厦门大学《大学物理》B类

课程期中试卷

2013－2014第二学期（2014．4．）

一、 （12分）

一半径为R?0.50m的飞轮，在启动过程中其角速度与时间的平方成正比??kt2。在启动过程的t?2.0s时，测得轮缘一点的速度大小为v?4.0m/s．求：

(1) 该飞轮在t?0.5s时的角速度；

(2) 在t?1.0s时，轮缘一点的切向加速度和法向加速度； (3) 该飞轮在最初2s内所转过的角度。

解：（1）?t?2.0s时，v?R??0.5?k?22?4 ? ?k?2 ， 在t?0.5s时飞轮的角速度： ??kt2?2t2?2?0.52?0.5s?1 ； （2）???d??2kt?4t ，在t?1.0s时轮缘一点： dt ?a??R??4Rt?4?0.5?1.0?2.0(m/s2) ；

an?R?2?4Rt2?4?0.5?1.02?2.0(m/s2) ；

?22d??kt2 ? ?d????dt??2t2dt ，

000dt2216 解得飞轮在最初2s内所转过的角度：??t3??23?rad 。

333（3）飞轮启动过程：??? （ 3?4?12分） 二、

（16分）

一物体沿一直线轨道运动，测得该物体与轨道的摩擦力与其速度成正比f??kv(k为常数)。已知质点的质量为m，质点的初速度为v0。若计时开始时质点位于坐标原点，求： （1） t 时刻物体的速度v(t)； （2） t 时刻物体所在的位置x(t)；

（3） 当物体的速度为v时，质点所在的位置x(v)； （4） 若物体停止时经过距离s,问k为多大？

1

（1）质点动力学方程：?kv?m（5） 解：

k?tdvkt?v0v??m?0dt ? v?v0em ； vk?tmdv ， dt （2）?v?v0e?txttdx? ? ?dx??vdt??v0emdt ，

000dtkk?tm ?x?v0(1?em) ；

kxvdvdxvdvm??mdx??dv ， ? ??0v0dtdxdxk （3） ??kv?m ?x?m(v0?v) ； kk?tmmm 或：x?v0(1?e)?(v0?v)

kk（4）停止运动时物体经过的距离：

s?mvmmm(v0?v)?(v0?0)?v0 ? k?0 。 kkks（ 4?4?16分）

三、

（15分）

一条不可伸长的轻绳两端各系着一小球，质量分别为m和M,跨放在光滑固定的半圆柱面上，圆柱半径为R，两球正好贴在圆柱截面的水平直径AB两端(如图a所示)。今让小球由静止开始运动，求：

（1）M下落距离y时的加速度大小a(y)；

（2）m达到最高点C时，M的速度；

（3）若当m刚好到达圆柱最高点C时脱离圆柱体(如图b所示)，求M与m的比值；

解:（1）设开始时M所在的位置为坐标原点，M下落的方向为坐标轴正方向，

当M下落距离y时：

2

?n:mgsin??N?man ， M:Mg?T?Ma?Ma? ， m:??:T?mgcos??ma??y? Mg?mgcos??(M?m)a ，又cos??cos() ，

RyM?mcos()Rg ； ?a?M?mC R A Θ m B （2）m、M与地球组成的系统机械能守恒：

1 0?mgR?MgR?(m?M)vc2

2O 2(M?m)Rg ? vc? ；

M?m （3）若当m到达圆柱最高点C时脱离圆柱体，有：

y M vc2m2(M?m)RgM?3 。 mg?m?? ? 得：mRRM?m（ 3?5?15分）

四、

（12分）

一条长为L，质量为m的均质细绳盘放在桌面上。若用一竖直向上的恒力F?mg将其提起，求当绳末端刚刚离开桌面时，绳的速度。 解：当绳子向上提起长度y时：

?(F??yg)dt??(L?y)gdt ? ，（6分）

?dP?d(?yv) 由动量定理有：?(L?y)gdt?d(?yv) ，方程两边乘上ydy，再积分： 五、

（15分）

?L0?g(L?y)yd?y??0,0y,v v?yv(d ) y? ?v?gL 。（6分） 3一质量为2 kg的质点在xoy平面内运动，其运动方程为：

3

???r(t)???2sin??t?i?3cos??t?j??(m).试求：

?（1）t?1 (s)时质点所受的合外力F；

?（2）从t (s)至t?1 (s)时间内合外力对质点的冲量I；

（3）质点任意时刻对o点的角动量,并用角动量定理验验证质点对o点角动量守恒。

????dr?2?cos(?t)i?3?sin(?t)j ， 解： 质点速度：v?dt????dv?22??2?sin(?t)i?3?cos(?t)j???2r ， 质点加速度：a?dt?????222（1）t?1s时， F?ma??2m?sin(?t)i?3m?cos(?t)j??6?j(N) ；

???（2）?t时刻：v1?2?cos(?t)i?3?sin(?t)j ，

????? (t?1)时刻：v2?2?cos[?(t?1)]i?3?sin[?(t?1)]j??2?cos(?t)i?3?sin(?t)j ，

???????? ?I??P?P2?P1?mv2?mv1??8?cos(?t)i?12?sin(?t)j(N?s) ??????（3）Lo?r?P?mr?v??12?k(kg?m2/s) ；

??????? ?Mo?r?F?mr?a?mr?(??2r)?0 ，所以质点角动量守恒。

（ 3?5?15分）

六、

（14分）

实验中常用落体法测定刚体的转动转动惯量：如图所示，将质量为m的物体悬挂于一条不可伸长的轻绳的一端，绳的另一端绕在一半径为R的定滑轮上，滑轮可绕水平轴转动。若滑轮与轴光滑接触，且绳子与滑轮无相对滑动，当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S，试求： （1）滑轮的转动惯量J； （2）绳子受到的张力的大小。 解：（1）系统动力学方程：

物体：mg?T?ma ， （2分）

?a??a?R?? 飞轮：TR?J? ， 又：? ， （3*2=6分） 12s?at??24