把C（2h'+1，0）代入y＝（x﹣h'）﹣2h'﹣2得， 0＝（2h'+1﹣h'）﹣2h'﹣2 整理得，h'﹣2h'﹣3＝0 解得，h'＝﹣1或h'＝3

又∵当对称轴在y轴左边时抛物线与x轴无交点，这与题目已知条件“与x轴的右交点为C”相矛盾 ∴h'＝3

k'＝﹣2×3﹣2＝﹣8 ∴N点坐标为（3，﹣8）

∴平移后抛物线顶点式为，y＝（x﹣3）﹣8 展开得，y＝x﹣3x﹣

【点评】本题考查了二次函数的顶点式及顶点坐标公式与图象的平移，同时也考差了待定系数法在一次函数的应用和锐角三角函数的边比关系，综合性较强是一道典型好题． 25．（12分）解决问题：

2

2

2

2

2

（1）如图①，半径为4的⊙O外有一点P，且PO＝7，点A在⊙O上，则PA的最大值和最小值分别是 11 和 3 ．

（2）如图②，扇形AOB的半径为4，∠AOB＝45°，P为弧AB上一点，分别在OA边找点E，在OB边上找一点F，使得△PEF周长的最小，请在图②中确定点E、F的位置并直接写出△PEF周长的最小值； 拓展应用

（3）如图③，正方形ABCD的边长为4

；E是CD上一点（不与D、C重合），CF⊥

BE于F，P在BE上，且PF＝CF，M、N分别是AB、AC上动点，求△PMN周长的最小值．

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【分析】（1）根据圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最远是和最近的点是过圆心和该点的直线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分别为11和3；

（2）作点P关于直线OA的对称点P1，作点P关于直线OB的对称点P2，连接P1、P2，与OA、OB分别交于点E、F，点E、F即为所求，此时△PEF周长最小，然后根据等腰直角三角形求解即可；

（3）类似（2）题作对称点，△PMN周长最小＝P1P2，然后由三角形相似和勾股定理求解． 【

解

答

】

解：（1）如图①，∵圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在过圆心的直线OP上，

此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离． ∴PA的最大值＝PA2＝PO+OA2＝7+4＝11， PA的最小值＝PA1＝PO﹣OA1＝7﹣4＝3， 故答案为 11和3；

（2）如图②，以O为圆心，OA为半径，画弧AB和弧BD，作点P关于直线OA的对称点P1，作点P关于直线OB的对称点P2，连接P1、P2，与OA、OB分别交于点E、F，点E、F即为所求．

连接OP1、OP2、OP、PE、PF，

由对称知识可知，∠AOP1＝∠AOP，∠BOP2＝∠BOP，PE＝P1E，PF＝P2F ∴∠AOP1+∠BOP2＝∠AOP+∠BOP＝∠AOB＝45° ∠P1OP2＝45°+45°＝90°， ∴△P1OP2为等腰直角三角形，

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∴P1P2＝

，

，此时△PEF周长最小．

△PEF周长＝PE+PF+EF＝P1E+P2F+EF＝P1P2故答案为4

；

（3）作点P关于直线AB的对称P1，连接AP1、BP1，作点P关于直线AC的对称P2， 连接P1、P2，与AB、AC分别交于点M、N．

由对称知识可知，PM＝P1M，PN＝P2N，△PMN周长＝PM+PN+MN＝PM1+P2N+MN＝P1P2，

此时，△PMN周长最小＝P1P2．

由对称性可知，∠BAP1＝∠BAP，∠EAP2＝∠EAP，AP1＝AP＝AP2， ∴∠BAP1+∠EAP2＝∠BAP+∠EAP＝∠BAC＝45° ∠P1AP2＝45°+45°＝90°， ∴△P1AP2为等腰直角三角形， ∴△PMN周长最小值P1P2＝连接DF．

∵CF⊥BE，且PF＝CF， ∴∠PCF＝45°，∵∠ACD＝45°， ∴∠PCF＝∠ACD， ∠PCA＝∠FCD 又

，

，∠PCA＝∠FCD

，当AP最短时，周长最小．

∴在△APC与△DFC中，∴△APC∽△DFC， ∴∴

＝

，

∵∠BFC＝90°，取AB中点O．

∴点F在以BC为直径的圆上运动，当D、F、O三点在同一直线上时，DF最短． DF＝DO﹣FO＝∴AP最小值为

＝

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＝，

∴此时，△PMN周长最小值P1P2＝

．

＝＝＝

【点评】本题考查圆以及正方形的性质，运用圆的对称性和正方形的对称性是解答本题的关键．

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