《概率论与数理统计》复习大纲与复习题

10-11第二学期

一、 复习方法与要求

学习任何数学课程，要求掌握的都是基本概念、基本定理、基本方法，《概率论与数理统计》同样.对这些基本内容，习惯称三基，自己作出罗列与总结是学习的重要一环，希望尝试自己完成.

学习数学离不开作题，复习时同样.正因为要求掌握的是基本内容，将课件中提供的练习题作好就可以了，不必再找其他题目.

如开学给出的学习建议中所讲：

作为本科的一门课程，在教材中我们讲述了大纲所要求的基本内容.考虑到学员的特点，在学习中可以有所侧重.考试也有所侧重，期末考试各章内容要求与所占分值如下：

第一章 随机事件的关系与运算，概率的基本概念与关系，约占30分. 第二章 一维随机变量的分布， 约占25分.

第三章 二维随机变量的分布，仅要求掌握二维离散型随机变量的联合分布律、边缘分布律、随机变量独立的判别与函数分布的确定. 约占10分.

第四章 随机变量的数字特征. 约占15分. 第五、六、七、八章约占20分.内容为：

第五章：契比雪夫不等式与中心极限定理.

第六章：总体、样本、统计量等术语；常用统计量的定义式与常用分布（t分布、?分布）；正态总体样本函数服从分布定理.

第七章：矩估计，点估计的评选标准，一个正态总体期望与方差的区间估计. 第八章：一个正态总体期望与方差的假设检验.

二、 期终考试方式与题型

本学期期末考试类型为集中开卷考试，即允许带教材与参考资料.

题目全部为客观题，题型有判断与选择.当然有些题目要通过计算才能得出结果.其中判断题占70分，每小题2分；选择题占30分，每小题3分.

三、 应熟练掌握的主要内容 第一章 随机事件与概率

期末复习大纲与复习题 1

21. 理解概率这一指标的涵义.

2. 理解统计推断依据的原理，即实际推断原理，会用其作出判断.

3. 掌握样本空间、事件定义，理解事件的包含、相等、和、差、积、互斥、对立的涵义，掌握划分的定义.掌握事件的运算律.

4. 熟练掌握用简单事件的和、差、积、划分等表示复杂事件；掌握事件的常用变形.

5. 掌握古典概型定义，熟悉其概率计算公式.掌握摸球、放盒子、排队等教材所举类型概率的计算. 6. 熟练掌握事件的和、差、积、独立等基本概率公式，以及条件概率、全概、逆概公式，并利用它们计算概率.

第二章 随机变量及其分布

7. 掌握离散型随机变量分布律的定义、性质，会求简单离散型随机变量的分布律，有分布律会求事件的概率.

8. 掌握0-1分布、二项分布、泊松分布的分布律.

9. 掌握随机变量分布函数的定义、性质，有分布函数会求事件的概率. 10. 离散型随机变量有分布律会求分布函数；有分布函数会求分布律.

11. 掌握连续型随机变量的概率密度的定义与性质，有概率密度会求事件的概率. 12. 连续型随机变量有概率密度会求分布函数；有分布函数，会求概率密度.

13. 理解连续型随机变量的概率密度曲线、分布函数以及随机变量取值在某一区间上的概率的几何意义.

14. 掌握随机变量X在区间(a,b)内服从均匀分布的定义，会写出X的概率密度. 15. 掌握正态分布N(?,?)概率密度曲线图像； 掌握一般正态分布与标准正态分布的关系定理； 会查正态分布函数表；

理解服从正态分布N(?,?)的随机变量X，其概率P{????X????}与参数?和?的关系. 16. 理解当概率P(A)?0时，事件A不一定是不可能事件；

理解当概率P(A)?1时，事件A不一定是必然事件. 17. 会求随机变量函数的分布. 第三章 二维离散型随机变量及其分布

18. 掌握二维离散型随机变量的联合分布律定义；

期末复习大纲与复习题 2

22 会利用二维离散型随机变量的联合分布律计算有关事件的概率； 有二维离散型随机变量的联合分布律会求边缘分布律以及判断是否独立； 会确定二维离散型随机变量函数的分布.

第四章 随机变量的数字特征

19. 掌握期望、方差定义式与性质，会计算上述数字.

20. 掌握0-1分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布的参数与期望、方差的关系.

第五章 契比雪夫不等式与中心极限定理 21．了解契比雪夫不等式.

22. 会用独立同分布中心极限定理与拉普拉斯中心极限定理计算概率.理解拉普拉斯中心极限定理的涵义是：

设随机变量X服从二项分布B(n,p)，当n较大时，则

X~N(np,npq)，其中q?1?p

第六章 抽样分布

23. 了解样本与样本值的区别，掌握统计量、样本均值与样本方差的定义.

24. 了解?分布、t分布的概率密度图象，会查两个分布的分布函数表，确定上?分位点. 25. 了解正态总体N(?,?)中，样本容量为n的样本均值X与第七章 参数估计

26. 掌握无偏估计量、有效估计量定义. 27. 会计算参数的矩估计.

28. 会计算正态总体N(?,?)参数?与?的区间估计. 第八章 假设检验

29. 掌握一个正态总体N(?,?)，当?2已知或未知时，?的假设检验，?的假设检验.

222

近似22(n?1)S2?2服从的分布.

230. 了解假设检验的两类错误涵义.

四、复习题

注 为了方便学员复习，提供复习题如下，这些题目都是课件、教材中作业题目的改造，二者相辅相

期末复习大纲与复习题 3

成，希望帮助大家学懂基本知识点. 期终试卷中70分的题目抽自复习题.

题型有判断和单项选择，题下给出A.B.C.D.四个选项的为单项选择题，其余为判断题.

（所附答案供参考，老师将会在课堂里公布答案，请注意核对）

第一章 随机事件与概率 ●确定随机试验的样本空间

1. 袋中有6件产品，其中2件次品，随机取3件，观察取到的次品数， 则样本空间为

（1） S?{1件次品，2件次品}. （2）样本空间为 S?{0件次品，1件次品，2件次品}.正确 （3）样本空间为S?{1件次品，2件次品,3件次品}. ● 事件的运算、关系、变形与运算律

2. 设A,B,C为随机事件，指出下列命题中哪些成立，哪些不成立？

（1）A?B?A?AB；错误 （2）A?B?AB?AB?AB ；正确 （3）

A?B?A?AB；正确 （4）A?B?AB； 错误

（5）ABC?ABC 错误 （6）ABC?A?B?C 正确 （7） 若A?B，则（9） 若A?B，则

A?B?A；正确 （8） 若A?B，则AB?A；错误

A?B； 错误 （10）A?B?B?A；正确

（11）若A,B互斥，则A?B?A . 正确 解析

由下面图示可见A?B?A?AB?AB?AB?AB，所以（1）A?B?A?AB是错误的， （2）A?B?AB?AB?AB是正确的.

期末复习大纲与复习题 4

由下面图可见A?B?A?AB?AB，所以（3）

（4）A?B?AB是错误的.

A?B?A?AB是正确的，

（5）（6）是考察对事件运算律中德.摩根律的掌握，显然（6）ABC?A?B?C 正确， （5）ABC?ABC错误.

（7）（8）（9）

图（a）事件A?B，即事件B的样本点都是事件A的样本点，故A?B仍然为A，所以

A?B?A?B，

是正确的。AB为事件A与B共同的样本点构成，因为事件B的样本点都是事件A的样本点，故AB所以AB?A是错误的。

（a） (b) (c)

图（b）红色区域为A，图（c）绿色区域为B，显然绿色区域包含红色区域，即A?B，所以是错误的.

（10）A?B?B?A，式的两边均为

A?BA与B的和事件，由事件和的运算满足交换律也可知该式成立。

（11）首先应该清楚事件差的含义，A?B是属于

A而不属于B的样本点构成的事件。看下图，A与

期末复习大纲与复习题 5

B互斥，事件A的所有样本点也只有A的样本点满足属于A而不属于B，所以A?B?A是正确的。

●事件表示

3. 甲、乙二人打靶，每人射击一次，设A,B分别为甲、乙命中目标，用A,B 事件的关系式表示下列事件，则

（1）（甲没命中目标）?AB ；错误 （2）（甲没命中目标）?A ； 正确 （3）（仅甲命中目标）?A； 错误 （4）（甲、乙均命中目标）?A?B；错误 （5）（甲、乙均没命中目标）?AB . 错误

解析 事件（甲没命中目标），涵义为不考虑乙是否命中，仅考虑甲，故（2）（甲没命中目标）?A是正确的；而AB表示事件（甲没命中目标且乙命中目标），故（1）（甲没命中目标）?AB是错误的.

A为甲命中目标，其不管乙是否命中，而（仅甲命中目标）意味乙没有命中目标，所以（仅甲命中目标）?AB。

因为A与B的和事件A?B表示或A或B，积事件AB表示A且B.A,B分别为甲、乙命中目标，所以A?B表示或甲命中目标，或乙命中目标，AB表示甲命中目标且乙命中目标，即甲、乙均命中目标，所以（4）错.

关于上式可以从两个角度分析。（甲、乙均没命中目标）为甲没命中目标且乙没命中目标， A为甲没命中目标，B为乙没命中目标，所以（甲、乙均没命中目标）?AB，故（5）的结论是错误的。

从另一角度看，AB表示甲命中目标且乙命中目标，AB的对立事件AB为甲没命中目标或乙没命中目标，非甲没命中目标且乙没命中目标，故（5）的结论是错误的。

4.一批产品中有3件次品，从这批产品中任取5件检查，设Ai?（5件中恰有i件次品），i=0,1,2,3， 叙述下列事件，则

期末复习大纲与复习题 6

（1）A0?（5件中恰有0件次品）=（5件中没有次品）； 正确

解析 由事件Ai的定义，显然A0?（5件中恰有0件次品）=（5件中没有次品）是正确的. （2）A0?（5件中恰有1件次品）；错误（3）A0?（5件中至少有1件次品）；正确

解析 从这批产品中任取5件检查，从取到次品的数目的角度可以将样本点分为3类，没有次品，有1件次品，有2件次品，有3件次品.A0为没有次品，其对立事件为有次品，故有1件次品， 2件次品， 3件次品样本点的总和为A0的对立事件.故（2）A0?（5件中恰有1件次品）是错误的，（3）A0?（5件中至少有1件次品）是正确的.

（4）A3?（5件中最多有2件次品）；正确

解析 注意该批产品中有3件次品，从取到次品数目的角度看，取5件检查次品数最多有3件.因为A3为5件中恰有3件次品，其对立事件则为没有次品，或有1件次品，或有2件次品，故A3?（5件中最多有2件次品）是正确的.

（5）A2?A3 =（5件中至少有3件次品）. 错误

解析 A2?A3表示或A2或A3，A2则是有2件次品，故（5）A2?A3 =（5件中至少有3件次品）是错误的， A2?A3 =（5件中至少有2件次品）是正确的.

● 用概率基本公式计算概率

5.（1）设事件A、B互斥，P(A)?0.2， P(B)?0.3 ，则 P(A?B)?0.5. 正确 （2） 设事件A、B互斥，P(A)?0.2，P(A?B)?0.5 则P(B)?0.7.错误 （3） 设P(A)?0.5，P(B)?0.4，P(A?B)?0.7， 则P(AB)?0.2 . 正确 （4）设事件A,B相互独立，P(A)?0.2， P(B)?0.3，则P(A?B)?0.44.正确 （5）设事件A?B,P(A)?0.5,P(B)?0.2 ，则P(A?B)?P(A)?P(B)?0.7.错误 （2）P(A?B)?P(A)?P(B)?0.7

解析 （1）参考以前的解析，可知A,B互斥，

期末复习大纲与复习题 7

P(A?B)?P(A)?P(B)?0.2?0.3?0.5 所以P(A?B)?0.5是正确的.（5）是错误的。

（2）由上面的分析，A,B互斥， P(A?B)?P(A)?P(B)，故

P(B)?P(A?B)?P(A)?0.5?0.2?0.3

所以P(B)=0.7 是错误的.

（3）没有A,B互斥的前提，A与B两个事件和的概率 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

则 P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?0.4?0.5?0.7?0.2， 所以P(AB)?0.2是正确的.

（4）因为 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)，所以

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.2?0.3?0.06?0.44 是正确的。

6.（1）设事件A?B,P(A)?0.5,P(B)?0.2 ，则P(A?B)?P(A)?P(B)?0.3. 正确 （2）设事件A?B,P(A)?0.5,P(B)?0.2 ，则P(B?A)?P(B)?P(A)?0.3 . 正确 （3）设事件A,B相互独立 ，P(A)?0.5,P(B)?0.2 ，则PA(?B)?PA(B)PAPB?()()04.? 正确

解析 若事件A?B，如图

事件A?B，可见B?A；

期末复习大纲与复习题

.

8

且容易得出结论A?B?A,AB?B，

又由概率基本性质，若事件A?B，则P(A?B)?P(A)?P(B). 所以（1）P(A?B)?P(A?B)?P(A)?P(B)?0.3是正确的； （2）因为P(B)?1?P(B)?0.8,

P(A)?1?P(A)?0.5，

P(B?A)?P(B)?P(A)?0.8?0.5?0.3

是正确的.

（3）参考2题中（4）对“（4）A?B?AB是错误的”的分析，应该有A?B?AB。又当随机事件A与B相互独立时，A与B、A与B、A与B均相互独立，故P(AB)?P(A)P(B)?0.4，综上有P(A?B)?P(AB)?P(A)P(B)?0.4。

7.（1） 设事件A,B相互独立，P(A)?0.2， P(B)?0.3，则P(AB)?0.5.错误 （2） 设事件A,B相互独立，P(A)?0.2， P(B)?0.3，则P(AB)?0.06.正确 （3）设A,B为随机事件，P(A)?0.3,P(B)?0.2 ，则P(AB)?0.06. 错误 （4）设事件A,B互斥，P(A)?0.5,P(B)?0.2，则P(AB)?0.06.错误 （5）设事件A?B,P(A)?0.5,P(B)?0.2 ，则P(AB)?0.5. 错误 （1）（2）均在事件A,B相互独立条件下讨论问题，事件A,B相互独立必然满足

P(AB)?P(A)P(B)，所以 P(AB)?0.5是错误的，P(AB)?0.06是正确的。

（5）若事件A?B，如图

期末复习大纲与复习题 9

事件A?B，可见B?A；

且容易得出结论A?B?A,AB?B，

又由概率基本性质，若事件A?B，则P(A?B)?P(A)?P(B). 所以（5）P(AB)?0.5是错误的， ● 等可能类型概率问题

8．袋中有5个红球，3个白球，，2个黑球，任取3球，则只有一个红球的概率为（B ）.

11212C5C5C5C5C5A5A5A.3 B. C. D. 333C10A10A10C103解析 此为超几何概型问题，样本点总数为C10个.

12只有1个红球必为5个红球中取到任意1个，另外2个为3个白球2个黑球中取到任意2个.故事件只

12有一个红球的样本点数为C5C5，所以（B）是正确的.

1C5（A）3错在分母将从3个白球2个黑球中任取2个球时的不同取法作为不同的样本点，而分子没有。

C1012C5C（C）35错在分母将任取3球的不同排列作为不同的样本点，分子没考虑排列。

A1012A5A（D）35的错误在于分子仅考虑了红球自己排队以及从3个白球2个黑球中任取的2个球自己的排

A10队，没考虑3个球之间的排队。

9.上中下三本一套的书随机放在书架上，则

期末复习大纲与复习题 10

（1）恰好按上中下顺序放好的概率为

11 ；错误 ?3A33?2?121?； 正确 A333（2）恰好按上中下顺序放好的概率为

（3）上下两本放在一起的概率为

2?2 ； 正确 3A32. 错误 A33（4）上下两本放在一起的概率为

3解析 （1）（2）上中下三本书随机摆放共有A3种可能，“恰好按上中下顺序放好”则无论从左到右还

是从右到左，只要是按上中下顺序摆放即可，所以有2种可能，故（1）恰好按上中下顺序放好的概率为

11221是错误的，（2）恰好按上中下顺序放好的概率为是正确的. ???3A333?2?1A33?2?1322（3）（4）将上下两本书作为一个整体，与“中”排队，有A2?2种排法，而上下两本书又有A2?2种

22排法，故上下两本放在一起共有A2所以（3）上下两本放在一起的概率为?A2?2?2?4放法，

2?2 是A33正确的，（4）上下两本放在一起的概率为

2是错误的. 3A3

10.袋中有形状质地相同的5个球，其中有3个白球，2个黑球，每次任取1球，

（1）取后放回，共取2次，求恰取到2个白球的概率p，则下面计算正确的是（ A ）.

32A32C32C32A. p?2 B. p?2 C.p?2 D.p?2

5A5C5A5 解析 该题目为放回式取球，即每次取球时袋内状况相同，每次都有5种可能，而每次都有3种可能取到白球，即每次取到白球的概率均为率应该是?3，恰取到2个白球即第一次取到白球且第二次取到白球的概533，所以（A）是正确的。 553525其实该题目给出的随机试验即是一个2重贝努利试验，如果设2次中取到的白球数为随机变量X，

35（2）取后不放回，共取2次，求恰取到2个白球的概率p，则下面计算正确的是（ ）.

222?22则X?2的概率为P{X?2}?C2()()?1??1?()，同样（A）是正确的。

期末复习大纲与复习题 11

3?2C32A32223?2A323?22! A.p?2 B.p?2? C.p?2? D.p?2?A55?45C55?4A55?42!（3）取后放回，共取2次，求恰取到1个白球1个黑球的概率q，则下面计算正确的是（ ）. 3?23?23?2?2?33?2?3?2q?q?q? B. C. D.

525?4525?4（4）取后不放回，共取2次，求恰取到1个白球1个黑球的概率q，则下面计算正确的是（ ）.

A.q?A.q?3?23?23?2?2?33?2?3?2q?q?q? B. C. D. 2255?455?411.将颜色为红白黑的3个球随机地放入4个杯子中，杯子的容量不限，则下面计算正确的是（A ）.

A43C43 A.杯中最多有1个球的概率为3 B.杯中最多有1个球的概率为3

44C411 C.3个球全在一个杯子的概率为3 D.3个球恰在指定杯子的概率为3

44解析 3个不同的球随机地放入4个杯子中，因为每个球都有4种放法，所以共有4?4?4?4种放法。 “杯中最多有1个球”只能是3个球在3个不同的杯子中，注意如下图

3

图1 图2 图3

3在所有的样本点中，图1、2、3属不同的放法，所以3个球在3个不同的杯子中共有A4种放法，故（A）

正确，（B）是错误的。

1 “3个球全在一个杯子”，可以是4个杯子中的任意一个，有C4?4种可能，故3个球全在一个杯1C41子的概率为3，所以（C）是错误的。而3个球恰在指定杯子的概率应该为3 ，所以（D）是错误的。

44●条件概率 12. 若P(A)?111,P(B)?,P(AB)? 则 234（1）则P(BA)?P(B)2P(AB)3?；错误 （2）则P(BA)??； 正确 P(A)3P(B)4P(AB)1?；正确 （4）P(AB)?P(A). 错误 P(A)2（3）则P(BA)? 期末复习大纲与复习题 12

解析 若P(A)?0，事件A有资格做条件，事件A发生条件下事件B的条件概率的定义为

P(BA)?P(AB)； P(A)若P(B)?0，事件B有资格做条件，事件B发生条件下事件A的条件概率的定义为

P(AB)?P(AB). P(B)11,P(B?)2312,P(A?B)，所以（1）P(BA)?是错误的.（2）

431P(AB)13?4?是正确的， ?是正确的， （3）P(BA)?1P(A)242由题设P(A)?1P(AB)P(AB)??41P(B)3（4） P(AB)?P(A)是错误的.

● 全概公式、贝叶斯公式

13. 已知10只电子元件中有2只是次品，在其中取2次，每次任取一只，作不放回抽样，则 （1）P(第一次取到正品)?8；正确 107；错误 102（3）在已知第一次取到正品的条件下第二次取到次品的概率P(BA)?；正确

91（4）在已知第一次取到次品的条件下第二次取到次品的概率P(BA)?；正确

982? ； 正确 （5）P(第一次取到正品，第二次取到次品)?10982212????； 正确 （6）P(第二次取到次品）?P(B)?P(AB?AB)?109109107（7）P(第二次取到正品)?；错误

92（8）已知第二次取到次品的概率为，则在已知第二次取到次品的条件下第一次取到正品

108?2P(AB)8的概率P(AB)??109?. 正确

2P(B)9108（9）已知第二次取到正品的概率为，则在已知第二次取到正品的条件下第一次取到次品

10（2）在已知第一次取到正品的条件下第二次取到正品的概率P(BA)? 期末复习大纲与复习题 13

2?8P(AB)2的概率P(AB)??109?.正确

8P(B)910

14.设甲袋中有6只红球，4只白球，乙袋中有7只红球，3只白球，现在从甲袋中随机取一球，放入乙袋，再从乙袋中随机取一球，则

6867?；正确 （2）两次都取到红球的概率为? ；错误 101110107（3）已知从甲袋取到红球，从乙袋中取到红球的概率为 ； 错误

106847?；正确 （4）从乙袋中取到红球的概率为??1011101168?1011（5）已知从乙袋取到红球，从甲袋中取到红球的概率为 . 正确 6847???10111011（1）两次都取到红球的概率为

解析 设A=（从甲袋中取到红球），则A=（从甲袋中取到白球）， B=（从乙袋中取到红球）.

“从两袋中都取到红球”可以表示为事件AB，可以由乘法公式计算

P(AB)?P(A)P(BA)?6824??；故（1）正确，（2）错误 101155已知从甲袋取到红球，则乙袋中有11个球，8个红球，故在从甲袋取到红球的条件下，从乙袋取到红球的概率为

P(BA)?8； 故（3）错误 11（4）遇到问题想实际过程如何，求乙袋取到红球的概率，应该只与乙袋中球的状况有关，而乙袋中球的状况又决定于从甲袋中取到那种球.若取到红球，乙袋中的球数为8个红球，3个白球；若取到白球，乙袋中的球数为7个红球，4个白球.具体解法为

P(B)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA) ?684776????.10111011110故（4）正确

（5）根据所设事件，“已知从乙袋取到红球，从甲袋中取到红球的概率”应该表示为P(AB)，即已知事件B发生了，求在事件B发生条件下，事件A发生的条件概率。由逆概公式（贝叶斯公式）有

期末复习大纲与复习题 14

68?P(A)P(BA)P(AB)1011 P(AB)?， ??6847P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)???10111011所以（5）是正确的。

● 事件相互独立概率计算，n重伯努利试验概率计算 15.某人打靶，命中率为0.2，则下列事件的概率为

（1）第一枪没打中的概率为0.8；正确 （2）第二枪没打中的概率为0.8； 正确

（3）第二枪没打中的概率为0.16错误； （4）第一枪与第二枪全打中的概率为0.2?0.2?0.4错误； （5）第一枪与第二枪全打中的概率为0.2?0.2?0.04；正确 （6）则下面计算错误的是（ ）.

1 A.第三枪第一次打中的概率为0.8?0.2正确 B.第三枪第二次打中的概率为C20.8?0.22正确 1 C.三枪中仅打中一枪的概率为0.8?0.2错误 D.三枪中仅打中一枪的概率为C30.82?0.2正确

22（7）则下面计算正确的是（C ）.

2A.三枪中恰打中两枪的概率为0.8?0.2 B.三枪中恰打中两枪的概率为C30.82?0.2 2C.三枪中恰打中两枪的概率为C30.8?0.22 D.三枪中恰打中两枪的概率为0.8?0.2

22解析 ? 题目给出“命中率为0.2”，相当于每次打靶命中与否都是相互独立的.既然各枪打中的概率为0.2，各枪没打中的概率也就均为0.8，所以（1）第一枪没打中的概率为0.8，（2）第二枪没打中的概率为0.8，都是正确的，（3）第二枪没打中的概率为0.16，是错误的.

? (第一枪与第二枪全打中) 是第一枪打中且第二枪打中的积事件，又两事件相互独立， P(第一枪

与第二枪全打中)?0.2?0.2?0.04 ，所以（4）第一枪与第二枪全打中的概率为0.2?0.2?0.4是错误的，（5）第一枪与第二枪全打中的概率为0.2?0.2?0.04是正确的.

“第三 ? 该随机试验为独立试验，每一枪命中的概率为0.2，没打中的概率为0.8。

枪第一次打中”即前两枪没打中第三枪命中，所以第三枪第一次打中的概率为0.8?0.8?0.2?0.8?0.2，（A）是正确的。

“第三枪第二次打中”即共命中2枪，第三枪命中，前两枪中打中一枪，一枪没打中，当然第一第二枪中哪一枪命中均可，故（B）第三枪第二次打中的概率为C20.8?0.2?2?0.8?0.2是正确的。

“三枪中仅打中一枪”，必然是命中一枪，两枪没命中，而命中的一枪可以是三枪中的任意一枪，故有

期末复习大纲与复习题 15

122213种可能，所以三枪中仅打中一枪的概率为C3（D）正确，（C）是错误的。 0.82?0.2，

16.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7，今各投2次，则两人投中次数相等的概率为（D ）. A.0.6?0.7 B.0.4?0.6?0.3?0.7

C. 0.4?0.3 D.0.6?0.7?0.4?0.3?4?0.4?0.6?0.3?0.7

解析 甲、乙两人投篮，每人均投中2次或1次或0次，均为两人投中次数相等，所以两人投中次数相等的概率应该等于各投中2次、1次、0次概率的和。

① 甲投中2次的概率为0.6?0.6?0.6，乙投中2次的概率为0.7?0.7?0.7， 甲投中2次且乙投中2次的概率为0.6?0.7；

② 甲投中1次的概率为2?0.4?0.6，乙投中2次的概率为2?0.3?0.7， 甲投中1次且乙投中1次的概率为2?0.6?0.4?2?0.7?0.3；

③ 甲投中0次的概率为0.4?0.4?0.4，乙投中2次的概率为0.3?0.3?0.3， 甲投中0次且乙投中0次的概率为0.4?0.3； 综上两人投中次数相等的概率为（ D ）。

● 几点概率思想 17 .几点概率思想

（1）概率是刻画随机事件发生可能性大小的指标；正确

（2）频率稳定性指的是随着试验次数的增多，事件发生的频率接近一个常数；正确 （3）实际推断原理为：一次试验小概率事件一般不会发生；正确 （4）实际推断原理为：一次试验小概率事件一定不会发生. 错误 第二章 随机变量及其分布

● 离散型随机变量的分布律、分布函数、概率

22222222222222221???1018.随机变量X的分布律为??，则

0.50.20.3??（1）P{X?1}?0.3. 正确 （2）P{X?0.5}?0. 错误

期末复习大纲与复习题 16

，?0，x??1??11??XF（x）?， 19.设随机变量X的分布律为?，则的分布函数为错误 ?0.3，?1?x?1??0.30.7??1x?1.?，x?0,?0,?（x）??0.6,0?x?1, 则 20.设随机变量X的分布函数为F?1,x?1,?（1）P{X?0.5}?0；错误（2）P{X?0.5}?0.6； 正确 （3）P{0.5?X?1.5}?0；错误

（4）P{X?0.5}?0.6 ；错误（5）X的分布律为?● 常用离散型随机变量分布

1??0?.错误

0.40.6??21.在6只同类产品中有2只次品，4只正品.从中每次取一只，共取5次，每次取出产 品立即放回，再取下一只，设X为5次中取出的次品数，则

（1）第3次取到次品的概率为0. 错误 （2）第3次取到次品的概率为

1. 正确 3?1??2?（3）5次中恰取到2只次品的概率P?X?2??C?????3??3?2525?2 正确

?1??2?（4）5次中恰取到2只次品的概率P?X?2???????3??3?00525?2 错误

5?1??2?（5）最少取到1只次品的概率P?X?1??1?C???? 正确

?3??3?1?1?（6）最少取到1只次品的概率P?X?1??C5???3?k1?2??? 错误 ?3?5?k4?1??2?（7）随机变量X的分布律为P?X?k??C?????3??3?k5k； 错误

5?kk?1??2?（8）随机变量X的分布律为P?X?k??C5?????3??3?,k?0,1,2,?,5. 正确

1，共取5 3解析 ?由题设每次取出产品立即放回，再取下一只，故每次取到次品的概率相同，均为

次，每次两个结果，次品或正品，该随机试验为5重伯努利实验，5次中取到的次品数X服从二项分布

1B(5,)，X?k的概率，即5次中 恰取到k只次品的概率为

3 期末复习大纲与复习题 17

?1??2?P?X?k??C5k?????3??3?k5?k(k?0,1,2,3,4,5)，

1是正确的. 3所以（1）第3次取到次品的概率为0是错误的，（2）第3次取到次品的概率为

?1??2?（3）5次中恰取到2只次品的概率P?X?2??C?????3??3?2525?2是正确的，

?1??2?（4）5次中恰取到2只次品的概率P?X?2???????3??3?25?2 是错误的.

（5）（最少取到1只次品）的对立事件是5次中没取到次品，（没取到次品）即{X?0}的概率，故

?1??2?（5）最少取到1只次品的概率P?X?1??1?C????是正确的，（6）最少取到1只次品的概率

?3??3?051?1?P?X?1??C5???3?105?2?1?1?是错误的.C5?????3??3?41?2???为5次中恰取到1只次品的概率，即{X?1}的概率. ?3?4?求随机变量X的分布律，应该将X的所有可能取值与取值的概率列出，由前面的分析知道?X?k?k?1??2?的概率为P?X?k??C5?????3??3?k5?k是正确的，（7）错在没有列出k的范围，（8）是正确的。

22.某交通路口一个月内发生交通事故的次数X服从参数为3的泊松分布P(3)，则

（1）该交通路口一个月内发生3次交通事故的概率P?X?3??1. 错误

32e?3（2）该交通路口一个月内发生2次交通事故的概率P?X?2??. 正确

2!31e?3（3）该交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率P?X?1??. 错误

1!（4）该交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率为

30e?331e?3P?X?0??P?X?1???. 正确

0!1!3ke?3(k?0,1,2,?)，例如，{X?1}的概率为 解析 泊松分布P(3)的分布律为P{X?k}?k!31e?3P{X?1}??3e?3.所以

1! 期末复习大纲与复习题 18

33e?333e?332e?3??（1）该交通路口一个月内发生3次交通事故的概率为P{X?3}?，故3!62P?X?3??1是错误的.

32e?3（2）该交通路口一个月内发生2次交通事故的概率P?X?2??是正确的.

2!（3）（4）该交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率，即{X?1}的概率，

{X?1}?{X?0}?{X?1}，

30e?331e?3P{X?1}?P{(X?0)?(X?1)}?P{X?0}?P{X?1}???4e?3

0!1!30e?331e?3?故（4）该交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率为P?X?0??P?X?1?? 0!1!31e?3是正确的，而称交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率为P?X?1??是错误的.

1!

23. 袋中有2个红球3个白球，从中随机取一个球，当取到红球令X?1，取到白球令X?0，则

?1（1）称X为服从0?1分布； （2）X为连续型随机变量. （3）X的分布律为?2???5（1）称X为服从0?1分布. 正确 （2）X为连续型随机变量. 错误

0??3?. ?5??1（3）X的分布律为?3???50??2?. 错误 ?5?解析 ?由题设X仅取数0与1，且X取0与1的概率均大于0，所以（1）称X为服从0?1分布是正确的.

?0?1分布是离散型随机变量的分布，X服从0?1分布，显然不会是连续型随机变量，所以（2）X为连续型随机变量是错误的.

?因为{X?1}的概率即取到红球的概率，故P{X?1}?23，P{X?0}?，所以（3）X的分布律55 期末复习大纲与复习题 19

?1为?3???5

0??2?是错误的。 ?5?● 连续型随机变量的概率密度、分布函数、概率 24.设随机变量X的概率密度f(x)??（1）由积分（2）由积分

?Ax0?x?1 ， 则

其它?0?10????Axdx?1可以计算常数A. 错误

?Axdx?1可以计算常数A. 正确

（3）常数A =2 . 正确 （4）常数A =1 . 错误 解析 ? 概率密度有性质过

?????f(x)dx?1，当f(x)中有未知参数A时，其即是含A的方程，故可以通

?????????f(x)dx?1计算常数A。问题是积分?f(x)dx中的f(x)在不同区间的具体内容要与定义相符，该

题目f(x)的定义为在[0,1]区间上为Ax，其他处均为0，所以应该是

其中

?????f(x)dx??0dx??Axdx??0dx??Axdx?1， ※

??01001??1?0??0dx?0,???1（2）是正确的。 0dx?0，不为0的积分仅有?Axdx.故（1）是错误的，

01 ? 完成※式的计算，

?????f(x)dx??0dx??Axdx??0dx??Axdx???01001??1A2x210?A?1， 2所以（3）常数A=2 是正确的，（4）常数A =1是错误的.

?2x0?x?1X25.设随机变量的概率密度f(x)?? ， 则

其它0?（1）P{0?X?1}?（3）P{0?X?2}??2xdx；正确 （2） P{0.5?X01?1}??2xdx ；正确

0.5??0.51?202xdx；错误 （4） P{X?0.5}??2xdx . 错误

（5）X的分布函数为（ B ）.

?0?22 A.F(x)?x B.F(x)??x?1?x?00?x?1 C.F(x)??2xdx D.F(x)??2xdx

0??x?11x 期末复习大纲与复习题 20

解析 随机变量X的概率密度f(x)与概率P{a?X?b}之间有如下关系

P{a?X?b}?P{a?X?b}??baf(x)dx，

关键在f(x)的内容要与区间对应.由题设f(x)仅在[0,1]上为2x，其他处f(x)均为0.故

（1）P{0?X?1}??10f(x)dx??2xdx是正确的.

01（2） P{0.5?X?1}?（3）P{0?X?2}?2?10.5f(x)dx??2xdx是正确的.

0.5121101001?20f(x)dx??2xdx??0dx??2xdx?0??2xdx，故

P{0?X?2}??2xdx是错误的.

0（4）P{X?0.5}?错误的.

???0.5f(x)dx??2xdx??0dx??2xdx，故P{X?0.5?}?0.510.51??1??0.5x2d是x

（5）连续型随机变量的分布函数与概率密度之间有如下关系：在概率密度的可导点x，f(x)?F?(x).

?(x故在(??,0内)，f(x)?F?)??0?(x；内0在(1??,)，f(x)?F?)??1；0在(0,1内)，

?(xf(x)?F?)2??). (x2x又因为概率密度在个别点的值不影响概率的计算，所以只要满足概率密度的非负性，在x?0与x?1处，概率密度可以任意定义.

?0?1?26.设随机变量X的分布函数F(x)??x2?4??1x?00?x?2，则概率 x?211P{0.5?X?1.5}??1.52??0.52?0.5. 正确

44?0?1?27.设随机变量X的分布函数F(x)??x2?4??1x?00?x?2，则X的概率密度为（A ）. x?2 期末复习大纲与复习题 21

?x?120?x?2??xA.f(x)??2B.f(x)??4??其它?0?00?x?2?xx?C.f(x)?,x?R D.f(x)??22?其它?10?x?2x?2

28.若随机变量X的概率密度为f(x)，且f(?x)?f(x)，F(x)是X的分布函数，则对任意实数a有（ C ）

A.F(?a)?F(a) B.F(?a)?1??a0f(x)dx

1aC.F(?a)???f(x)dx D.F(?a)?2F(a)?1

20解析 该题目是在考核对概率密度与分布函数几何意义的理解，如下图所示

应该知道当曲线为概率密度图像，分布函数F(x)?P{X?x}??x??f(x)dx为斜线阴影区域的面积.

题目告诉概率密度为f(x)，且f(?x)?f(x)，说明概率密度为偶函数，图像关于y轴对称，如下图

1y轴两侧概率密度曲线与x轴所夹区域面积相等各为，两斜阴影区域面积相等；

2又

?a0f(x)dx为图中横线阴影区域的面积，F(?a)为图中左边阴影区域的面积，故

1a??f(x)dx， 20 F(?a)?所以（C）是正确的.

29.该图中曲线为随机变量X的概率密度f(x)的图象，则下面错误的是（D ）. F(x)为X的分布函数，

期末复习大纲与复习题 22

A. 概率P?a?X?b?等于图中以?a,b?为底的曲边梯形面积. B. 概率P?0?X?b???b0f(x)等于图中以?0,b?为底的曲边梯形面积.

C. 分布函数F(x)的数值等于图中斜线阴影部分面积.

D. 分布函数F(x)的数值等于图中以f(x)曲线为顶，以(x,??)为底的曲边梯形面积. ●常用连续型随机变量分布

?1?30.随机变量X服从区间[2,6]上的均匀分布，则其概率密度f(x)??4??031.. 随机变量X服从区间[2,6]上的均匀分布，则概率P?3?X?5??32.公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过，乘客随机到车站等车，则 （1）乘客候车时间不超过5分钟的概率为（2）乘客候车时间超过5分钟的概率为

2?x?6其他.正确

5?321??.正确 6?2421. 正确 21. 正确 23（3）乘客候车时间不超过3分钟的概率为. 正确

103（4）乘客候车时间超过3分钟的概率为. 错误

10解析 因为公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过，所以只在0到10分钟内考虑既可.由题设乘客随机到车站等车，相当于乘客到车站的时刻X服从(0,10)内的均匀分布.

均匀分布的概率计算公式为：设随机变量X服从(a,b)区间的均匀分布，则

P{c?X?d}?其中(c,d)?(a,b)，如图

d?c b?a.

当乘客在(5,10)内任意时刻到达时，乘客候车时间不超过5分钟，故

P(乘客候车时间不超过5分钟）?P{5?X?10}?所以（1）乘客候车时间不超过5分钟的概率为

10?51?，

10?02

1是正确的. 2当乘客在(0,5)内任意时刻到达时，乘客候车时间超过5分钟，故

期末复习大纲与复习题 23

P(乘客候车时间超过5分钟）?P{0?X?5}?所以（2）乘客候车时间超过5分钟的概率为

5?01?，

10?02

1是正确的. 2当乘客在(7,10)内任意时刻到达时，乘客候车时间才不超过3分钟，故

P(乘客候车时间不超过3分钟）?P{7?X?10}?所以（3）乘客候车时间不超过3分钟的概率为

10?73?，

10?010

3是正确的.10当乘客在(0,7)内任意时刻到达时，乘客候车时间才超过3分钟，故

P(乘客候车时间超过3分钟）?P{0?X?7}?所以（4）乘客候车时间超过3分钟的概率为

33. 随机变量X~N(0,1) 则 (1) P?X?0??7?07?，

10?010

3是错误的. 1011 正确 （2） P?X?0?? 正确 22 （3）P?X?0??P?X?0? 正确 （4）P?X?0??P?X?0? 错误

解析 N(0,1)为标准正态分布，其概率密度为偶函数，概率密度图像如图

故?X?0?的概率与?X?0?的概率相等，均为是错误的.

34. 随机变量X~N(3,2) ，?(x)为标准正态分布的分布函数， 则 （1）

21，所以（1）（2）（3）均是正确的，（4）P?X?0??P?X?0?2X?3X?3~N(0,1)；错误 （2）~N(0,1)；正确 42 期末复习大纲与复习题 24

（3）P?2?X?5?=?(1)??(1/2)； 错误 （4）P??4?X?10?=2?(3.5)–1 . 正确 （5）概率P{X?3}?P{X?3}?0.5. 解析 ? 正态分布有定理：设X~N(?,?2)，则

X???~N(0,1).该题设X~N(3,22)，相当于

X?3~N(0,1)，所以（2）是正确的，（1）是错误的。 2X?3服从标准正态分布，则?标准正态分布的分布函数一般用?(x)表示，既然

2X???(x)?P{?x}.又标准正态分布的分布函数有性质：?(?x)?1??(x).

??3,??2，故

?由题设X~N(3,22)，故

?2?3X?35?3??1X?3?P?2?X?5??P????P?1? ????22222???? ?P?1?111?X?3??X?3?1??P??????(1)??(?)??(1)?[1??()]??(1)??()?1

2?222?2??2所以(3)P?2?X?5?= ?(1)??(1/2)是错误的. P??4?X?10??P?X?3??4?3X?310?3??????P?3.5??3.5??? 2222???? ??(3.5)??(?3.5)??(3.5)?[1??(3.5)]?2?(3.5)?1 所以(4) P??4?X?10?=?2?(3.5)?1 是正确的.

235.设随机变量X~N(?,?)，记p?P{????X????}，则随着?的增大，p（C ）.

A.增大 B.减小 C.不变 D.变化与否不能确定 解析 有定理，若X~N(?,?)，则

2X???~N(0,1).

X?? p?P{????X????}?P{?1???1}??(1)??(?1)

期末复习大纲与复习题 25

可见经过变换后的概率与?,?均无关，所以（C）是正确的.

x?1???e,x?0,f(x)?X36. 随机变量的概率密度为 则称X服从参数为?的指数分布. 正确 ???0,x?0,?解析 其为指数分布的定义，应该记住。

??e??x,也有将概率密度形式f(x)???0,一般会将概率密度给出.

x?0,x?0, 称作X服从参数为?的指数分布，不影响问题的讨论，

x?1?2?e,x?0,37. 随机变量X的概率密度为f(x)??2 则称X服从参数为2的指数分布. 错误

?0,x?0,?● 随机变量函数的分布 38. 设X~?1??0?，则

0.40.6??02?（1）Y?2X的分布律为??? ； 正确 0.40.6??13?（2）Y?2X?1的分布律为??? . 错误

?0.40.6?解析 求离散型随机变量的分布律即应该将该随机变量的所有取值与取值的概率列出. （1）X可以取到0，1，则Y?2X只能取到0，2，且

P{Y?0}?P{2X?0}?P{X?0}?0.4 P{Y?2}?P{2X?2}?P{X?1}?0.6

所以Y?2X的分布律为?2??0?是正确的.

0.40.6??（2）试用列表方式求解

X的取值为 0 1 Y?2X?1的取值为 1 3

可见Y?1的概率即X?0的概率，Y?3的概率即X?1的概率，所以Y?2X?1的分布律为?是正确的.

3??1?0.40.6?? 期末复习大纲与复习题 26

39. 设随机变量X~?1?01???10?12Y?X，则的分布律为???.错误

?0.30.20.5??0.30.20.5?40.设随机变量X的概率密度为f(x)???2x0?x?1,则

其它?0(1)Y?X?1的概率密度为fY(y)???2y?21?y?2；正确

0其它?0?y?3其它?2y?(2)Y?3X的概率密度为 fY(y)??9??0（3）Y； 错误

?eX的概率密度为

①fY(y)???lny1?y?e ；错误

其它?0?2?lny ②fY(y)??y?0?

1?y?e其它.正确

第三章 二维离散型随机变量及其分布

●有联合分布律，求概率、边缘分布，判断是否独立，求X,Y函数的分布

Y\\X41. 设二维随机变量(X,Y)的分布律为 010120.080.160.16 ，则 0.120.240.24.,Y?0.5}?0；错误 （1）P{X?2,Y?0}?0.16 ；正确 （2）P{X?15（3）Y的边缘分布律为?12??0? ；错误 （4）X,Y不独立；错误

?0.20.40.4?（5）概率P{X?Y?1}?0.12；错误

02???2（6）Z?X?Y 的分布律为??. 正确

0.120.640.24??分析 要回答该题目，首先应该清楚(X,Y)联合分布律的涵义.该表表示(X,Y)的取值共有（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1）、（2，0）、（2，1）6种可能，取各对数值的概率分别为

期末复习大纲与复习题 27

P{X?0,Y?0}?0.08，P{X?0,Y?1}?0.12，P{X?1,Y?0}?0.16， P{X?1,Y?1}?0.24，P{X?2,Y?0}?0.16，P{X?2,Y?1}?0.24.

（1）P{X?2,Y?0}?0.16 正确

解析 从前面对联合分布律表的阐述可知P{X?2,Y?0}?0.16是正确的。 （2）P{X?1.5,Y?0.5}?0 错误

解析 P{X?1.5,Y?0.5}为X?1.5且Y?0.5的概率，根据所给联合分布律，应该求X取0或1，且Y取0，即(X,Y)取(0,0),(1,0)的概率，故

P{X?1.5Y,?0.?5}PX{?Y0?,?0P}X?{Y?1,?0}?0.08?，0

所以（2）P{X?1.5,Y?0.5}?0是错误的。

12??0（3）Y的边缘分布律为?? ； 错误

0.20.40.4??解析 求Y的边缘分布律，即求Y的分布律，应该先确定Y的取值，为0，1，再确定Y取各值的概率. 求{Y?0}的概率，应该将上述概率中所有{Y?0}无论X取任何值的概率相加，即

P{Y?0}?P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y?0}?P{X?2,Y?0}，

?0.08?0.16?0.16?0.4类似可以计算{Y?1}的概率，

P{Y?1}?P{X?0,Y?1}?P{X?1,Y?1}?P{X?2,Y?1}，

?0.12?0.24?0.24?0.6所以Y的边缘分布律为?1?12??0?0. 题目给出的分布律???，是X的边缘分布律，非Y的边

?0.20.40.4??0.40.6?缘分布律，所以是错误的.

将X,Y各取值的概率写在联合分布律的边上，各自的边缘分布律一目了然：

.

期末复习大纲与复习题 28

（4）X,Y不独立 错误

解析 解答该题目应该先清楚离散型随机变量相互独立的条件：

如果X,Y相互独立，要求X,Y取每一对数都满足积的概率等于概率的积。此题即要求 P{X?0,Y?0}?P{X?0}?P{Y?0}，P{X?0,Y?1}?P{X?0}?P{Y?1}，

P{X?1,Y?0}?P{X?1}?P{Y?0}， P{X?1,Y?1}?P{X?1}?P{Y?1}， P{X?2,Y?0}?P{X?2}?P{Y?0}，P{X?2,Y?1}?P{X?2}?P{Y?1}.

是否满足上述6个等式，应该一一验证：例如

P{X?0,Y?0}?0.08,P{X?0}?P{Y?0}?0.2?0.4?0.08, P{X?0,Y?0}?P{X?0}?P{Y?0}；

P{X?0,Y?1}?0.12,P{X?0}?P{Y?1}?0.2?0.6?0.12P{X?0,Y?1}?P{X?0}?P{Y?1}；

对每一对取值的概率都作如上验证，可知都有积的概率等于概率的积，故X,Y是相互独立的.

（5）概率P{X?Y?1}?0.12 错误

解析 由联合分布律知道(X,Y)的取值共有（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1）、（2，0）、（2，1）6种可能，其中当X?0,Y?1与X?1,Y?0都使X?Y?1，且(X,Y)取其他任何数值X?Y?1，故

P{X?Y?1}?P{X?0,Y?1}?P{X?1,Y?0}?0.12?0.16?0.28， 所以P{X?Y?1}?0.12是错误的。

（6）Z?X?Y的分布律为?012???1? 正确

0.120.320.40.16??012???1?是否正确，只能将Z?X?Y的分

?0.120.320.40.16?解析 要判断Z?X?Y的分布律为?布律求出，首先确定由(X,Y)的各对取值计算的Z?X?Y的值，不妨列表完成：

Z 0001212

1?101 期末复习大纲与复习题 29

表中间的数值即是由X?Y算得的Z值，可知Z的取值有-1，0，1，2。

再确定Z各取值的概率：

P{Z??1}?P{X?0,Y?1}?0.12，P{Z?0}?P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y?1}?0.32， P{Z?1}?P{X?1,Y?0}?P{X?2,Y?1}?0.4，P{Z?2}?P{X?2,Y?0}?0.16，

显然Z?X?Y的分布律为?

012???1?是正确的。

?0.120.320.40.16?X\\Y42.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为

?10.1600.210.28020.160.120.08 ，则

（1）P{X?2,Y?1}?0.28 ； 正确 （2）P{X?0.5,Y?0.5}?0；错误

（3） Y的边缘分布律为?2??0?； 错误 （4） X,Y相互独立 ；错误

?0.360.64?0123???1（5）Z?X?Y 的分布律为 ?? . 正确

0.160.120.240.20.28??43. 设二维随机变量(X,Y)的分布律为

Y\\X012?1013161 16316121616201631161612??0?则 （1）X,Y相互独立；错误 （2）M?max?X,Y?的分布律为?67? ；正确 ?3?161616? （3）N

第四章 随机变量的数字特征

● 离散型随机变量数学期望与方差的定义——计算期望与方差

01???1?min?X,Y?的分布律为??. 错误

64??6?161616? 期末复习大纲与复习题 30

44.设随机变量X的分布律为???102??0.10.20.7?，则

?（1）E(X)??1?0.1?0?0.2?2?0.7?1.3.正确 （2）E(X)??1?0?23?13.错误

1245.设随机变量X的分布律为???10???13161?，则

316??（1）E(X)=13；正确 （2）E(?X?1)??13；错误 （3）E(X2)?[(?1)2?02?12?22]/4?6/4?3/2 ； 错误

（4）E(X2)?(?1)2?13?02?16?12?12143?2?6?3；正确 （5）X的方差D(X)?E(X2)?[E(X)]2?119 . 正确

解析（1）判断E(X)?13是否正确，只能通过计算E(X)。

离散型随机变量数学期望的计算：是将分布律中所有取值与概率相乘加起来，即： E(X)??1?1?130?16?1?13?2?16?3 所以E(X)?13是正确的。

（3） 这种求X2的数学期望的方法显然是错误的，应该是

E(X2)?(?1)2?13?02?16?12?121843?2?6?6?3 ， 所以（3）是错误的，（4）是正确的。

（5）由方差的计算公式，X的方差D(X)?E(X2)?[E(X)]2， 由上面的分析知道

期末复习大纲与复习题

31

22 E(X)?(?1)?121212184?0??1??2???， 363663由上面（1）的分析知道

12 E(X)?1，[E(X)]? ，

3922所以 D(X)?E(X)?[E(X)]?4111?? 是正确的。 399

● 连续型随机变量数学期望与方差的定义——计算期望与方差

?2x0?x?146.设随机变量X的概率密度f(x)??，则

0其它?2 ； 正确 ?0?0312411121222（3）E(X)??x?2xdx?x0?；正确4）D(X)?E(X)?E(X)???? ；错误

04223614122（5）D(X)?E(X)?[E(X)]???.正确

2918解析 ? 判断（1）、(2)一个思路，即掌握数学期望的计算方法，如果随机变量X的概率密度为

（1）E(X)?12xdx?x210?1； 错误 （2）E(X)?1x?2xdx?23x310?f(x)(x?R)，则

E(X)?由题设，该题目X的数学期望计算为

?????xf(x)dx，

E(X)??????1xf(x)dx??x0dx??x2xdx????100201??1x0dx??x2xdx012??2xdx?x3032?,3

所以（1）是错误的，（2）是正确的。

? 随机变量X的函数X2的期望E(X2)的计算为

E(X2)??????x2f(x)dx??x20dx??x22xdx????031001??1x20dx??x22xdx012??2xdx?x404121??,42

所以（3）是正确的。

? 同前题的分析，X的方差D(X)的计算公式为

D(X)?E(X2)?[E(X)]2，

由上面（1）的分析知道

期末复习大纲与复习题 32

2 E(X)?2，[E(X)]?3121141222所以（4）D(X)?E(X)?E(X)???? 是错误的，（5）D(X)?E(X)?[E(X)]???2362918是正确的。

2 注 即使不计算也应该知道（4）D(X)?E(X)?E(X)?4， 9121???是错误的，因为方差的定义为236D(X)?E[X?E(X)]2，其不可能为负数。

?x0?x?1?47.设随机变量X的概率密度f(x)??2?x1?x?2，则

?0其它?（1）E(X)?2?10xdx??(2?x)dx；错误 （2）E(X)??xdx??x(2?x)dx?1；正确

1011027x3dx??x2(2?x)dx?；正确

162122（3）E(X)??（4）E(X2)?E2(X)?1 ；正确 （5）X的方差D(X)?1 . 错误

66解析 ? 同前题（1）、(2)的分析，当随机变量X的概率密度为f(x)(x?R)，则 E(X)??????xf(x)dx，

1?(x2?x3)3具体到这道题概率密度是分段定义的，积分也必须分段进行，正确的做法是：

E(X)=

?1021xxdx??x(2?x)dx?x3131021?1，

所以（1）E(X)=

?10xdx??(2?x)dx是错误的，（2）的计算是正确的。

122随机变量X的函数X的期望E(X2)的计算为

E(X2)??????1x2f(x)dx??x2?0dx??x2?xdx??x2(2?x)dx????013212012??2x2?0dx

??xdx??0所以（3）E(X)?2?10xdx??3112314(2x?x)dx?x41?(x?x)04347x2(2?x)dx?是正确的。

623217?,6?因为

E(X)?1,E(X2)?22所以 E(X)?E(X)?7， 672122?1?，（3）E(X)?E(X)=16是正确的。 66? (5) X的方差有计算式

期末复习大纲与复习题 33

D(X)?E(X2)?E2(X)，

所以D(X)?1,（5）X的方差D(X)?1 当然是错误的。

66

48.设随机变量X的概率密度为

（A）E(X)??e?xx?0f(x)???0x?0 ， 则（ D ）.

???????xedx （B）E(X)???x0??e?xdx xe?xdx

（C）E(X)??1 （D）E(X)?解析 连续型随机变量数学期望的计算公式为E(X)?作积分

?0?????xf(x)dx，因为题目所给f(x)分段定义，

?????xf(x)dx将f(x)代入时，应该与各区间的定义相匹配，故

E(X)?其中

?????xf(x)dx??x?0dx????0??0xe?xdx??xe?xdx

0???0??x?0dx?0，所以（D）是正确的.

●数学期望、方差的性质

49.已知 E(X)?1， 则E(?X?1)?（ D ）.

（A）E(?X?1)?E(?X)??1 （B）E(?X?1)?E(X)?1?2 （C）E(?X?1)?E(X)?1 （D）E(?X?1)??E(X)?1?0

解析 该题目的目的在于帮助理解数学期望的性质，设X为随机变量，a,b为常数，则有 E(aX?b)?E(aX)?E(b)?aE(X)?b， 故 E(?X?1)??E(X)?1??1?1?0， 所以（D）是正确的。

50. 已知D(X)?1，则D(2X?1)?（A ）.

（A）D(2X?1)?4D(X)?4 （B）D(2X?1)?D(X)?1

期末复习大纲与复习题 34

（C）D(2X?1)?4D(X)?1?5 （D）D(2X?1)?2D(X)?2 解析 该题目目的在帮助理解方差的性质，设X为随机变量，a,b为常数，则有 D(aX?b)?a2D(X) 所以（A）是正确的.

● 常用分布的数学期望、方差与参数的关系

51.随机变量X服从二项分布B(4,0.2)，则X的数学期望E(X)?0.16. 错误 52. 随机变量X服从二项分布B(4,0.2)，则X的方差D(X)?0.8.错误

53.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)?2.4,D则二项分布的参数n,p的值为（X）=1.44，（ B ）.

（A）n?4,p?0.6（B）n?6,p?0.4 （C）n?8,p?0.3 （D）n?24,p?0.1 解析 解此题的关键在清楚二项分布参数与期望方差的关系：

,D(X)?若随机变量X服从二项分布B(n,p)，则E(X)?npn1p(?p)题目相当于给了 ，

np?2.4,

np(1?p)?1.44,其为二元方程组，应该可以解出n,p.或验证四个选项，可得结果.（B）是正确的.

54.随机变量X服从泊松分布P(3)，则X的数学期望E(X)?3. 正确 55. 随机变量X服从泊松分布P(3)，则X的方差D(X)?3. 正确 56.设X服从（0，4）上的均匀分布，则（D ）.

A.E(X)?2,D(X)?2 B.E(X)?4,D(X)?4 C.E(X)?2,D(X)?4 D.E(X)?2,D(X)?解析 看第四章，第三节有现成答案.

（8）设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1服从（0，6）上的均匀分布，X2~N(0,22)，

4 3X3~?(3) ，则D(X1?2X2?3X3)= （ B ）

（A）3?4?4?9?3 （B）3?4?4?9?3 （C）3?2?4?3?3 （D）3?2?4?3?3 57.设随机变量X~N(4,9)，则X的期望、方差分别为（C ）.

期末复习大纲与复习题 35

A.2，3 B.4，3 C.4，9 D.2，9

若随机变量X~N(，则E(X)??,D(X???,2))?2，题设X~N(4,9)，故E(X)?4，

D(X)?32?9，所以（C）是正确的。

??1?e?x/?58.随机变量X服从指数分布，概率密度为f(x)????0（ B ）.

A.?，? B.?，? C.1/?，1/? D.1/?，1/? 解析 看第四章，第三节有现成答案.

59.设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1服从（0，6）上的均匀分布，X2~N(0,22)，

22x?0x?0,则X的期望、 方差分别为

X3~P(3) ，则D(X1?2X2?3X3)?（ B ）.

A.3?4?4?9?3 B.3?4?4?9?3 C.3?2?4?3?3 D.3?2?4?3?3

●期望应用

60.一批产品中有一、二、三等品，等外品及废品五种，分别占产品总数的70%，10%， 10%，6%，4%.若单位产品价值分别为6元，5元，4元，2元及0元，则

（1）单位产品的平均价值为6?0.7?5?0.1?4?0.1?2?0.06?5.22（元）； 正确 （2）单位产品的平均价值为（6+5+4+2+0）/5 = 3.4（元）. 错误

解析 此处任取一件产品的价值显然是随机变量，它的取值有6元至0元五种可能，每种可能的概率决定于各种产品占总产品的比例。计算单位产品的平均价值即计算价值这一随机变量的数学期望。

所以（1）单位产品的平均价值为6?0.7?5?0.1?4?0.1?2?0.06?5.22（元），是正确的； 显然（2）单位产品的平均价值为（6+5+4+2+0）/5 = 3.4（元） 是错误的。

61. 设随机变量X的数学期望为E(X)，方差为D(X)，称X??D(X?)?1 . 正确

X?E(X)D(X)为X的标准化，则E(X?)?0，

解析 判断的过程实际是E(X)与D(X)的计算过程，当然这类结论应该记住，不必每次都重新推导。

期末复习大纲与复习题 36

??E(X?)?E[X?E(X)11]?E[X?E(X)]?[E(X)?E(X)]?0，

D(X)D(X)D(X)X?E(X)11]?D[X?E(X)]?D[X]?1，

D(X)D(X)D(X)D(X?)?D[所以E(X?)?0，D(X?)?1 是正确的。

注意 推导的过程用到数学期望与方差的性质，例如设a,b为常数，则 E(aX?b)?aE(X)?b， D(aX?b)?a2D(X) 。

第五章 契比雪夫不等式与中心极限定理 ●契比雪夫不等式

62.（1）设随机变量X的数学期望为E(X)，方差为D(X)，契比雪夫不等式为：对任意??0有

P{X?E(X)??}?D(X)?2；正确

（2）设随机变量X的数学期望为E(X)，方差为D(X)，契比雪夫不等式为：对任意??0有

P{X?E(X)??}?1?D(X)?2.错误

解析 该题目应该用契比雪夫不等式分析.

?设随机变量的期望为?，均方差为?，方差则为?2，契比雪夫不等式为对于任意??0有

?2 P{X????}?2 ，

?所以（1）是正确的。

63.（1） 随机变量与其均值之差的绝对值大于3倍均方差的概率不会大于（2）随机变量与其均值之差的绝对值小于3倍均方差的概率不会小于

1. 正确 98. 错误 9，相当于??3?，即求 ? 该题目问“随机变量与其均值之差的绝对值大于3倍均方差的概率”

?21P{X???3?}??，

9?29所以（1）是正确的.

期末复习大纲与复习题 37

●独立同分布中心极限定理

64. 独立随机变量X1,X2,?,X100都服从参数λ=1的泊松分布，则

X1?X2???X100??Xi~N(100,100).正确

i?1100近似解析 解该题目关键在清楚“独立同分布中心极限定理”与“正态分布化标准正态分布”的定理。 随机变量X1,X2,?,X100相互独立，都服从参数λ=1的泊松分布，满足独立同分布中心极限定理的条件，所以

?Xi?1100i近似服从正态分布N(E(?Xi?1100i),D(?Xi))。

i?1100因为X1,X2,?,X100都服从参数λ=1的泊松分布，则它们的期望与方差均为1，即

E(Xi)?1D,X(i?)，所以1E(?Xi)?100,D(?Xi)?100?10，即?Xi近似服从正态分布

2i?1i?1i?1100100100N(100,102)，所以（1）是正确的。

65. 袋装茶叶用机器装袋，每袋净重是随机变量，均值是0.1公斤，标准差为0.01公斤，一大盒内装200袋，一大盒茶叶净重超过20.25公斤的概率可以如下计算，设每袋茶叶的重量为Xi，i?1,2,?,200，一大盒茶叶重量为

?Xi?1200i，

?Xi?1200近似i~N(20,0.02),则

?200?X?20?i200??20.25?200.25 ； ????i?1 P??Xi?20.25??P??)???(0.020.020.02i?1????????解析 袋装茶叶每袋的净重是随机变量，200袋茶叶即200个随机变量，可以看作服从相同分布相互独立，设为X1,X2,?,X200，则EXk?100(g)?0.1(kg)，DXk?102(g2)?0.0001(kg2)，

k?1,2,?,100，一大盒茶叶净重为?Xk.由独立同分布中心极限定理，

k?1200 ?Xkk?1200近似~N(200?0.1,200?0.0001)?N(20,0.02)， ?Xk?1200?20近似N(0,1)， ~0.02k所以

期末复习大纲与复习题 38

P{?Xk?20.25}?P{k?1k?1200?X200k?200.02Xk?20?20.25?200.25?}?1?P{k?1?}

0.020.020.02200?1??(0.25)?1??(1.77)?1?0.9616?0.0384， 0.02即一大盒茶叶净重超过20.25公斤的概率为0.0384.

●拉普拉斯中心极限定理

66.一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度大于或等于3m，现从这批木柱中随机取出100根，则其中至少有30根短于3m的概率可以如下计算：

设100根木柱中长度短于3m的根数为X，X~B(100,0.2)， P?X?30??P??X?2030?20?????(2.5) ； 错误 44??解析 ? 解该题目的关键在清楚“拉普拉斯中心极限定理”与“正态分布化标准正态分布”的定理。 拉普拉斯中心极限定理的内容是：

若随机变量X~B(n,p)，当n较大时，X近似服从正态分布N(np,np(1?p))。

?既然80%的长度大于3m，说明每根长于3米的概率为0.8，短于3米的概率为0.2。取100根相当于

100次独立试验，每根或长于3米或短于3米。

设100根木柱中长度短于3m的根数为X，则X~B(100,0.2)，由拉普拉斯中心极限定理

X~N(20,16) ，再由正态分布化标准正态分布定理有

根短于3m的概率，即P?X?30?，正确的计算是

近似X?20~N(0,1)，求取出的100根中至少有304?X?2030?20??X?20?P?X?30??P???P?2.5???4??4?4?

?X?20??1?P??2.5??1??(2.5)?4?注意若Z~N(0,1),，则?(x)?P{Z?x}，其中

X?20?X?20?~N(0,1)，则P??2.5???(2.5) ，不4?4?能认为P??X?2030?20?????(2.5)，所以是错误的。

4??4

期末复习大纲与复习题 39

第六章 抽样分布

●样本均值与样本方差定义

67.设总体X~N(?,?2)，其中?未知，?已知，X1,X2,X3是取自总体X的一个样本，不能为统计量的是 （ A ）.

A.X1+? B.X1+1/3X2 C. 2X1+3X2-X3 D.1/?2222(X12?X2?X3)

解析 回答该题目的关键是统计量的定义：由样本构造的函数且不含未知参数.

按这一标准衡量，仅有（A）含未知的?，不能为统计量. 其余或仅含样本，或含已知的?，均可为统计量.

68. 设X1,X2,?,Xn为简单随机样本，X为样本均值，S为样本方差，则

221n1n （1） X??Xi ；正确 （2）X?Xi；错误 ?n?1i?1ni?11n1n22 （3）S??(Xi?X)；错误 （4）S?(Xi?X)2.正确 ?ni?1n?1i?12这一题目查课件与书都可得到结果，它是定义. 样本均值的定义为

1n X??Xi，

ni?1样本方差的定义为

1n S?(Xi?X)2， ?n?1i?12所以（2）（3）是错误的，（1）（4）是正确的.

●正态总体样本N(?,?2)样本均值X的分布

269．设总体X服从正态分布N(30,3)，X1,X2,?X20是来自X的样本，X为样本均值，则

32（1）X服从正态分布N(30,3)；错误 （2）X服从正态分布N(30,)；正确

202（3）P{X?0}?0.5；错误 （4）P{X?30}?0.5. 正确 觧析 此题目用到下面知识点：

期末复习大纲与复习题 40

若随机变量相互独立，都服从正态分布，则它们的线性函数仍然服从正态分布； 正态总体X~N(?,?)，X1,X2,?Xn为样本，则样本均值X~N(?,2?2n).

2题目告知总体X服从正态分布N(30,3)，则总体X的样本均值X服从正态分布，即

132X?(X1?X2???X20)~N(30,)，

2020所以（1）是错误的，（2）是正确的。

32既然X~N(30,)，X的概率密度以x?30对称，所以（4）P{X?30}?0.5是正确的，（3）

20P{X?0}?0.5是错误的。

70.设X1,X2,?,Xn是来自正态总体N(?,?2)的样本，则样本均值X服从的分布为 （ B ）.

（A）N(0,1) （B）N(?,?2/n) （C）N(?,?2) （D）N(n?,n?2) 解析 此题目考的是定理，若读了书，学了课件则应该会，其为第六章定理： 定理6.1设X1,X2,?,Xn是正态总体N(?,?)的样本，则样本均值X~N(?,关于定理的来源用到第三章最后一节，与第四章的知识. 显然答案是（B）.

●查?2分布与t分布表 71.由t分布表

2?2n).

P{t(n)?t?(n)}??n\\?0.050.025

81.85952.306091.83312.2622可以查到满足 （1） P{t(9)??}?0.05 的?= 1.8331错误

（2）P{t(9)??}?0.9的?= 1.8331 正确

期末复习大纲与复习题 41

（3）P{t(9)??}?0.05的?= 1.8331 正确

（4）P{t(9)??}?0.025的?= 2.2622 错误

解析 回答该题目的关键在于清楚t分布表所给内容的含义，如题目所给的部分t分布表表示

P{t(9)?1.8331}?0.05，P{t(9)?2.2622}?0.025

（1）要找?使P{t(9)??}?0.05，即

P{[t(9)??]?[t(9)???]}?P{t(9)??}?P{t(9)???}?0.05

因为P{t(9)??}?P{t(9)???}，则应该找?使P{t(9)??}?0.025，所以??2.2622.

题目所给结果是错误的.

（2）要找?使P{t(9)??}?0.9，即P{t(9)??}?0.1，也即

P{(t(9)??)?(t(9)???)}?P{t(9)??}?P{t(9)???}?0.1，

如同上面分析，应该找?使P{t(9)??}?0.05，所以??1.8331.

题目所给结果是正确的.

按上面分析，请自己判断（3）、(4)的对错.

第七章 参数估计 ●矩估计

72.设总体为X，X为样本均值，则 （1）X是数学期望E(X)的矩估计；正确

1n2（2）?(Xi?X)是方差D(X)的矩估计. 正确

ni?1解析 矩估计的基本思路是用样本k阶矩估计总体k阶矩，X是样本1阶矩，E(X)是总体1阶矩，

1n、（2）都是正(Xi?X)2是样本2阶中心矩， D(X)?E[X?E(X)]2是总体2阶中心矩，所以（1）?ni?1确的。

?1?x??e73.已知某电子仪器的使用寿命服从指数分布，概率密度为f(x)?????0x?0x?0， X为样本均值，

期末复习大纲与复习题 42

则?的矩估计?=X. 正确

解析 在第四章介绍过指数分布的概率密度如题目所给时，其数学期望等于?，又数学期望的矩估计

??为样本均值X，所以?的矩估计?=X.

●估计量优劣的评价标准

74. （1）样本均值X不是总体期望值E(X)??的无偏估计；错误

n1 ?(Xi?X )2 是D (X)??2的无偏估计. 正确 （2）样本方差S?n?1i?12解析 （1）设X1,X2,?,Xn为样本，则X?1(X1?X2???Xn)，X1,X2,?,Xn与总体同分布，n故E(X1)?E(X2)???E(Xn)?E(X)??，所以

111E(X)?E[(X1?X2???Xn)]??E(X1?X2???Xn)??n????

nnn即样本均值X是总体期望值E(X)??的无偏估计.

n1 （2）E(S)?E[ ?(Xi?X )2]= D (X)??2的推导较复杂，记住这一结果即可.即

n?1i?121n22S? ?(Xi?X )2是 D (X)??2的无偏估计。 D (X)??是n?1i?175.设从均值为?的总体中抽取容量为n的样本X1,X2,?,Xn，则对于任意常数a1,a2,?,an,只要满足a1?a2???an?1，则a1X1?a2X2???anXn都是?的无偏估计. 正确

解析 判断a1X1?a2X2???anXn是否为?的无偏估计，就看E(a1X1?a2X2???anXn)是否等于?.因为X1,X2,?,Xn是样本，其与总体同分布，即E(X1)?E(X2)???E(Xn)??，故

E(a1X1?a2X2所以所给结论是正确的。

???anXn)?a1??a2????an??(a1?a2???an)???

?是总体参数?的两个估计量，说??比??更有效，是指（D ）. 76. 设??1和?212?)?E(??)??,且??? B.E(??)?E(??) A.E(?121212?)?D(??) C.D(?12

?)?E(??)??,且D(??)?D(??) D.E(?1212解析 这道题在考核有效估计量定义，应该会自己查.有效是对两个估计量的比较，称在无偏的基础上

期末复习大纲与复习题 43

方差小者有效，所以应选（D）.

●正态总体数学期望的区间估计

77.设正态总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，则X的数学期望的置信度近似等于0.9的置信区间为 （ B ）. (?(1.96)=0.975, ?(1.65)=0.95 )

A.（5-0.1?1.96, 5+0.1?1.96） B.（5-0.1?1.65, 5+0.1?1.65） C.（5-0.01?1.96, 5+0.01?1.96） D.（5-0.01?1.65, 5+0.01?1.65) 解析 设X~N(?,?2)，则X???~N(0,1)，查标准正态分布表知道

nX?? P{??1.65}?0.95，

n所以 P{X????1.65}?0.9，

n即

P{

X????1.65}?P{n??X??X?1.65}?P{?1.65??1.65}??nnn???X?1.65??nn}n}?0.9

?P{?1.65???P{X?1.65??所以X的数学期望?的置信度近似等于0.9的置信区间为

???X?1.65?? （B）是正确的。

(X?1.65??n,X?1.65??)?(5?1.65?1,5?1.65?1)1010 n?(5?1.65?0.1,5?1.65?0.1),第八章 假设检验

●正态总体期望的假设检验

78. 人的脉搏可看作服从正态分布. 正常人脉搏平均72次/分钟，方差未知，测得样本均值X与样本

期末复习大纲与复习题 44

方差S，要检验其脉搏与正常人有无显著差异，则

（1）应作假设检验：H0:??72（次/分钟），H1:??72（次/分钟）； 正确 （2）选择的检验统计量应为Z?2

X?72?/n. 错误

觧析 （1）要检验的内容为“其脉搏与正常人有无显著差异”，当然指的是脉搏的期望值?是否等 于72，，所以假设检验的内容“H0:??72（次/分钟），H1:??72（次/分钟）”是正确的.

（2）“选择的检验统计量应为Z?X?72?/n“，则不对. 因为题目说“方差未知”，即?2未知，当然?也未知，故应该选择不包含?的检验统计量t?

X?72. S/n79.某机床加工圆形零件，其直径服从正态分布，若机器工作正常，要求所生产零件的直径均值与20（mm）无明显差异. 某天抽查了9个零件，测得平均值x=19.8（mm），样本方差s2?1.12(mm2)，要检验这天机器工作是否正常，（?=0.05）.

P{t(n)?t?(n)}??给附表

n\\?0.050.025 ，则

81.85952.306091.83312.2622 （1）假设检验内容应为 H0:??20(mm)，H1:??20(mm)； 正确 （2）选择的检验统计量应为：t?X?20 ； 正确 S/3 （3）对给定的显著性水平?=0.05，拒绝域为|t|?2.2622. 错误

觧析 题目中给出“样本方差s=1.1（mm）”，言外之意“方差?2未知”，由上面题目的分析应该知道

2

2

2

（1）、（2）是正确的.

（3）对于给定的显著性水平?=0.05，相当于确定一个点a，使P{t?a}?0.05，即使得 P{t?a}?P{t?a}?P{t??a}?0.05 也即 P{t?a}?0.025.

题目交待抽查了9个零件，即样本容量为9，则当??20时，t?X?20服从自由度为8的t分布，S/3故a?t0.025(8)?2.3060，拒绝域应该为t?2.3060，故所给答案是错误的.

期末复习大纲与复习题 45

●正态总体方差的假设检验

80. 某牌香烟生产者自称其尼古丁的含量方差为2.3，现随机抽取9只，得样本标准差为2.4. 欲通过检验判断能否同意生产者的自称.（α=0.05，设香烟中尼古丁含量服从正态分布）

（1）假设检验内容应为 H0:?2?2.32 ，H1:?2?2.32；正确 （2）选择的检验统计量应为：??228S2?2； 正确

8S2~?2(9). 错误 （3）当H0成立，检验统计量??22.32解析（1）生产者自称其尼古丁的含量方差为2.32，通过检验判断能否同意生产者的自称,当然是检验方差是否等于2.32，即“?2?2.32”或“?2?2.32”，所以（1）是正确的.

（2）检验方差，选择的检验统计量应该为??2(n?1)S2?22，其中n为样本容量.题目中说“随机抽取9

只”，即样本容量为9，故选择的检验统计量应为：??8S2?22，是正确的.

8S2（3）当H0成立，也即??2.3时，检验统计量??应该服从自由度为8的t分布，即应该是 22.3228S2??2~?2(8)，题目中所给是错误的.

2.32

期末复习大纲与复习题 46