专题04 数列通项公式的求解策略

【高考地位】

在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。求通项公式也是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。 【方法点评】

方法一 数学归纳法

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解题模板：第一步 求出数列的前几项，并猜想出数列的通项； 第二步 使用数学归纳法证明通项公式是成立的.

例1 若数列?an?的前n项和为sn，且方程x2?anx?an?0有一个根为sn－1，n=1,2,3... (1) 求a1,a2 ；（2）猜想数列?Sn?的通项公式，并用数学归纳法证明 【变式演练1】已知数列{an}满足an?1?an?

方法二 Sn法

使用情景：已知Sn?f(an)或Sn?f(n)

解题模板：第一步 利用Sn满足条件p，写出当n?2时，Sn?1的表达式；

第二步 利用an?Sn?Sn?1(n?2)，求出an或者转化为an的递推公式的形式；

第三步 根据a1?S1求出a1，并代入{an}的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式或根据a1和{an}的递推公式求出an.

例2 数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an?1?2Sn ( n?N),求{an}的通项公式。 【变式演练2】在数列{an}中，a1?1，a1?2a2?3a3?......?nan?（1）求数列{an}的通项an；

?[来源:学_科_网Z_X_X_K]8(n?1)8，a?，求数列{an}的通项公式。 1(2n?1)2(2n?3)29

n?1an?1(n?N?) 2

（2）若存在n?N，使得an?(n?1)?成立，求实数?的最小值.

方法三 累加法

使用情景：型如an?1?an?f(n)或an?1?an?f(n) 解题模板：第一步 将递推公式写成an?1?an?f(n)；

第二步 依次写出an?an?1,???,a2?a1，并将它们累加起来； 第三步 得到an?a1的值，解出an；

第四步 检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式. 例3 在数列{an}中，a1=1，an?an?1?n?1 (n=2、3、4……) ，求{an}的通项公式。

11

【变式演练3】已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an＋2，求an.

2n＋n

方法四 累乘法

使用情景：型如

*an?1?f(n)或an?1?an?f(n) anan?1?f(n)； an解题模板：第一步 将递推公式写成

第二步 依次写出

ana,???,2，并将它们累加起来； an?1a1 第三步 得到

an的值，解出an； a1 第四步 检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式. 例4 已知数列?an?满足a1?2n,an?1?an,求an 3n?1*【变式演练4】已知a1?1,an?n(an?1?an)(n?N),求数列?an?通项公式.

方法五 构造法一

使用情景：型如an?1?pan?q（其中p,q为常数，且pq(p?1)?0,） 解题模板：第一步 假设将递推公式改写为an＋1＋t＝p(an＋t)；

第二步 由待定系数法，解得t?q； p?1 第三步 写出数列{an?q}的通项公式； p?1 第四步 写出数列?an?通项公式.

例5 已知数列{an}满足a1=1，an?1=2an?1 (n?N)，求数列{an}的通项公式。 【变式演练5】已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.

方法六 构造法二

使用情景：型如an?1?pan?qn?r（其中p,q为常数，且pq(p?1)?0,） 解题模板：第一步 假设将递推公式改写为an?1?x(n?1)?y?p(an?xn?y)； 第二步 由待定系数法，求出x,y的值； 第三步 写出数列{an?xn?y}的通项公式； 第四步 写出数列?an?通项公式.

例6 已知数列{an}满足an?1?2an?3n2?4n?5，a1?1，求数列{an}的通项公式。 【变式演练6】 设数列{an}满足a1＝4，an＝3an－1＋2n－1(n≥2)，求an.

方法七 构造法三

使用情景：型如an?1?pan?qn（其中p,q为常数，且pq(p?1)?0,）解题模板：第一步 在递推公式两边同除以qn?1[来源:学#科#网]?

，得

an?1pan1??n?； n?1qqqq 第二步 利用方法五，求数列{an}的通项公式； qn 第三步 写出数列?an?通项公式.

例7 已知数列{an}满足an?1?2an?3?5，a1?6，求数列?an?的通项公式。

n例8 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n，a1?2，求数列{an}的通项公式。1?n＋151

【变式演练7】 已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋??2?，求an. 63

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方法八 构造法四

使用情景：型如an?1?pan?qan?1（其中p,q为常数，且pq?0,n?2） 解题模板：第一步 假设将递推公式改写成an?1?san?t(an?san?1)； 第二步 利用待定系数法，求出s,t的值；

第三步 求数列{an?1?san}的通项公式；

[来源学_科_网Z_X_X_K]

第四步 根据数列{an?1?san}的通项公式，求出数列?an?通项公式. 例9 数列?an?中，a1?1,a2?2,3an?2?2an?1?an，求数列?an?的通项公式。 【变式演练8】已知数列{an}满足a1?1,a2?4,an?2?4an?1?3an(n?N*).

（1）求a3,a4的值；（2）证明：数列?an?1?an?是等比数列；（3）求数列{an}的通项公式；

方法九 构造五

使用情景：型如an?1?pan（其中p,q,r为常数）

qan?r1r1q???； an?1panp解题模板：第一步 将递推公式两边取倒数得

第二步 利用方法五，求出数列{1}的通项公式； an第三步 求出数列?an?通项公式.

例10 已知数列?an?满足an?an?1,a1?1,求数列?an?的通项公式。

3an?1?133an【变式演练9】已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n＝1,2,3，…求{an}的通项公式．

52an＋1

方法十 构造六

r使用情景：型如an?pan?1(n?2,p?0)

解题模板：第一步 对递推公式两边取对数转化为bn?1?pbn?q； 第二步 利用方法五，求出数列{bn}的通项公式；