25.【2012高考山东文21】 (本小题满分13分)

3x2y2如图，椭圆M:2?2?1(a?b?0)的离心率为，直线x??a和y??b所围成的矩形

2abABCD的面积为8.

(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；

(Ⅱ) 设直线l:y?x?m(m?R)与椭圆M有两个不同的交点P,Q,l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T.求

|PQ|的最大值及取得最大值时m的值. |ST|c3a2?b23????① 【答案】(21)(I)e??a2a24

- 13 -

矩形ABCD面积为8，即2a?2b?8??② 由①②解得：a?2,b?1，

x2∴椭圆M的标准方程是?y2?1.

4?x2?4y2?4,(II)??5x2?8mx?4m2?4?0， ?y?x?m,84m2?4设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1?x2??m,x1x2?，

55由??64m2?20(4m2?4)?0得?5?m?5.

4m2?442?8?|PQ|?2??m??4?5?m2.

55?5?当l过A点时，m?1，当l过C点时，m??1.

①当?5?m??1时，有S(?m?1,?1),T(2,2?m),|ST|?2(3?m)，

2|PQ|45?m2446?????1， 22|ST|5(3?m)5tt|PQ|13452其中t?m?3，由此知当?，即t?,m???(?5,?1)时，取得最大值5. |ST|t4335②由对称性，可知若1?m?5，则当m?③当?1?m?1时，|ST|?22，由此知，当m?0时，

|PQ|52时，取得最大值5.

|ST|35|PQ|2?5?m2， |ST|5|PQ|2取得最大值5. |ST|5|PQ|52综上可知，当m??和0时，取得最大值5.

|ST|3526.【2102高考福建文21】（本小题满分12分）

如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。

（1） 求抛物线E的方程；

- 14 -

（2） 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的圆恒

过y轴上某定点。

【答案】

27.【2012高考上海文22】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分

- 15 -

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:2x2?y2?1

（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若MF?22，求点M的坐标； （2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （3）设斜率为k（k?2）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2?y2?1相切，求证：

OP⊥OQ

【

答

案

】

- 16 -