1 最优化设计的基本概念

最优化就是追求最好结果或最优目标，从所有可能方案中选择的最合理的一种方案。在进行工程设计、物资运输或资源分配等工作中，应用最优化技术，可以帮助我们选择出最优方案或作出最优决策。目前，最优化方法在工程技术、自动控制、系统工程、经济计划．企业管理等各方面都获得了广泛应用。

最优化设计是从可能设计中选择最合理的设计，以达到最优目标。搜寻最优设计的方法就是最优化设计法，这种方法的数学理论就是最优化设计理论。

最优化设计方法是现代设计方法的一种。 微积分中遇到的函数极值问题是最简单的最优化问题。

I.1函数的极值

最简单的最优化设计问题，就是微积分中的求函数极值问题。它是应用数学的一个分支，已渗透到科学、技术、工程、经济各领域。

例1.1边长为a的正方形钢板，设计制成正方形无盖水槽，如图：1.1所示，在四个角处剪去相等的正方形，如何剪法使水槽容积虽大？

解：设剪去的正方形边长为x，与此相应的水槽容积为

解出两个驻点 x=a/2和x=a/6 第一个驻点没有实际意义。现在判别第二个驻点是否为极大点。因为 V\

说明x=a/6的驻点是极大点。

结论是，每个角剪去边长为a／6的正方形可使所制成的水槽容积最大。一般记为Max V（x）。

例1.2图1.2所示的对称两杆支架，由空心圆管构成。顶点承受的荷载为2P，支座间距为2L，圆管壁厚为6。设密度为P，弹性模量为E，屈服极限为(T。问如何设计圆管平均直径d和支架高度H，使支架的重量最轻？

解：以圆管平均直径d和支架高度H为两个未知变量。支架总重量的数学表达式为 W(H.d)= 2?pbd

最轻支架重量w，一般记为mix W。

式(1.2)中变量d和H还必须满足以下条件：

图1.1正方形钢板 图I 2两杆支架

(1)圆管的压应力小于或等于压杆稳定临界应力?cr。由材料力学可知，压杆稳定的临界应力为

由此得稳定约束条件

(2)圆管压应力小于或等于材料的屈服极限?y，由此得强度约束条件

(3)变量d和H为有界变量，由此得几何约束条件

dmin≤d≤dmax，Hmin≤H≤Hmax

式中：dmin、dmax、Hmin、Hmax分别为d和H的下界值、上界值。 上述支架的最优设计问题表示为： 求设计变量d和H，一般记为 X(或{X})=[d H] T =[X1 X2]T

式(1.2)中W(d，H)，一般记为W(x)，称为目标函数。使目标函数最小 记为

满足以下约束条件 gl(X)= g2(X )=

g3(x)=dmin-d≤0 g4( X)=d-dmax≤0 95(X )=Hmin-H≤0 96(X )=H-Hmax≤0

一般记为s．t Gi(X)≤0，i=1，2，…，m

用计算函数极值的分析法，寻求这个问题的最优解。

若假定最优化设计发生在构件中应力达到屈服极限的情形，即选定强度约束方程式（1.4)为等式形式，即

将上式代人目标函数W的方程式(1.2)中，消去变量d，使目标函数成为一个变量H的函数

W=

计算函数w对变量H的一阶导数，并使之等于零，求得使重量W为最小值时的H解。 即由

即当H等于L时，支架总重量最小。

以上两个例题都是微积分中典型的极值问题，它们虽然简单，却代表了经典最优设计出两类问题。

第一，无约束极值问题（例1.1所示）。

maxF(x1, x2…xn) 或：mixF(x1, x2…xn)

这里的F（x1, x2…xn）是定义在n维空间上的可微函数。 如果F(X)在x=xo处满足

F(X) - F( Xo)<0，且a≤x≤b，a≤Xo≤b (1 6)

则称F(x)在[a，b]上的x=xo处有一相对极大值或局部极大值，式(1.6)中的e为一正的小量。 如果F (X)在x=Xo处满足

F(X) - F(Xo)≤0.，且a≤X≤b,a≤Xo≤b (1.7)

则称F(X)在[a，b]上的X=Xo处有一绝对极大值或全域极大值。

如果将式(1.6)和式(1.7)中第一式的“<”或“≤”改为“>”或“≥”，则称F(X)在X=Xo处分别有一相对极小值和绝对极小值。

只有当F’(Xo)=0时，x= xo处才能满足极大或极小的条件式(1.6)，但这只是必 要条件，而不是充分条件。

相对极小的必要条件是F’(Xo)=0时，而其充要条件是F’(Xo)=0时，F”(Xo)>0时；反 之，相对极大的必要条件是F’(Xo)=0，而其充要条件则是F’(Xo)=0，F”(Xo) <0。

如果F”(Xo) =0，则相对极大或相对极小的充要条件还要根据更高次的级数项决定。 例如，当F’(Xo)=F”(Xo)=0，而F( Xo)≠0时，X=xo是F(X)的一个拐点。

习惯上，把极大点和极小点统称为极点，把极大点、极小点和拐点合在一起，统称为驻点：极点上的函数值统称为极值，驻点上的函数值统称为驻值。

总之，求极值点的方法是从如下的含有n个未知数x1、x2、…、xn的非线性方程组

中解出驻点，然后判定或验证这些驻点足不足极值点。 第二，有约束的极值问题（例1.2所示）。 minW(X),X =[x1、x2、…、xn]T 或maxW(X),X = [x1、x2、…、xn]T

满足于

Gj(X) = 0 j = 1,2，…，m

这个问题的一个直接解法是把m个等式约束看作m个方程组，利用它们把n个设计变量中的m个，例如x1、x2、…、xm用其余n - m个来表示，然后把函数关系X1=x1（Xm+1、Xm+2、…、Xn）,X2=x2（Xm+1、Xm+2、…、Xn）、…Xm=Xm（Xm+1、Xm+2、…、Xn）代人目标函数中，w (X)就只依赖于Xm+1、Xm+2、…、Xn，问题成为无约束的。

工程实际中提出的很多庞大而复杂的极值问题，变量与约束的个数不是几个，而是几 十个、几百个，甚至上千个；约束也不跟于等式，还出现了不等式．近二三十年来，人们已经创立了新的理论和方法来求解这种大型问题，这就是近代最优化理论和方法。

1.2普通设计与最优化设计

结构优化设计是相对于传统的结构设计而言的。

传统的结构设计，要求设计者根据设计要求和实践经验，参考类似的工程设计，通过 判断去创造设计方案；然后进行强度、刚度、稳定性等各方面的计算。这里的计算实质上是对给定的方案作力学分析，起一种安全校核的作用，仅仅证实了原方案的可行性。当然，设计者有条件时总是还要研究几个可能的方案来进行比较，从而对结构布局、材料选择、构件尺寸、结构外形等进行修改，以便得到更为合理的方案。普通（传统）的结构设计，力学分析只起到一种校核的服务作用。它有着两方面的缺点：一是工作繁复、效率低；二是由于时间和设计者经验的限制，确定的最终方案往往不是理想的最优方案，而仅为可行方案。虽然普通的设汁程序和方法，能够适应生产逐渐发展的一定阶段上的需要，但是随着生产的迅速发展，新兴科学技术的不断涌现，人们新的设计思想的丰富、充实后也逐渐意识到：只是做到分析结构是远远不够的，而更重要的任务还在于要设计结构。也就是说，人们不仅要说明世界，更要改造世界。过去的结构力学研究，主要着眼于分析和计算各种结构在外界因素作用下的受力和变形等力学反应，现在则迈出一大步，把结构优化设计也作为研究的目标和任

务。

设计这一概念，从根本上来说，是和分析不同的：设计常常表现为重复的分析。例如，对于静定结构，要设计得能满足一组给定的容许应力，只进行一次分析就已足够，设计者选择的截面就能使结构重量为最轻．从历史上来看，工程人员设计静定结构在超静定结构之前，这可能说明为什么设计超静定结构时也是首先进行结构分析的原因。最早，也许是最粗糙的方法，先假定截面特性，再进行结构分析，然后用分析结果来选择一组新的截面特性。通过这样反复循环的运算，往往可得到一个可行的设计。反复修改设计是传统设计的特点。对于实际的超静定结构，这种方法是很繁琐且需要求解联立方程。再者，最后得到的一组截面，在很大程度上取决于最初假定的误差程度。因此，所求得的一组截面下一定是最好的，工程结构建起来后或者是重量大，或者是造价高。一般设计单位往往迫于时间紧而不能进行多方案比较来选择最合适的截面。通过设计，不仅要使产品具有良好的性能，同时还要满足生产的工艺性、使用的可靠性和安全性，且达到费用最省、消耗最低和误差最小等目的。这就是一切设计活功的最终目的。

传统的结构设计的另一特点是所有参与计算的量必须以常量出现，结构优化设计是所有参与计算的量部分以变量出现，在满足规范和规定的前提下，形成全部可能的结构设计方案域。在这个设计方案域中有众多的可行设计方案和众多的不可行设计方案。利用数学手段，按设计者预定的要求，从域中选出一个不但可行且做好的设计方案称为优化设计。因而优化设计所得的设计方案，不仅是传统设计中的可行的设计方案，而且是众多可行方案中最优的设计方案．这里所说的最优，是相对设计者预定的要求而言曲。结构最优设计把力学概念和优化技术作了有机结合。实践证明，结构最优设计能缩短设计周期、节省人力、提高设计质量和水平，最终取得显著的经济效益和社会效益。

结构优化设计与普通的结构设计采用的是相同的基本理论，使用的是同样的计算公式，遵守的是同样的设计规范和施工技术或者构造规定，因而具有相同的安全度。

结构最优化设计与传统的结构设计有一样的设计过程，也要经过设计（拟定各部尺寸）、校核（是否满足规范等要求），修改设计、再校核，如此反复进行，直到找到理想方案为止。所不同的是，传统设计过程的安全性、经济性缺乏衡量的标准，而最优设计是在一个明确特定指标（如结构的体积最小、重量最轻、造价最省）下来说明结构的经济性与安全性。传统设计的设计、校核关系是松散的，且一般仅反复进行一两次即停止，而最优设计则是按一定的数学模式将两者紧密地联系在一起，即将设计问题转化为严格的数学规划问题求解，可利用计算机连续快速作出方案比较，从数百个力案比较中，找到最优设计方案，此外，只要在最优设计的电算程序中稍加补充（增加前后处理功能）就很方便地实现将计算、设计绘图全过程的自动化。从输人数据到图形输出，只需要少量的时间，这是传统设计所不可比拟的。 评价设计优、劣的标准，在优化设计中称为目标函数；结构设计中的量，以变量形式参与的称为设计变量；设计时应遵守的几何、强度、刚度、稳定等条件称为约束条件；选择设计变量，确定目标函数，列出约束条件，称为建立优化设计的数学模型。优化设计数学模型建立在解决不同的工程实际问题的基础七，有不同的形式。对不同的数学模型，选择不同的最优化方法。

1.3结构最优化设计的基本概念

1.3.1设计变量、目标函数、约束条件

最优化设计的出现，改变了以往被动设计的局面，它可以在规定的约束条件下，满足 确定的目标要求来设计结构的有关参数。 1.3.1.1设计变量

优化设计中待确定的某些参数，称为设计变量。一个结构的设计方案是由若干个变量 来描述的，这些变量可以是构件的截面尺寸，如面积、惯性矩等几何参数，也可以是结构