无约束极值的求解方法得到的都是局部最优解？如何得全局最优解？ 6 . 用Matlab或C语言编程计算1-4题。

习 题 5

1．考虑非线性规划问题

min(x1?3)2?(x2?2)2s.t.x?x?5x1?2x2?4x1,x2?0验证X2122

?(2,1)T是否为K-T点。

1212x1?x2 26x1?x2?1

2．求解如下二次规划 （1）minf(X)?s.t.(2)

minf(X)?x12?x22?2x1?4x2s.t.x1?x2?1x1,x2?03．用外点法求解下列非线性规划 （1）

minf(X)?x1?x2s.t.lnx1?0x1?x2?1

（2）minf(X)?s.t.1212x1?x2 26x1?x2?14．用内点法求解下列非线性规划

22minf(X)?x?4(x?2)12（1）

s.t.（2）

x1?x2?1minf(X)?x1?x2s.t.x?x2?0x1?021

5．用混合函数法求解

minf(X)?x12?x22?3x2s.t.x1?1x2?2

6．用Zoutendijk可行方向法求解

minf(X)?(4?x2)(x1?3)2s.t.x1?x2?3x1?2x2?2x1,x2?0X(0)?(0.2,1.8)T7．思考题

（1）有约束极值问题的解一般位于可行域的什么位置？与线性规划有什么不同？ （2）有约束极值问题的求解方法有哪两类？它们是如何处理约束条件的？ （3）可行方向的迭代过程与无约束极值的算法有何不同？

（4）对一个有约束极值问题的罚函数是一个确定函数吗？为什么？ （5）外点法和内点法各自的特点，共同点和不同点是什么？ （6）二次规划算法的求解思路？

（7）序列二次规划算法的求解由哪几部分组成？如何处理不等式约束条件的？

8．案例练习

（1）最优投资组合问题

最优投资组合问题是非线性优化模型中一个重要和有用的应用。大型投资组合的管理者面对的是如何构造投资资产组合的任务，以便最有效地满足投资者们的需要。

张某是无忧投资咨询公司的一名投资组合经理。李某是广通电器有限公司的经理。李某看见目前股市较好，且目前正好有100万元的流动资金闲置，想将这些资金投资于股市。李四正在考虑投资的股票包括贵州茅台、五粮液、长江电力。李某向张某咨询，如何确定这三支股票的投资比例，希望达到两个主要目标：1）使投资组合收益率的期望值最大化；2）使与投资组合有关的风险最小化。

张某根据已经收集了数据，并估计了有关这些股票的收益率的期望值，以及有关这些股票的标准离差和相关系数信息。这些数据如表5-10所示。

表5-10 年收益率的期望值、标准离差和股票收益率的相关系数表 资产名称 贵州茅台 五粮液 长江电力 （2）飞行管理问题

在约10，000m高空的某边长160km的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。现假定条件如下：

1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km;

年预期收 益率（％） 11．0 14．0 12．3 收益率的标 准离差（％） 4．0 5．6 4．5 相关系数 贵州茅台 1 0．360 －0．295 五粮液 0．360 1 0．067 长江电力 －0．295 0．067 1

2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度； 3）所有飞机飞行速度均为每小时800km;

4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60km以上； 5）最多需考虑6架飞机；

6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。

请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。

设该区域4个顶点的座标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。记录数据如表5-11所示。 表5-11 飞机数据表

飞机编号 1 2 3 4 5 新进入 横坐标x 150 85 150 145 130 0 纵坐标y 140 85 155 50 150 0 方向角（度） 243 236 220.5 159 230 52 注：方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。

试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。

提示：

(xi(t)?xj(t))2?(yi(t)?yj(t))2?64

1?i?n?1，i?1?j?n，0?t?min{Ti,Tj}

其中n为飞机的总架数，(xi(t),yi(t))为t时刻第i架飞机的坐标，Ti,Tj分别表示第i,j架飞机飞出正方形区域边界的时刻。这里

xi(t)?xi(0)?vtcos?i，yi(t)?yi(0)?vtsin?i，i?1,2,?,n；

?i??i0???i，|??i|?0?6，i?1,2,?,n；

其中v为飞机的速度，?i,?i分别为第i架飞机的初始方向角和调整后的方向角。

令

li,j?(xi(t)?xj(t))2?(yi(t)?yj(t))2?64?at2?bt?c

其中a?4vsin22?i??j2，

b?2v[(xi(0)?xj(0))?(yi(0)?yj(0))(sin?i?sin?j)]c?(xi(0)?xj(0))2?(yi(0)?yj(0))2?64

则两架飞机不碰撞的条件是b?4ac?0。

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