由此得直线l的斜率kl?y2?y14?，---------------------------------------------------9分 2y2y12y2?y1?44y124故直线l的方程为：y?y1?(x?)，----------------------------------------------10分

y1?y24整理得4x?(y1?y2)y?y1y2?0，

即4x?(y1?y2)y?4(y1?y2)?0，可知直线l过定点(0,?4).----------------------------12分 【证法2：依题意知直线l的斜率存在，否则直线l与x轴垂直，由抛物线的对称性

kOA?kOB?0，与已知kOA?kOB??1矛盾；-------------------------------------------------------------6分

设直线l的方程为y?kx?m，易知k?0，m?0，

?y?kx?m,由?2消去y得k2x2?2(km?2)x?m2?0，-----------------------------------------------8分 ?y?4x.2(km?2)m2,x1x2?2， --------------------------------9分 设点A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2??k2k则kOA?kOB?y1y2kx1?mkx2?m?????1，整理得(2k?1)x1x2?m(x1?x2)?0, x1x2x1x2(2k?1)m22m(km?2)??0?m2?4m?0 22kk因m?0，故m??4， -------------------------------------------------------------------------------------11分 即直线l的方程为y?kx?4，可知直线l过定点(0,?4).--------------------------------------------12分】 【证法3：依题意知直线l的斜率存在，否则直线l与x轴垂直，由抛物线的对称性知 kOA?kOB?0，

与已知kOA?kOB??1矛盾；---------------------------------------------------------------------------------6分 设直线l的方程为y?kx?m，易知k?0，m?0，

联立y?4x，消去x，得ky?4(y?m)，即ky?4y?4m?0，-----------------------------8分 设点A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1?y2?22244m，y1?y2?，----------------------------------------9分 kk

揭阳市2017-2018学年度高中二年级学业水平考试数学（理科）试题 第9页（共4页）

则kOA?kOB?444(y1?y2)4???，又kOA?kOB??1，得m??4，-------------11分 y1y2y1?y2m即直线l的方程为y?kx?4，可知直线l过定点(0,?4).-----------------------------------12分】

11（21）解:（Ⅰ）f?(x)?lnx?(a?0) 令f?(x)?0得x?ea---------------------1分

a当0?x?e时，f?(x)?0；当x?e时，f?(x)?0

所以f(x)的增区间为(e,??)，减区间为(0,e)；-----------------------------------------3分 （Ⅱ）因为函数f(x)在x?e处取得极值，所以f'(e)?0，解得a?1， ----------------------4分 【或由（Ⅰ）知函数f(x)在x?e处取得极值，所以e?e，解得a?1-------------------4分】 所以f(x)=?x?m?1的实根的个数，即方程xlnx?x?m?1在（0，＋∞）内的实根个数，可转化为函数g(x)?xlnx?x图象与直线y?m?1的交点个数.------------- ---------------------5分 由g'(x)?lnx?0得x?1

当0?x?1时，g'(x)?0；当x?1时，g'(x)?0 所以函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,??)上单调递增

yy=g(x)y=m+1xy=m+1y=m+11a1a1a1a1a1a?g(x)min?g(1)??1------------7分

又当0?x?1时，g(x)?xlnx?x?x(lnx?1)?0； 当x?0且x?0时，g(x)?xlnx?x?0； 当x???时，显然g(x)?x(lnx?1)???，

o-11由此可得，当m?1??1，即m??2时，方程f(x)=?x?m?1没有实数根；----------------9分 当?1?m?1?0，即?2?m??1时，方程f(x)=?x?m?1有两个不同的实数根；------10分 当m?1??1或m?1?0，即m??2或m??1时，f(x)=?x?m?1有一个实数根.-----12分 选做题：

揭阳市2017-2018学年度高中二年级学业水平考试数学（理科）试题 第10页（共4页）

（22）解: （Ⅰ）依题知,??2x??4?2t 得2x?y??2 ，-----------------------------------------2分

?y?2?2t由??2sin?得?2?2?sin?， 即x2?y2?2y，------------------------------------------------4分 所以直线l与⊙C的直角坐标方程分别为2x?y?2?0与x2?y2?2y?0，-----------------5分 （Ⅱ）解法1：设P(?2?t,2?2t),又⊙C ：x2?(y?1)2?1得C(0,1)--------------------------6分

49?PC?(?2?t)2?(2?2t?1)2?5t2?8t?5?5(t?)2?---------------------------8分

5546262?当t?时,PC取最小值,此时?2?t??,2?2t?，即点P的直角坐标为(?,).---10分

55555【解法2：由平面几何的知识知，当PC?l时，点P到圆心C的距离最小，-------------------6分

11由kPC?kl??1知kPC?，这时直线PC的方程为y?x?1，----------------------------------8分

226?x??,?62?5联通立l：2x?y?2?0，解得? 即点P的直角坐标为(?,).-----------------10分】

255?y?.?5?1??4x,x??,?2?11?（23）解:（I）f(x)??2,??x?,-------------------------------------------------------------------2分

22?1?4x,x?.?2?11当x??时，由f(x)?4得?4x?4解得x??1，即?1?x??；------------------3分

221111当??x?时，f(x)?4显然成立，即??x?；------------------------------------4分

222211当x?时，由f(x)?4得4x?4解得x?1，即?x?1.--------------------------------5分

22综上得f(x)?4的解集M?{x|?1?x?1}. ---------------------------------------------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,a,b?M得?1?a?1,?1?b?1，

?(a?b)2?(1?ab)2?a2?b2?a2b2?1?(a2?1)(1?b2)?0，---------------------8分

即(a?b)?(1?ab)，所以a?b?1?ab.------------------------------------------------10分

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