2 E(X)?2，[E(X)]?3121141222所以（4）D(X)?E(X)?E(X)???? 是错误的，（5）D(X)?E(X)?[E(X)]???2362918是正确的。
2 注 即使不计算也应该知道（4）D(X)?E(X)?E(X)?4， 9121???是错误的，因为方差的定义为236D(X)?E[X?E(X)]2，其不可能为负数。
?x0?x?1?47.设随机变量X的概率密度f(x)??2?x1?x?2，则
?0其它?（1）E(X)?2?10xdx??(2?x)dx；错误 （2）E(X)??xdx??x(2?x)dx?1；正确
1011027x3dx??x2(2?x)dx?；正确
162122（3）E(X)??（4）E(X2)?E2(X)?1 ；正确 （5）X的方差D(X)?1 . 错误
66解析 ? 同前题（1）、(2)的分析，当随机变量X的概率密度为f(x)(x?R)，则 E(X)??????xf(x)dx，
1?(x2?x3)3具体到这道题概率密度是分段定义的，积分也必须分段进行，正确的做法是：
E(X)=
?1021xxdx??x(2?x)dx?x3131021?1，
所以（1）E(X)=
?10xdx??(2?x)dx是错误的，（2）的计算是正确的。
122随机变量X的函数X的期望E(X2)的计算为
E(X2)??????1x2f(x)dx??x2?0dx??x2?xdx??x2(2?x)dx????013212012??2x2?0dx
??xdx??0所以（3）E(X)?2?10xdx??3112314(2x?x)dx?x41?(x?x)04347x2(2?x)dx?是正确的。
623217?,6?因为
E(X)?1,E(X2)?22所以 E(X)?E(X)?7， 672122?1?，（3）E(X)?E(X)=16是正确的。 66? (5) X的方差有计算式
期末复习大纲与复习题 33
D(X)?E(X2)?E2(X)，
所以D(X)?1,（5）X的方差D(X)?1 当然是错误的。
66
48.设随机变量X的概率密度为
（A）E(X)??e?xx?0f(x)???0x?0 ， 则（ D ）.
???????xedx （B）E(X)???x0??e?xdx xe?xdx
（C）E(X)??1 （D）E(X)?解析 连续型随机变量数学期望的计算公式为E(X)?作积分
?0?????xf(x)dx，因为题目所给f(x)分段定义，
?????xf(x)dx将f(x)代入时，应该与各区间的定义相匹配，故
E(X)?其中
?????xf(x)dx??x?0dx????0??0xe?xdx??xe?xdx
0???0??x?0dx?0，所以（D）是正确的.
●数学期望、方差的性质
49.已知 E(X)?1， 则E(?X?1)?（ D ）.
（A）E(?X?1)?E(?X)??1 （B）E(?X?1)?E(X)?1?2 （C）E(?X?1)?E(X)?1 （D）E(?X?1)??E(X)?1?0
解析 该题目的目的在于帮助理解数学期望的性质，设X为随机变量，a,b为常数，则有 E(aX?b)?E(aX)?E(b)?aE(X)?b， 故 E(?X?1)??E(X)?1??1?1?0， 所以（D）是正确的。
50. 已知D(X)?1，则D(2X?1)?（A ）.
（A）D(2X?1)?4D(X)?4 （B）D(2X?1)?D(X)?1
期末复习大纲与复习题 34
（C）D(2X?1)?4D(X)?1?5 （D）D(2X?1)?2D(X)?2 解析 该题目目的在帮助理解方差的性质，设X为随机变量，a,b为常数，则有 D(aX?b)?a2D(X) 所以（A）是正确的.
● 常用分布的数学期望、方差与参数的关系
51.随机变量X服从二项分布B(4,0.2)，则X的数学期望E(X)?0.16. 错误 52. 随机变量X服从二项分布B(4,0.2)，则X的方差D(X)?0.8.错误
53.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)?2.4,D则二项分布的参数n,p的值为（X）=1.44，（ B ）.
（A）n?4,p?0.6（B）n?6,p?0.4 （C）n?8,p?0.3 （D）n?24,p?0.1 解析 解此题的关键在清楚二项分布参数与期望方差的关系：
,D(X)?若随机变量X服从二项分布B(n,p)，则E(X)?npn1p(?p)题目相当于给了 ，
np?2.4,
np(1?p)?1.44,其为二元方程组，应该可以解出n,p.或验证四个选项，可得结果.（B）是正确的.
54.随机变量X服从泊松分布P(3)，则X的数学期望E(X)?3. 正确 55. 随机变量X服从泊松分布P(3)，则X的方差D(X)?3. 正确 56.设X服从（0，4）上的均匀分布，则（D ）.
A.E(X)?2,D(X)?2 B.E(X)?4,D(X)?4 C.E(X)?2,D(X)?4 D.E(X)?2,D(X)?解析 看第四章，第三节有现成答案.
（8）设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1服从（0，6）上的均匀分布，X2~N(0,22)，
4 3X3~?(3) ，则D(X1?2X2?3X3)= （ B ）
（A）3?4?4?9?3 （B）3?4?4?9?3 （C）3?2?4?3?3 （D）3?2?4?3?3 57.设随机变量X~N(4,9)，则X的期望、方差分别为（C ）.
期末复习大纲与复习题 35
A.2，3 B.4，3 C.4，9 D.2，9
若随机变量X~N(，则E(X)??,D(X???,2))?2，题设X~N(4,9)，故E(X)?4，
D(X)?32?9，所以（C）是正确的。
??1?e?x/?58.随机变量X服从指数分布，概率密度为f(x)????0（ B ）.
A.?，? B.?，? C.1/?，1/? D.1/?，1/? 解析 看第四章，第三节有现成答案.
59.设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1服从（0，6）上的均匀分布，X2~N(0,22)，
22x?0x?0,则X的期望、 方差分别为
X3~P(3) ，则D(X1?2X2?3X3)?（ B ）.
A.3?4?4?9?3 B.3?4?4?9?3 C.3?2?4?3?3 D.3?2?4?3?3
●期望应用
60.一批产品中有一、二、三等品，等外品及废品五种，分别占产品总数的70%，10%， 10%，6%，4%.若单位产品价值分别为6元，5元，4元，2元及0元，则
（1）单位产品的平均价值为6?0.7?5?0.1?4?0.1?2?0.06?5.22（元）； 正确 （2）单位产品的平均价值为（6+5+4+2+0）/5 = 3.4（元）. 错误
解析 此处任取一件产品的价值显然是随机变量，它的取值有6元至0元五种可能，每种可能的概率决定于各种产品占总产品的比例。计算单位产品的平均价值即计算价值这一随机变量的数学期望。
所以（1）单位产品的平均价值为6?0.7?5?0.1?4?0.1?2?0.06?5.22（元），是正确的； 显然（2）单位产品的平均价值为（6+5+4+2+0）/5 = 3.4（元） 是错误的。
61. 设随机变量X的数学期望为E(X)，方差为D(X)，称X??D(X?)?1 . 正确
X?E(X)D(X)为X的标准化，则E(X?)?0，
解析 判断的过程实际是E(X)与D(X)的计算过程，当然这类结论应该记住，不必每次都重新推导。
期末复习大纲与复习题 36
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