测 试 题
——概率论与数理统计
一 选择题
1、某工厂每天分三班生产，事件Ai表示第I班超额完成生产任务（I=1,2,3）则恰有两个班超额完成任务可以表示为（ ）。
（A）A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3 （B）A1A2?A1A3?A2A3
（C）A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3 （D）A1A2?A1A3?A2A3 2、关系（ ）成立，则事件A与B为对立事件。
（A）AB?? （B）A?B?? （C）AB?? （D）A与B为对立事件 3、射击3次，事件Ai表示第I次命中目标（I=1,2,3），则事件（ ）表示恰命中一次。 （A）A1?A2?A3 （B）A1??A2?A1????A3?A2??A1? （C）??ABC （D）A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3 4、事件A，B为任意两个事件，则（ ）成立。 （A） ?A?B??B?A （B）?A?B??B?A （C）?A?B??B?A （D）?A?B??B?A?B 5、下列事件与A互不相容的事件是（ ）。 （A）A?B?C? （B）A?BC
（C）ABC （D）A?B?A?B?A?BA?B
6、对于任意两个事件A和B，与A?B?B不等价的是（ ）。 （A）AB?? （B）B?A （C）AB?? （D）A?B 7、若P?AB??0,则（ ）。
（A）A和B互不相容 （B）AB是不可能事件
（C）A、B未必是不可能事件 （D）P?A??0或P?B??0
??????8、设A、B为两事件，且B?A，则下列式子正确的是（ ）。 （A）P?A?B??P?A? （B）P?AB??P?A?
（C）P?AB??P?B? （D）P?B?A??P?B??P?A?
9、如果常数C为（ ）。则函数??x?可以成为一个密度函数。
（A）任何实数 （B）正数 （C）1 （D）任何非零实数
10、袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（ ）。
35?3?1?3?1（A） （B）?? （C）?? （D）4
5C8?5?8?5?8
11、设A、B为任意两个事件，且A?B,P?B??0,则下列选项必成立的是（ ）。 （A）P?A??P(AB) （B）P?A??PAB （C）P?A??PAB （D）P?A??PAB
12、设P?A??0.8,P?B??0.7,PAB?0.8，则下列结论正确的是（ ）。 （A）A与B互相独立 （B）事件A与B互斥
（C）B?A （D）P?A?B??P?A??P?B?
13、设A、B为互不相容的事件，且P?A??0,P?B??0,则结论正确的是（ ）。 （A）PAB?0 （B）PAB?P?A? （C）PAB?0 （D）P?AB??P?A?P(B)
14、设F?x?与G?x?分别是两个随机变量的分布函数，为使aF?x??bG?x?也是某随机变量的分布函数，在下面各组值中，a与b应取的值是（ ）。
53
??????????????3222,b? （B）a?,b? 55331313（C）a??,b? （D）a?,b??
2222（A）a?15、连续型随机变量?的分布函数是F?x?，分布密度是f?x?，则（ ）。
??x??F?x? （A）a?f?x??1 （B）P???x??f?x? （D）P???x??f?x? （C）P?16、当随机变量的可能值充满区间（ ）时，f?x??cosx可以成为该随机变量分布密度。
（A）?0,???????3?7?? （B） （C） （D）0,?,?,? ??2??24?2?????17、随机变量?的分布列是：
。 P???k??b?k,b?0,k?1,2,?则常数b?（ ）（A）??0,??R （B）??b?1 （C）??11 （D）?? b?1b?118、下面函数中，可以作为一个随机变量 的分布函数的是（ ）。
111??Fx?arctanx? （B） 2?21?x?1x???1?e?x,x?0;（C）F?x???2 （D）F?x???f?g?dt,其中?f?t?dt?1
?????0,x?0.?（A）F?x????19、下面函数中，可以作为一个随机变量的分布函数的是（ ）。
x??2;??0,x?0;??0,?1???（A）F?x???,0?x??2;? （B）F?x???sinx,??x?0;?
2???1,?2,?x???x?0????????0,?0,?x?0;????1（C）F?x???sinx,?x?0;? （D）F?x???x?,???23????1,x????1,2????x?0;??1?x?0;?
?21?x??2?x?0;?0,?x20、设函数F?x???,0?x?1;则（ ）。
2?x?1.?1,（A）F?x?是一个随机变量的分布函数 （B）F?x?不是一个随机变量的分布函数 （C）F?x?是一个离散型随机变量的分布函数 （D）F?x?是一个个连续随机变量的分布
函数
1在下面（ ）情况下是一个随机变量的分布函数。 21?x（A）???x??? （B）???x?0，其他情况适当定义
21、
（C）0?x??? （D）a?x?b，?a,b?R，其他情况适当定义 22、连续型随机变量分布密度是：
0?x?1;?x,?f?x???2?x,1?x?2;则该随机变量人分布函数F?x?是（ ）。
?0,其他?12?12?x0?x?1x0?x?1?2?2??121??31?x?2; （B）F?x?????2x?x21?x?2; （A）F?x???2x?x22??20,其他0,其他??????0,x?0;??12x,0?x?1??2（C）F?x??? 12??1?2x?x,1?x?2;2??1,x?2.?0,x?0;??12x,0?x?1??2（D）F?x??? 312???2x?x,1?x?2;2?2?1,x?2.?23、则c,?应满足（ ）。 P???k??c?ke??/k!?k?0,2,4,??是随机变量?的概率分布列，（A）??0 （B）c?0 （C）c??0 （D）??0且c?0
24、某射手对目标进行射击，直到击中目标为止，设?是该射手击中目标前的射击次数，该射手在一次射击中的命中率是（A）P??k???2，且各次射击是独立进行的，则?的分布列是（ ）。 3???e??/k! ??0,k?0,1,2,?
k??k?2??1?（B） P???k??Cn?????3??3?kkn?k k?0,1,2,?,n
?1?2（C）P???k???? k?0,1,2,?
?3?3?1?（D）P???k?????3?k?12 k?0,1,2,? 325、某射手对目标射击5000次，该射手在一次射击中的命中率是0.001，且各次射击是独立进行的，令该射手在5000次射击中至少命中2次的概率是p，则下面正确的是（ ）。 （A）p?5e?2?5?/2! （B）p?C25000?(0.001)2?1?0.0015000?2
5k?5（C）p??e （D）p?b?0,5000??b?1,5000,0.001? ,0.001k?2k!?26、?的分布列是：：
则F?3??（ ），、?的分布函数是F?x?，P???0??0.3,P???1??0.5,P???2??0.2，
?3?。 F???（ ）
2??（A）0，1，5 （B）0.3，0 （C）0.8，0.3 （D）1，0.8 27、设随机变量?的分布列为
P???k??1,k?1,2,?则E????（ ）。
k?k?1?（A）1 （B）e （C）e?1 （D）不存在 28、设随机变量?的分布列为
? P
k 则E??（ ）
?2 0 2 0.3 0 .4 0.3 ??（A）0 （B）1 （C）229、随机变量?的分布列为
k?1?0.3 （D）不存在
P???k??1?1e,k?0,1,2,? k!则E????（ ） （A）1 （B）
1 （C）e （D）不存在 230、设随机变量?的分布函数为
x?0;?0,?1。 F?x???x2,0?x?2; 则E????（ ）
?4x?2?1,??1212121332xdx （B）?xdx (C)?xdx (D)?xdx （A）?0040202431、设?的分布密度为
。 ???x???则E????（ ）
k（A）k （B）1 （C） （D）4
2f?x??ke??x?1?2,832、设袋子中装有10个球，其中有8个球标有号码2，2个球标有号码5，令某人从袋中随
机放回地任取3个球，则3个球号码之和的数学期望为（ ）。 （A）6 （B）12 （C）7.8 （D）9 33、设随机变量?的可能取值为x1??1,x2?0,x3?2，且E????0,D????1.69，则?的分布列为（ ）。
（A） （B）
? ? ?1 0 2 0.5 0 .2 0.3 P P
（C） （D）
? ? ?1 0 2 0.2 0 .5 0.3 P P
?1 0 2 0.3 0 .2 0.5 ?1 0 2 0.5 0 .3 0.2 34、设?为6重独立重复试验中成功出现的次数，且E????2.4，则E?2?（ ）。 （A）7.2 (B)2.4 (C)1.44 (D)4.32
35、测量正方形的边长，设其值均匀地分布在?a,b?内，则正方形面积的数学期望为（ ）。
??1a?b13b2?a2?ab3（A） （B） （C）b?a （D）
b?a233??36、设随机变量?的分布列为
? P 则D????（ ）。 （A）
0 1 2 3 1111 248871157 （B） （C）1 （D） 648837、设随机变量?的分布密度为
?2x?,0?x??;f?x????2 则D?2?3???（ ）。
?其他?0,3?2?2?27?2（A） （B） （C） （D）
2221838、若?的分布函数为
?0,x?1;则E????（ ），D????（ ）。 F?x????1,x?139、设随机变量?与?的方差分别为4和6，且???,???0，则D???2???（ ）。 （A）10 （B）16 （C）20 （D）28
40、下列关于事件上在1次试验中发生次数的方差的描述中正确的是（ ）
1 （B）此方差?41（C）此方差? （D）此方差?4（A）此方差?1 41 441、已知?i的密度为f?xi??i?1,2,?,100?，并且它们相互独立，则对任何实数x，概率
?100?。 P???i?x?是（ ）
?i?1??100?（A）无法计算 （B）?????f?xi??dx1dx2?dx100
?i?1?（C）可以用中心极限定理计算出近似值
（D）不能用中心极限定理计算出近似值
42、设随机变量?的方差存在，并且满足不等式P??E????3?（A）D????2 （B）P???E??????2，则一定有（ ）。 9????7?? 9?7?? 9?（C）D????2 （D）P???E????43、设随机变量?1,?2,?相互独立，且服从同参数?的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件的是（ ）。
（A）?1,?2,?,?n,? （B）?1?1,?2?1,?,?n?n,? （C）?1,2?2,?,n?n,? （D）?1,?2,?,?n 44、设?1,?2,?,?n是来自正态总体N?,?121n?2?的简单随机样本，?是样本均值，记
1n1n22S1??i?? ??i??，S2?n?n?1i?1i?1??2??21n1n2??i??? ， S4???i??? S???n?1i?1n?1i?12322则服从自由度为n?1的t分布的随机变量是（ ）。 （A）t????S1n?1 （B）t????S2n?1
（C）t????S3n?1 （D）t????S4n?1
45、样本?1,?2,?3,?4为取自正态总体?的样本，E?????为已知，而D?????2未知，则下列随机变量中不是统计量的是（ ）。
14（A）????i （B）M??1??4??
4i?114（C）R?2??1?? （D）S???i??3i?1?i?114??22??2
2
46、设随机变量?服从正态分布N??,??,?,?,??n?2?为取自?的样本，?和S
2122分别
是样本均值与样本方差，则下列结论正确的是（ ）。 （A）2?2??1~N??,?? （B）??????2S2~!F?1,n?1?
（C）
S2?2~?2?n?1? （D）
???Sn?1~t?n?1?
47、设总体?~N??,??,?22已知而?为未知参数，??1,?2,?,?n?是从?中抽取的样本，
1n记????i，又??x?表示标准正态分布的分布函数，已知
ni?1。 ??1.96??0.975,??1.28??0.90,则?的置信度为0.95的置信区间是（ ）（A）????0.975????n,??0.975??????? （B）????1.96?,??1.96????? n?nn??（C）????1.28????n,??1.286??????? （D）????0.90?,??0.90????? n?nn??48、设某钢珠直径?服从正态分布N??,1?（单位：mm），其中?为未知数和参数，从生产
19出的一大堆钢珠中随机抽出9个，求得样本均值x??xi?31.06，样本方差
9i?1192。 s??x1?x?0.982，则?的最大似然估计值为（ ）
9i?1??2（A）31.06 (B)0.98 (C)30.08 (D)279 49、设总体?的二阶矩存在，
??1,?2,??n?是从总体?中抽取的样本，记
1n1????i,Sn2???i??则E?2的矩估计是（ ）。
ni?1n??2??n1n22Sn （D）??i （A）? （B）S （C）
n?1ni?12n50、设总体?服从正态分布N??,??，其中?未知?22已知，??1,?2,?,?n?为取自总体?
????1n的样本，记????i，则?作为?的置信区间，其置??u?,??u??0.050.005??ni?1nn??信度为（ ）。
（A）0.95 (B)0.90 (C)0.975 (D)0.05
???，则??不是?的（ ）51、设??是未知参数?的一个估计量，若E?。
（A）最大似然估计 （B）矩估计量
（C）有效估计量 （D）无偏估计量 52、设总体?的密度函数为：
???e???1xP?x,??????0,?1x?0;其中，??0，为未知参数，??1,?2,?,?n?为取自总体?的x?0.1n一个样本，记????i，则?的矩估计量为（ ）。
ni?111n1n2*2（A）? （B） （C）sn??xi?x （D）sn??xi?x
?ni?1ni?1??2??253、设总体?服从正态分布N??,??，其中?,?22均为未知参数，（?1,?2,?,?n）是取自
1n1n2总体?的样本，记????i,sn???i??，则?的置信度为1??的置信区间
ni?1ni?1??2为（ ）。
?SnSn??? ,??ta?n?1?（A）??ta?n?1???nn?22??（B）???ta?n?1??2???Snn?1,??ta?n?1?2?? n?1??Sn（C）???ta?n?1??2????n,??ta?n?1?2??? ?n?（D）???ta?n?1??2????n?1,??ta?n?1?2?? n?1???54、设??1,?2,?,?n?是从正态总体N???3,1?中抽得的样本，其中?为未知参数，记
1n。 ????i，则?的最大似然估计量是（ ）
ni?1（A）? （B）??3 （C）??2 （D）??1 55、设正态总体?~N12n1??,??，?~N??,??，其中?,?,?,?1212221212均为未知参数，而
??,?,?,??与??,?,?,??分别为总体?,?12n2的相互独立的样本，记
*2211n1n1*2??，????i,S1?????in2ni?1n1?1i?1??2??,Sii?1n21???i??，则 n2?1??2?12的置信水平为0.95的置信区间是（ ）。 2?2?S1*2?S1*211?(A)
?S*2?F?n?1,n?1?,S*2?F?n?1,n?1???
0.0520.95122?2?
?S1*2?S1*211?（B) ?*2? ,?*2?S??2F0.0975?n?1,n2?1?S2F0.025?n1?1,n2?1???S1*2?S1*211??(C) ?*2?,*2?? ????Fn?1,n?1Fn?1,n?1SS0.0520.95122?2??S1*2?S1*211(D) ??,??S*2F?n?1,n?1?S*2F?n?1,n?1???
0.02520.975122?2?56、在假设检验中，显著性水平a表示（ ）。
（A）P接受H0H0为假 （B）P拒绝H0H0为真
????（C）置信度为a （D）无具体意义
57、在假设检验中，原假设H0，备择假设H1，则称（ ）为犯第二类错误。 （A）H0为真，接受H1 （B）H0不真，接受H0 （C）H0为真，拒绝H1 （D）H0不真，拒绝H0。
58、机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中，分别抽取n1?20,n2?25的两个样本，检验两台机床的加工精度是否相同，则提出假设（ ）。
22（A）H0:?1??2;H1:?1??2 （B）H0:?12??2 ;H1:?12??222C）H0:?1??2;H1:?1??2 （D）H0:?12??2 ;H1:?12??259、方差分析是一个（ ）问题。 （A）假设检验 （B）参数估计 （C）随机试验 （D）参数检验 60、方差分析中，常用的检验方法为（ ）。
（A）U检验法 （B）t检验法
（C）?2检验法 （D）F检验法
61、单因素方差分析中，数据xij,i?1,2,?,nj;j?1,2,?,s可以看作是取自（ ）。 （A）一个总体?~N（B）s个总体?j~N（C）s个总体?j~N??,??
2??,??,j?1,2,?,s
2j2??,??,j?1,2,?,s
??,??,i?1,2,?,n;j?1,2,?,s
2jj（D）n个总体?j~N2SAB62、方差分析中使用的F检验法，统计量?是用来检验（ ）。 2Se（A）因素A作用的显著性 （B）因素B作用的显著性
（C）因素A和因素B相关性 （D）因素A和因素B交互作用的显著性 63、方差分析的基本依据是（ ）。
（A）离差平方和的分解 （B）小概率事件在一次试验中不会发生 （C）实际推断原理 （D）随机变量?服从正态分布 64、以下可以作为离散型随机变量的分布列的是（ ）。
?3n?（A）?,?,?,??R （B）??,n?1,2,?
?n!?23?5n?5?1111（C）?e?,n?1,2,? （D）,,,
n!23612??65 如果常数C为（ ）。则函数??x?可以成为一个密度函数。
（A）任何实数 （B）正数 （C）1 （D）任何非零实数 66 P???n??P????n??1?n?1,2,??则E??（ ）。
2n?n?1?（A） 0 （B）1 （C）1.5 （D）不存在 67 设?的密度函数为??x??1，则2?的密度函数为 2n1?x??（A）
1121 （B） （C） （D） 2222?1?x?4?x?1?4x?x???1??4?????????68、任何一个连续型函数随机变量的密度函数p?x?一定满足（ ）。
（A）0???x??1 （B）在定义域内单调不减。 （C）
???x??1 （D）??x??0
???69、设?的密度函数为??x??1，则2?的密度函数为 （ ） 2?1?x??（A）
112 （B） （C）
?1?x2?4?x2?x2??1?4????????? （D）
1 2?1?4x??70、P???n??P????n??1?n?1,2,??
2n?n?1?（A）0 （B）1 （C）1.5 （D）不存在
71、仅仅知道随机变量?的数学期望E?及方差D?，而分布未知，则对任何实数a,b,?a?b? 都可以估计出概率。（ ）
（A）P?a???b? （B）P?a???E??b? （C）P??a???a? （D）P???E???b?a?
72、已知随机变量?满足P??E??2?1，则必有（ ） 1611115（A）D?? （B）D?? （C） D?? （D）P???E??2??
44416?73、样本?X1,?,Xn?，取自标准正态分布总体N?0,1?,X,S分别为其样栖平均数及标准差，
则（ ）
（A）X~N?0,1? （B） nX~N?0,1? （C）
?Xi?1n2i~x2(n) （D）X/S~t?n?1?
74、设?X1,?,X2?来自于正态总体N?1,2?的简单随机样本，则( ) （A）X~N?1,? （B） X~N?1,?
?1??n??2??n?1n1n222（C）?X1?X~x?n? （D） ?X1~x?n?
2i?12i?1??75、设样本X1,?,Xn取自总体?,E???,D???则有( ) （A）X1?1?i?n?是?的无偏估计。 （B）X是?的无偏估计。 （C）Xi2是?的无偏估计 （D）X是?的无偏估计。
76、样本?X1,?,Xn?取自总体?，E???,D???则有（ ）可作?的无偏估计
222222（A）当?已知时，统计量
??Xi?1ni???/n
221n（B）当?已知时，统计量?Xi??? ?n?1i?11n（C）当?未知时，统计量??Xi???
ni?11n（D）当?未知时，统计量Xi?X ?n?1i?177、如果?与?不相关，则 （ ）
（A）D??????D??D? （B）D??????D??D?
2??2（C）D?????D?.D? （D）E?????D??D?
二 填空题
1 在掷色子的游戏中，A表示点数之和大于7，若考虑掷一颗色子， 则A= ；
若考虑掷10颗色，子，则A= 。 2 若事件A?B，则A?B? ，AB? 。
们表示下列事件： 3 设A，B，C，D为四个随机事件，用它 C，D不发生 ； 1?A，B发生，但 2?A，B，C，D至少有一个发 生；3?A，B，C，D恰有一个发生；
4?A，B，C，D都不发生。 4 用步枪射击目标5次，设AI为第I次击中目标，I??1,2,3,4,5?，
B为“五次击中次数大于2”，用文字叙述下列事件：
?1?A??AI ?2?A ?3?B
I?15 5
若A?B，则P?A? P?B?。
6 判断下列命题是否正确：
1?A与?互不相容 ； 2?若A?B??，则P?A??P?B??1 ； 3?P?A?A??2P?A?； 4?AB??，则AB?1。
17 一机床有的时间加工零件A，其余的时间加工零件B，加工零件A时停工
3的概率是0.3,加工零件B时停工的概率是0.4,则这个机床停工的概率是 。 8 加工一个产品要经过三道工序，第一，二，三道工序不出废品的概率分别为
0. 9, 0.95, 0.8 ,若假定各工序是否出废品是独立的，则经过三道工序而不出废品的概率为 。
9 设A,B为两个事件,判断下列命题是否成立：
1? 若P?AB??0，则P?A??0
2? 若p?AB??0,则P?AB??0 3? 若p?AB??0，则A??
4? 若P?AB??0，则P?A??0或P?B??0 5? 若A，B互相独立，则P?AB??0。
10 已知随机变量?只能取?1,0,1,2，相应的概率分别为
1357,,,,则常2C4C8C16C数C为 。
11 重复独立地掷一枚均匀硬币，直到出现正面向上为止，则抛掷次数Y的分布为 。
12 一批产品有20个，其中有5个次品，从这批产品中随意抽取4个，求次品数Y 的分布为 。
13、已知离散型随机变量?的分布列为
? －2 －1 0 1 2 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 则：1）?1??2的分布列为
2）?2??的分布列为 。
14、?服从区间[0，1]上的均匀分布，则??3??1的密度函数为 。
15、已知离散机变量?的分布列
? ?? ??2 0 ? P 0.3 0.3 0.4 0.1 则1）?1?sin?的分布列为； 2）?2?2??2的分布列为。
16、如果?服从0—1分布，又知?取1的概率为它取0的概率的两倍，则E?＝17、???E?:E?是否正确？
18、?1,?2都服从区间[0，2]上的均匀分布，则E??1??2?＝ 。 19、设随机变量?的分布列为
? 0 1 2 P 12 38 18 则1）E?＝ ， 2）E?2＝ ， 3）E?3?2?4?＝ 。
20、设?1,?2,?3,?4,?5相互独立，且都服从区间[0，1]上的均匀分布，则
D?2?1??2??3??4??5? ＝ 。
。21、事件A在每次试验中出现的概率为0.3,进行19次独立试验。则 1）出现次数的平
均值为 标准差为 ，2）最可能出现阶的次数为 ，3）最可能出现次数的概率（中心项）为 。
22 、一批产品20个中有5个废品，任意抽取4个，则废品数不多于2的概率为 。 23设?服从 参数为?的分布，则方差＝ 。
24、已知?服从参数为?的指数分布，且D??4，则?＝ P?2???8?＝ 。 25、已知?~N?1.5,4?，则??2??1的分布为？
26、某产品的废品率为0.03，用切贝谢夫不等式估计1000个这种产品中废品多于20个且少于40个的概率为？ 27、设Z1,Zr,Z3是来自正态总体Nu,?2的简单随机子样，u,?2是未知参数。 下列是统计量的是 ，不是统计量的是
231）Z1?Z2 2）Z1?Z2?u 3）Z1?Z2 ?Z3??4）Z1?1?22Z2 5）
1?Z1?Z2???2 6）1?Z1?Z2?2u??Z3?u 2228、设?1与?2相互独立，且?1~N?1,4?,?2~N?2,9? 则??2?1?3?2的分布为 29、已知随机变量的取值是－1,0,1,2，随机变量?取这四个数值的概率依次是
1352,,,，则b? 。 2b4b8b16b30、?~B?1,0,8?则?的分布函数是 。
31、设袋中有五个球，其中两个红球，三个白球，从袋中任取两个球，则两个球中至少有一
个红球的概率是 。 32、用?的分布函数F?x?表示如下概率：
（1）P???x?? ； （2）P???x?? ； （3）P???x?? ； （4）P?y???x?? ；
33、P???y??1??,P???x??1??，这里x?y,P?x???y?? 。 34、离散型随机变量?的分布函数是：
x??1;?0,?a,?1?x?1;1???2??,则a? ，b? 。 且P?F?x???22?3?a,1?x?2;?a?b,x?2.?35、某射手对目标进行四次射击，且各次射击是独立进行的，若至少命中一次的概率是
15, 16则该射手在一次射出中的命中率p是 。 36、设随机变量?的分布列为
? 1 －2 3 P 0.3 0.5 0.2
则E???? ，E??2?? 。 37、设随机变量?的分布列为
P???k??aM,k?1,2,?,M，则a? ，E???? 。 38、将一颗均匀骰子连续投掷1000次，用?表示这1000次中点数5出现的次数，则
E???? 。
39
设离散型随机变量?的所有可能取值仅为a,b，P???a??0.7,E????1.3,D????0.21则?的分布列为 ① ，E??2?? 。40、设?~P?3?，则E?3??5?? 。 41、设二维随机向量??,??~N??,?,?2121,?22,??，则E??,??? 。
42、设随机变量?服从参数为非作歹的指数分布，随机变量?的定义如下：
?1,??1;????0,??1，则D???? 。
???1,??143、设随机变量?的分布密度为
?1?x,?1?x?f?x???0;?1?x,0?x?1;则D???? 。
??0,其他44、设离散型随机变量?的分布函数为
且
x??2;?0,?0.1,?2?x?0;??F?x???0.4,0?x?1;则D???? ，令??1?2?，则D???? 。
?0.8,1?x?3;??x?3.?1,
三 计算题
1 已知某射手射击一次中靶6次,7次,8次,9次,10次的概率分别为0.19, 0.18, 0.17,0.16, 0.15, 该射手射击一次,求: 1?至少中8环的概率； 2?至多中8环的概率。2 已知P?A??0.20,P?B??0.45,P?AB??0.15,求:
A? 1? PAB 2?PAB 3?PA?B 4?PA 5?P???。 B?B?3 用3个机床加工同一种零件，零件由3个机车加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2,各机床加工零件的合格率分别为0.94, 0.9, 0.95,求全部产品中的合格率。
4 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“0”和“1”,由于通信系统受到干扰,当发出信号“0”时,分别以概率0.8和0.2收到信号“0”和“1”,当发出信号“1”时,分别以概率0.9和0.1收到信号“1”和“0”,求当收到的信号为“0”时，发出的信号确实为“0”的概率,当收到的信号为“1”时,发出的信号确实为“1”的概率。
1115 三人独立地去破译一个密码，他们能破译出的概率分别为,,.问能将该密
543码破译出的概率是多少？
6 某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意义的概率为0.7，现在机构对某事可行与否个别征询各位顾问的意见，并按多数人的意见做出决策，求做出正确决策的概率？
7 一批产品有10件正品,3件次品,每次不放回地随机抽取一件,直到取得正品为止,求抽取次数Y的分布.
8 盒内装有外形和功率均相同的15个灯泡,其中10个螺口,5个卡口,灯口向下放着,现需要1个螺口灯泡,从中取1个,如果取到卡口灯泡就不放回去,求在取得螺口灯泡前取得卡口灯泡个数Y的分布。 9 设随机变量Y的分布列为： Y 0 1 2 3
AAAA P
2345???????? 求 1? 系数A及Y的分布列； 2? Y的分布函数并作图；
3? P? 1?Y?3?，P?1.5?Y?3.5?，P?Y?2.5?。10 确定常数K使??x?成为密度函数：
?kx?1?1???x???1?x2? 其他?0K2???X????〈X〈??21?X11、设?的密度函数为
?1?cosx,??x???2??0给出密度曲线。 求1)P?0???x??2,
其他???????????,2)P????,3)P???????。 ?4?3?4??4??1,0?x?1,?12、已知?~??x???2x求?的分布函数F?x?，并画出F?x?的图形。
?其它。?0,13、袋中有6个球,其中4个白球，2个红球，无放回的现两次，每次取一个，设?为取一的
白球数。?为取到的红球数，求1）??,??的边缘分布列。
14、假设电子显示牌上有3个灯泡在第一排，5个灯泡在第二排队，令?,?分别表示在某一规定时间内第一排和第二排烧坏的灯泡数。若?与?的联合分布如表所示，试计算在规定
时间内下列事件的概率：
（1）第一排烧坏的灯泡数个超过一个； （2）第一排与第二排烧坏的灯泡数相等；
（3）第一排烧坏的灯泡数不超过第二排烧坏的灯泡数。
15、袋中装有标上号码1、2、2的三个球，从中任取一个并且不再放回，然后再从袋中任取 16、已知?服从参数p?0.6的0-1分布，即
r???0??0.4，P???1??0.6，在??1时关于?的条件分布列为：
求：1）二元随机向量
??,??的联合分布列，2）在??1时，关于?的条件分布列。
17、设离散型随机变量??,??的联合分布如如下
求：1）关于?,?的边缘分布列。
2）??0时，关于?的条件分布列。 3）???1时，关于?的条件分布列。
18、设??,??只取下列数组中的值，（0,0）,(—1，1) ??1,?，（2,0）且相应概率依次为
??1?3?1115,,,，求关于?,?的条件分布列。 631212
。
21、设?在?0,2?上服从均匀分布，?服从参数为??3的指数分布，且???相互独立，
求??,??的联合密度函数。
22、一个商店每星期四进货，以备星期五、六、日三天销售，根据多周统计，这3天销售
的?1,?2,?3彼此独立，且有如下分布列：
求1）这三天销售总量??
??i?13i这个随机变量的分布列 2）如果进货45件不够卖的概
率是多少？如果进货40件够卖的概率是多少？ 23、设?的密度函数为???x??24、设?的密度函数为??x??25、设??,??的联合分布列为
12xe求??2??1的密度函数。
x221?xe???x??，求1）E?,2)E??3??1?,3)E?。 2
求E?????提示：先求?,?的边缘分布列，然后求和的数学期望。 26、已知随机向量??,??的联合分布列为
求1）E???3 2）E???2。
????27、设二元连续型随机向量??,??的联合密度函数为??x,y????10?x?1,0?y?1
0其它?求E???1??1?? ，E???。 ?2??3?28、生产某种产品的废品为0.1，抽取20件产品，初步检查已发现有两件废品，求这20件产品中废品数不少于3人概率。 29、搜索沉船，在时间t内发现沉船的概率为P?t??1?e?2t??0求为发现沉船所需的平均
搜索时间。
1?11000?e30、已知某种灯型电子管的寿命?（以小时计算）服从指数分布??x???1000?0?x?0 其它一台电子仪器内装有5个这种类型的独立工作的电子管，任一电子管损坏时仪器即停止
工作求仪器正常工作1500小时以上的概率。
31、已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N4.55,0.1082，现在测定9炉铁水，其平均
含碳量为4.484，如果估计方差没有变化，可否认现在生产之铁水平均含碳量仍为 4.55 ？(a?0.05)
32、设?x1,?,xn?为从总体?中抽取的一组样本观察值，? 的密度函数为
????x??1??x,?????00?x?1???0? 其中?为未知数，
其它1）求参数?的矩估计。2）求参数?的最大似然估计。
33、设总体?服从参数为?的指数分布，今从?中抽取容量为10的样本观察值
1050，1100，1080，1200，1300，1250，1340，1060，1150，1150求?的最大似然估计。
34、从正态总体?中，抽取了26个样品，它们的观察值为：
3100 3480 2520 2520 3700 2800 3800 3020 3260 3140 3100 3160 2860 3100 3560 3320 3200 2420 2880 3440 3200 3260 3400 2760 3280 3280 3300
试求随机变量?的期望值和方差的置信区间?a?5%?。 35、已知某一试验，其温度服从正态分布N现在测量了温度的5个值为1250，1265，??,??，
2(a?0.05)? 1245，1260，1275问是否可以认为??127736、一种导线的电阻服从正态分布N??,0.0005?今从新生产的一批导师线中抽取9根，测
2其电阻，得样本标准差S?0.008?对a?0.05,能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005?
37、某产品的革质量指标?服从正态分布N??,??根据过去的实验，??75，现从这批产
2品中随机抽取25件，测得样本标准差S?6.5，试检验统计假设
H0:?2?7.52(a?0.01)。
即可认为产品质量的方差??7.5
38、砖瓦厂有两座砖窑，某日从两窑中各取出机制红砖若干块，测得抗折强的度的千克数
如：
甲窑：20.51 25.56 20.78 37.27 36.26 25.97 24.62 乙窑：32.56 26.22 25.64 33.00 34.87 31.03 设两窑所产砖的抗折强度均服从正态分布，且相互独立，问它们的方差有无显著的差异。
22?a?0.10?
39、从甲、乙两地段分别情况取了10块和11块岩石进行磁化率测定。算出样本方差的值为
2S1?0.0139,S2?0.0053 ，若甲地段?1~N?1,?12乙段地段测量值
??22?2~N??2,?2?，?`和?2独立，试检验H0:?2?a?0.05?。 ??240、在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间t之间对应的一组数据如表： 时间t（秒） 5 10 深度y( ) 6 10 20 13 30 40 50 19 60 70 23 25 90 29 120 46 16 17 试求腐蚀深度y对时间t的回归直线方程。
41、同一生产面积上某作物单位产品的成本与产量间近似满足双曲线关系，试用下列资料，求了y对x的回归曲线方程。 xi yi 5.67 17.7 4.45 18.5 3.84 18.9 3.84 18.8 3.73 18.3 2.18 18.3 42、设变量y与变量x1,x2间存在线性相关关系，y??0??1x1??2x2??，
?~N?0,o2?给定观察数据
x1i 2 4 5 7 1 3 4 6 5 8 11 14 x2i yi
求参数?0,?1,?2的最小二乘估计。
43 对单因素A的r个水平A1,A2,?,Ar的样本数据
xij?i?1,2,??,r,j?1,2,?,ni1）写出其方程计算表，2）定出方差分析表。
44、把大片条件相同的土地分成20个小区，播种4种不同品种的小麦，进行产量对比试验，每种品种播种在5个小区地块上，共得到20个小区 产量的独立观察值如表，问不同品种的小麦的小区产量有无显著差异（a?0.05）？ 小区产量 试验批号 1 品 种 因 素 A1 A2 A3 A4 32.3 33.3 30.3 29.3 2 34.0 33.0 34.3 26.0 3 34.3 36.3 35.3 29.8 4 35.0 36.9 32.3 28.0 5 36.5 34.5 35.8 28.8
45、在某种金属材料的生产过程中，对热处理温度（因素B），与时间（因素A各取两个水
平）产品强度的测定结果如下表所示，
设各水平搭配下强度的总体服从方差异相同的正态分布，各样本独立，问热处理温度，时间对产品强度的影响是否显著？交互作用是否显著？
四 证明题
1 10个考签有4个难签,3个参加抽签考试.不重复地随机抽取,每人一次A先,B后,C最后,证明三人抽到难签的概率相等. 2 若P(A)>0,则A,B独立的充要条件是：p?BA??P?B?
3 证明：设事件A，B相互独立，则事件A与B，A与B也相互独立。
4、设?为离散型随机变量，证明E???c??E??c 5、证明下列等式： 1）ST????i?1j?1nrrnirr?T22?T2T2? 2）SA??nix1?x??? ?xij?x???x???nni?1i?1?ni?i?1j?1?2rni2ij??2其中 Ti??xj?1ij （i?1,2,?,y） Ti???xi?1j?1yrniij
6 设
?1，?2，.......?9是来自正态总体?的简单随机样本,且?1?21??1??2?...??6?,?2?1?7??8??963?? S?22??1??2?19????I??2?,Z?,求证:统计量Z～t(2). ?2I?7S7、证明：
1） cov(a?,?)?acov??,?? 2）cov(?1??2,?)?cov??1,???cov??,?? 8、设?1,?2,?相互独立，?n服从?4n,4n上的均匀分布。 证明：??n? 服从大数定律。
??
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测 试 题 答 案
——概率论与数理统计
一 选择题
1 A 2 D 3 D 4 D 5 D 6 C 7 C 8 A 9 B 10 D 11 C 12 A 13 C 14 A 15 C 16 A 17 C 18 B 19 C 20 A 21 B 22 C 23 B 24 C 25 C 26 D 27 D 28 C 29 A 30 C 31B 32 C 33 A 34 A 35 D 36 A 37 B 38 1) B 2) A 39 D 40 C
41 B 42 D 43 C 44 B 45 C 46 D 47 B 48 A 49 D 50 B 51D 52 A 53 B 54 B 55D 56 B 57 B 58 B 59A 60 D 61 C 62 D 63 A 64 C 65B 67D 68B 69 C 70 B 71 D 72 D 73 D 74 C 75 B 76 AB 77 AD 78B 79 A
二 填空题
?；2?A?B?C?D 3?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD 1?，2A,B；3 1?ABCD，
4?ABCD 4 略 5 ? 6 对，错，错，错 7 0.369 8 0.9?0.95?0.8 9 错，对，错，错，错 10 C=0.3125
K?1K?1?11 P?Y?K?????2?4?KC5KC151?1? K=0，1，2，3，4 ??? 12 P?Y?K??42?2?C2012
115,,1, 13 626
14
15 17
18 2 19
57532 20 D?2???2??3??4??5?? 88385P???5??C190.3?0.714??21 1）D??1.997 2）5和6 3）
.2E??5.7，
2222 0.968 23 D???，E????? D??E?2??E????
24 ??P?2???8????1 P?2???8??e?1?e?4 25 ?~N?4,16? 226 0.709 27 1） 3） 6）是；2） 4） 5）不是。 28 ?~N?8,97? 29 2
?F（X）??0x?030
?0.20?x?131
??1x?132(1)F(X)(2)F(X?0)(3)F(x)?F(x?0)(4)F(x)?F(y)
33 1???? 34
16,56 35 0.5 36 –0.1, 4.1 37 1,
M?122 38 1663 39 ?12P0.70.3 40 41 (??1?111,?2) 42 4e(1?e)...43.6 44 1.96 7.84
三 计算题
1, 0.48 0.69 2, 1?P?AB??P?A?B??P?A?AB??P?A??P?AB??0.2?0.15?0.05 2? 0.30. 3?0.95 4? 0.85 5?13 6?111 3 设?B?任取一件产品为合格品?
A1，A2，，A3分别表示取到三个产车品间的事件则由条件， P?A1??0.5,P?A2??0.3,P?A3??0.2 P?BA1??0.94,P?BA2??0.90,P?BA3??0.95
由全概率公式
P?B??0.5?0.94?0.3?0.90?0.2?0.95?0.93 4 设A表示发出信号为”0”;
B表示收到信号为”0’. 则 p?AB??P?A?P?BA?P?A?P?BA??P?A?P?BA??0.923
类似 p?AB??0.75
5 设AI表示第I个人能破译出来的概率，则
P?A1?A2?A3??1?P?A1A2A3?
710 14
=1?PA1PA2PA3
4323 =1????
54356 每个顾问贡献意见的状态有两种：正确，不正确。相当于一次贝努里试验，且P=0.6，个别征求9个顾问的意见互不影响，相当于一个9重贝努里试验，若5个以上贡献正确意见，则机构做出正确决策，所求概率为
?????? P??P9?K???C9K0.7K0.39?K?0.90 1K?5K?5997 若前3 次没有抽到正品,则第4次一定抽到正品,所以Y的所有可能取值为1,2,3,4
10 P?Y?1??P?A1??
13310 P?Y?2??PA1A2?PA1PA2A1??
13123210 同理可得p?y?3??pA1A2A3???
13121132110 p?y?4?????
131211108 “Y=0”表示第一个取到螺口灯泡，“Y=1”表示第一个取得卡口而第二个才取
????????到螺口灯泡，因此p?y?0??102?5??10?5?，p?y?1??????? 153?15??14?21 类似可得Y=2,3,4.5时的情况。
AAAAA?30?20?15?12? ∴A?60 9 1）∵1?????23456077此时分布为 P
0 1 2 3 30201512 77777777x?0,?0,?30?,0?x?1,?77472765?50,, 2）F?x???,1?x?2, 3）
777777?77?65,2?x?3?77?x?3.?1,472765,, 77777711110 1）k?,2)k?,k?.
??2 3?
11 1）??x?的曲线图形为：
12、由公式F?x??x??
???t?dt，当x?0时，F?x??0，当0?x?1时，
dt?tx0F?x???x12t0?x
13、?,?的边缘分布列为：
14 1）0.52 2)0.14 3)0.89
? 12 1 2
0
1313 13 2?
? 1 2 ? 1 2
1321 P 332 3 P
16、??,?? 的可能取值为（0,1）(0,2)(0,3)(1,1)(1,2)(1,3)
P???0,??i??P???0?P???i??0?(乘法公式)
?0.4?P??i??0i?1,2,3
??P???1,??i??P???1?P???i??0?(乘法公式)
?0.6?P???i??0?i?1,2,3
∴
??,??的联合分布列为： 2）??1时，关于?的条件分列为
17
2）
3）
?1?21、?1?x???2??00?x?2?3e?3u ?2?x????0其它0?x?2
其它?3?3y?e ∴ ??x,y???1?x??2?y???2??022 解：1）先求?1??2的分布列
0?x?2y?0其它
?1??2 P 23 24 25 26 27 0.06 0.33 0.47 0.13 0.01 再求出?1??2??3的分布列
?1??2??3 P 40 41 42 43 44 45 46 0.006 0.081 0.317 0.422 0.152 0.021 0.001 2)进货45件不够卖??1??2??3?45??1??2??3?46 ∴进货45件不够卖的概率为P??1??2??3?46??0.001 3）进货40件够卖??1??2??3?40??1??2??3?40 ∴进货45件不够卖的概率为P??1??2??3?40??0.006 23、F??y??P?2??1?y??P?????y?1??y?1??F? ???2?2??????y?1??1?y?1?1?y?1??y?1?????y??F???y???F???F?????e ?????????2?2?2?2??2??2???2???122?e
24、解：1）用数字期望的定义
E??????x??x?dx?1?x????2e?xdx?1?2???xe?xdx?0
2）由数学期望的性质 E??3??1???3E??1?1 3）由随机变量函数期望的定义
1?2?x102?x1?2?xE???x??x?dx??xedx??xedx??xedx
??2??2??202?2?102?x1?2?xxedx?xedx ????022???xx?0??1?1??? ???xx?0??25、提示：先求?,?的边缘分布列，然后求和的数学期望。 26、
1)E???3?2???1111117?3??4??3 2)E????2??1??2??3?? 424244427、0?y?1时，??x,y????10?x?1?10?x?1 ??x,y???
其它其它?0?01?1?? 3?2 E??11?1???1??????x??x?dx??Dxdx?类似可得E??2?2??2??28、?表示这20件产品中的废品数，则?~B?1,20?初步检查已发现有两件废品，表示废品数大于等于2，由此我们要求在??2的条件下??3的概率，即
P???3??2??P???3.??2?P???3?（条件概率定义）? ????2?????3??-
P???2?P???2?121?q20?C20pq19?C20p2q181??0.9?2?20?0.1??0.9?19?10?19?0.12??0.9?180.32307????0.5310120190.608251?C20?C20pq191??0.9??20?0.1??0.9?29、设?表示发现沉船所需的时间，则当x?0时，F?x??P???x??0，当x?0时，
F?x??P???x??p?x??1?e?2x于是?服从参数为?的指数分布鞋E??所需的平均搜索时间为
1?，即发现沉船
1?。
30、任一电子管正常工作1500小时以上的概率为
xx??10001??1000???1500??x?dx?P???1500dx?????e25001000??3????e2 仪器正常工作等价1500???15???3?2于5个仪器的电子管正常工作，所以仪器正常工作用1500小时以上的概率为?e??e2
????531、可以认为现在生产铁水平均含碳量仍为4.55 32、1)E???x?x01?1dx????1xn?11n?1n???，令?1??xi即??xi?x ??1ni?11??ni?1???解之立即得?的矩法估计为?x。 1?x2）似然函数为
?n??1x1??L?x1,?,xn,?????i?2?0?n0?xi?1,i?1,2,?,n其它考虑0?xi??i?1,2,?,n?的情况，
?lnLnnlnL?nln?????1??lnxi似然方程???lnxi?0解之得，?的最大似然估
???i?1i?1??计为??n
i?lnxi?1n33、：似然函数为
?n??n??e?xixi?0?i?1,2,?,n?L?x1,?,xn;????i?1其它?0?dlnLnnlnL?nln????xi,令???xi?0得???d??i?1i?1nn?xi?1n?i1代入样本数据即?的最x??0.00086 大似然估计值为?34、（3049 3305） （62838 194749） 35、：拒绝H0:??1277
36、检验假设H0:?2?0.0052，不能认为这批导线电阻的标准差为0.005。 37、考虑统计量
?n?1?S22?0?25?1?S2?7.52，由样本 数据得统计量的观察值为
?25?1??6.527.52?18.03，对给定水平a?0.01，查自由度为24的x2分布表得
2x0.01?24??43.0 ?18.03?43.0 ∴不能拒绝H0
即可认为产品质量的方差??7.5
2238、问题归结为检验统计假设H0:?1，由样本数据得0.23?1.22?4.95，即可以认??222为两窑砖的抗折强度的方差没有显著的差异。
S120.013939、统计量F?2??2.263对给定a?0.05，查第一自由度为9，第二自由度为
S20.005310的F分布表（附表六）得临界值点F0.05?9,10??3.02∴2.632<3.02故不能拒绝H，即可以认为H成立。
??5.34?0.30t 40、y????u，列出回归试算表: ???41、令u?1/x，则回归方程为y01
?????： ?再利用公式，可求出?110?uy?nuy?0.1775?3.80
0.02675?u?nuii2i?2??y???u?18.55?3.80?0.275?17.505 ?01??17.505?3.80u ∴y??17.505?即回归曲线方程为 y42、先给出如下计算表
3.80 x
于是得正规方程组
?4?0?18?1?14?2?38??18?0?86?1?77??1952求解此方程组即得?0,?1,?2的最小二乘估计 ?14??77??62??157012?44、不同品种的小麦的小区产量有显著有差异。
45、时间的影响不显著，温度的影响显著，交互作用的影响显著 四 证明题 1 P?A??443644 P?B??P?A?PBA?PAPBA????? 1010910910??????
P?C??P?AB?PC???4??CC??P?AB?P??P?AB?P??P?AB?P?B??????ABAB?AB??BA???10
2 略 3 略
4、设?的分布列为：
? P x1 x2 ? x? ? p1 p2 ? p? ? 则?的分布列为：
? P x1?c x2?c ? x??c ? p1 p2 ? p? ? E????xk?1?k?c?pk??xkpk??cpk?E??c
k?1k?1??5、1）Sr?rnr???xi?1j?1?2rniij?x???x?2xxij?x???x?2x??xij?nx?2
2ii2iji?1j?1j?1j?1i?1j?1r2ij?2rni??2rnrrnr???x?nx2iji?1j?1rT2 ??ni?x?ni?12）??nixi?xi?1????n?x2rii?1i?2xxi?x??nix?2x?nx??nix
21ii?1i?1i?12?r2irr2rTi2T2T222T2T2 ??ni2?????nnnnii?1i?1nir7、1）cov(a?,?)?E?a??Ea?????E??=aE???E?????E???acov??,??
2）cov??1??2,???E[???1??2??E??1??2?????E??]
?E[???1?E?1????1?E?2?????E??] ?E??1?E?1????E?????2?E?2????E?? ?E[??1?E?1????E?????2?E?2????E??] v?1,???co?v?2,?? ?co?1?n?18、∵2D???k??2n?k?1?n?13n1nk1D?k????n2k?133n2k?1n?k?1nn
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??0，即满足马尔可夫条件，∴??n?服从大数定律。