E(X?)?E[X?E(X)11]?E[X?E(X)]?[E(X)?E(X)]?0，

D(X)D(X)D(X)X?E(X)11]?D[X?E(X)]?D[X]?1，

D(X)D(X)D(X)D(X?)?D[所以E(X?)?0，D(X?)?1 是正确的。

注意 推导的过程用到数学期望与方差的性质，例如设a,b为常数，则 E(aX?b)?aE(X)?b， D(aX?b)?a2D(X) 。

第五章 契比雪夫不等式与中心极限定理 ●契比雪夫不等式

62.（1）设随机变量X的数学期望为E(X)，方差为D(X)，契比雪夫不等式为：对任意??0有

P{X?E(X)??}?D(X)?2；正确

（2）设随机变量X的数学期望为E(X)，方差为D(X)，契比雪夫不等式为：对任意??0有

P{X?E(X)??}?1?D(X)?2.错误

解析 该题目应该用契比雪夫不等式分析.

?设随机变量的期望为?，均方差为?，方差则为?2，契比雪夫不等式为对于任意??0有

?2 P{X????}?2 ，

?所以（1）是正确的。

63.（1） 随机变量与其均值之差的绝对值大于3倍均方差的概率不会大于（2）随机变量与其均值之差的绝对值小于3倍均方差的概率不会小于

1. 正确 98. 错误 9，相当于??3?，即求 ? 该题目问“随机变量与其均值之差的绝对值大于3倍均方差的概率”

?21P{X???3?}??，

9?29所以（1）是正确的.

期末复习大纲与复习题 37

●独立同分布中心极限定理

64. 独立随机变量X1,X2,?,X100都服从参数λ=1的泊松分布，则

X1?X2???X100??Xi~N(100,100).正确

i?1100近似解析 解该题目关键在清楚“独立同分布中心极限定理”与“正态分布化标准正态分布”的定理。 随机变量X1,X2,?,X100相互独立，都服从参数λ=1的泊松分布，满足独立同分布中心极限定理的条件，所以

?Xi?1100i近似服从正态分布N(E(?Xi?1100i),D(?Xi))。

i?1100因为X1,X2,?,X100都服从参数λ=1的泊松分布，则它们的期望与方差均为1，即

E(Xi)?1D,X(i?)，所以1E(?Xi)?100,D(?Xi)?100?10，即?Xi近似服从正态分布

2i?1i?1i?1100100100N(100,102)，所以（1）是正确的。

65. 袋装茶叶用机器装袋，每袋净重是随机变量，均值是0.1公斤，标准差为0.01公斤，一大盒内装200袋，一大盒茶叶净重超过20.25公斤的概率可以如下计算，设每袋茶叶的重量为Xi，i?1,2,?,200，一大盒茶叶重量为

?Xi?1200i，

?Xi?1200近似i~N(20,0.02),则

?200?X?20?i200??20.25?200.25 ； ????i?1 P??Xi?20.25??P??)???(0.020.020.02i?1????????解析 袋装茶叶每袋的净重是随机变量，200袋茶叶即200个随机变量，可以看作服从相同分布相互独立，设为X1,X2,?,X200，则EXk?100(g)?0.1(kg)，DXk?102(g2)?0.0001(kg2)，

k?1,2,?,100，一大盒茶叶净重为?Xk.由独立同分布中心极限定理，

k?1200 ?Xkk?1200近似~N(200?0.1,200?0.0001)?N(20,0.02)， ?Xk?1200?20近似N(0,1)， ~0.02k所以

期末复习大纲与复习题 38

P{?Xk?20.25}?P{k?1k?1200?X200k?200.02Xk?20?20.25?200.25?}?1?P{k?1?}

0.020.020.02200?1??(0.25)?1??(1.77)?1?0.9616?0.0384， 0.02即一大盒茶叶净重超过20.25公斤的概率为0.0384.

●拉普拉斯中心极限定理

66.一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度大于或等于3m，现从这批木柱中随机取出100根，则其中至少有30根短于3m的概率可以如下计算：

设100根木柱中长度短于3m的根数为X，X~B(100,0.2)， P?X?30??P??X?2030?20?????(2.5) ； 错误 44??解析 ? 解该题目的关键在清楚“拉普拉斯中心极限定理”与“正态分布化标准正态分布”的定理。 拉普拉斯中心极限定理的内容是：

若随机变量X~B(n,p)，当n较大时，X近似服从正态分布N(np,np(1?p))。

?既然80%的长度大于3m，说明每根长于3米的概率为0.8，短于3米的概率为0.2。取100根相当于

100次独立试验，每根或长于3米或短于3米。

设100根木柱中长度短于3m的根数为X，则X~B(100,0.2)，由拉普拉斯中心极限定理

X~N(20,16) ，再由正态分布化标准正态分布定理有

根短于3m的概率，即P?X?30?，正确的计算是

近似X?20~N(0,1)，求取出的100根中至少有304?X?2030?20??X?20?P?X?30??P???P?2.5???4??4?4?

?X?20??1?P??2.5??1??(2.5)?4?注意若Z~N(0,1),，则?(x)?P{Z?x}，其中

X?20?X?20?~N(0,1)，则P??2.5???(2.5) ，不4?4?能认为P??X?2030?20?????(2.5)，所以是错误的。

4??4

期末复习大纲与复习题 39

第六章 抽样分布

●样本均值与样本方差定义

67.设总体X~N(?,?2)，其中?未知，?已知，X1,X2,X3是取自总体X的一个样本，不能为统计量的是 （ A ）.

A.X1+? B.X1+1/3X2 C. 2X1+3X2-X3 D.1/?2222(X12?X2?X3)

解析 回答该题目的关键是统计量的定义：由样本构造的函数且不含未知参数.

按这一标准衡量，仅有（A）含未知的?，不能为统计量. 其余或仅含样本，或含已知的?，均可为统计量.

68. 设X1,X2,?,Xn为简单随机样本，X为样本均值，S为样本方差，则

221n1n （1） X??Xi ；正确 （2）X?Xi；错误 ?n?1i?1ni?11n1n22 （3）S??(Xi?X)；错误 （4）S?(Xi?X)2.正确 ?ni?1n?1i?12这一题目查课件与书都可得到结果，它是定义. 样本均值的定义为

1n X??Xi，

ni?1样本方差的定义为

1n S?(Xi?X)2， ?n?1i?12所以（2）（3）是错误的，（1）（4）是正确的.

●正态总体样本N(?,?2)样本均值X的分布

269．设总体X服从正态分布N(30,3)，X1,X2,?X20是来自X的样本，X为样本均值，则

32（1）X服从正态分布N(30,3)；错误 （2）X服从正态分布N(30,)；正确

202（3）P{X?0}?0.5；错误 （4）P{X?30}?0.5. 正确 觧析 此题目用到下面知识点：

期末复习大纲与复习题 40