2015最新高考数学解题技巧解题方法专题04 数列通项公式的求解策略 下载本文

专题04 数列通项公式的求解策略

【高考地位】

在高考中数列部分的考查既是重点又是难点,不论是选择题或填空题中对基础知识的考查,还是压轴题中与其他章节知识的综合,抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。求通项公式也是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法,因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。 【方法点评】

方法一 数学归纳法

[来源:Zxxk.Com]

解题模板:第一步 求出数列的前几项,并猜想出数列的通项; 第二步 使用数学归纳法证明通项公式是成立的.

例1 若数列?an?的前n项和为sn,且方程x2?anx?an?0有一个根为sn-1,n=1,2,3... (1) 求a1,a2 ;(2)猜想数列?Sn?的通项公式,并用数学归纳法证明 【变式演练1】已知数列{an}满足an?1?an?

方法二 Sn法

使用情景:已知Sn?f(an)或Sn?f(n)

解题模板:第一步 利用Sn满足条件p,写出当n?2时,Sn?1的表达式;

第二步 利用an?Sn?Sn?1(n?2),求出an或者转化为an的递推公式的形式;

第三步 根据a1?S1求出a1,并代入{an}的通项公式进行验证,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式或根据a1和{an}的递推公式求出an.

例2 数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an?1?2Sn ( n?N),求{an}的通项公式。 【变式演练2】在数列{an}中,a1?1,a1?2a2?3a3?......?nan?(1)求数列{an}的通项an;

?[来源:学_科_网Z_X_X_K]8(n?1)8,a?,求数列{an}的通项公式。 1(2n?1)2(2n?3)29

n?1an?1(n?N?) 2

(2)若存在n?N,使得an?(n?1)?成立,求实数?的最小值.

方法三 累加法

使用情景:型如an?1?an?f(n)或an?1?an?f(n) 解题模板:第一步 将递推公式写成an?1?an?f(n);

第二步 依次写出an?an?1,???,a2?a1,并将它们累加起来; 第三步 得到an?a1的值,解出an;

第四步 检验a1是否满足所求通项公式,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式. 例3 在数列{an}中,a1=1,an?an?1?n?1 (n=2、3、4……) ,求{an}的通项公式。

11

【变式演练3】已知数列{an}满足a1=,an+1=an+2,求an.

2n+n

方法四 累乘法

使用情景:型如

*an?1?f(n)或an?1?an?f(n) anan?1?f(n); an解题模板:第一步 将递推公式写成

第二步 依次写出

ana,???,2,并将它们累加起来; an?1a1 第三步 得到

an的值,解出an; a1 第四步 检验a1是否满足所求通项公式,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式. 例4 已知数列?an?满足a1?2n,an?1?an,求an 3n?1*【变式演练4】已知a1?1,an?n(an?1?an)(n?N),求数列?an?通项公式.

方法五 构造法一

使用情景:型如an?1?pan?q(其中p,q为常数,且pq(p?1)?0,) 解题模板:第一步 假设将递推公式改写为an+1+t=p(an+t);

第二步 由待定系数法,解得t?q; p?1 第三步 写出数列{an?q}的通项公式; p?1 第四步 写出数列?an?通项公式.

例5 已知数列{an}满足a1=1,an?1=2an?1 (n?N),求数列{an}的通项公式。 【变式演练5】已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,求an.

方法六 构造法二

使用情景:型如an?1?pan?qn?r(其中p,q为常数,且pq(p?1)?0,) 解题模板:第一步 假设将递推公式改写为an?1?x(n?1)?y?p(an?xn?y); 第二步 由待定系数法,求出x,y的值; 第三步 写出数列{an?xn?y}的通项公式; 第四步 写出数列?an?通项公式.

例6 已知数列{an}满足an?1?2an?3n2?4n?5,a1?1,求数列{an}的通项公式。 【变式演练6】 设数列{an}满足a1=4,an=3an-1+2n-1(n≥2),求an.

方法七 构造法三

使用情景:型如an?1?pan?qn(其中p,q为常数,且pq(p?1)?0,)解题模板:第一步 在递推公式两边同除以qn?1[来源:学#科#网]?

,得

an?1pan1??n?; n?1qqqq 第二步 利用方法五,求数列{an}的通项公式; qn 第三步 写出数列?an?通项公式.

例7 已知数列{an}满足an?1?2an?3?5,a1?6,求数列?an?的通项公式。

n例8 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n,a1?2,求数列{an}的通项公式。1?n+151

【变式演练7】 已知数列{an}中,a1=,an+1=an+??2?,求an. 63

[来源:学科网ZXXK]

方法八 构造法四

使用情景:型如an?1?pan?qan?1(其中p,q为常数,且pq?0,n?2) 解题模板:第一步 假设将递推公式改写成an?1?san?t(an?san?1); 第二步 利用待定系数法,求出s,t的值;

第三步 求数列{an?1?san}的通项公式;

[来源学_科_网Z_X_X_K]

第四步 根据数列{an?1?san}的通项公式,求出数列?an?通项公式. 例9 数列?an?中,a1?1,a2?2,3an?2?2an?1?an,求数列?an?的通项公式。 【变式演练8】已知数列{an}满足a1?1,a2?4,an?2?4an?1?3an(n?N*).

(1)求a3,a4的值;(2)证明:数列?an?1?an?是等比数列;(3)求数列{an}的通项公式;

方法九 构造五

使用情景:型如an?1?pan(其中p,q,r为常数)

qan?r1r1q???; an?1panp解题模板:第一步 将递推公式两边取倒数得

第二步 利用方法五,求出数列{1}的通项公式; an第三步 求出数列?an?通项公式.

例10 已知数列?an?满足an?an?1,a1?1,求数列?an?的通项公式。

3an?1?133an【变式演练9】已知数列{an}的首项a1=,an+1=,n=1,2,3,…求{an}的通项公式.

52an+1

方法十 构造六

r使用情景:型如an?pan?1(n?2,p?0)

解题模板:第一步 对递推公式两边取对数转化为bn?1?pbn?q; 第二步 利用方法五,求出数列{bn}的通项公式;