河南省郑州市2016-2017学年高一上学期期末数学试卷和答案 下载本文

20.(12分)(2016秋?郑州期末)如图所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=CC1,M、N分别为BB1、A1C1的中点. (Ⅰ)求证:CB1⊥平面ABC1; (Ⅱ)求证:MN∥平面ABC1.

【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.

【分析】(I)根据直三棱柱的性质,利用面面垂直性质定理证出AB⊥平面BB1C1,得出AB⊥CB1.正方形BCC1B1中,对角线CB1⊥BC1,由线面垂直的判定定理可证出CB1⊥平面ABC1;

(II)取AC1的中点F,连BF、NF,利用三角形中位线定理和平行四边形的性质,证出EF∥BM且EF=BM,从而得到BMNF是平行四边形,可得MN∥BF,结合线面平行判定定理即可证出MN∥面ABC1.

【解答】解:(Ⅰ)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中, 侧面BB1C1C⊥底面ABC,且侧面BB1C1C∩底面ABC=BC, ∵∠ABC=90°,即AB⊥BC,

∴AB⊥平面BB1C1 …(2分) ∵CB1?平面BB1C1C,∴AB⊥CB1.… ∵BC=CC1,CC1⊥BC,∴BCC1B1是正方形, ∴CB1⊥BC1,

∵AB∩BC1=B,∴CB1⊥平面ABC1.

(Ⅱ)取AC1的中点F,连BF、NF.…(7分) 在△AA1C1中,N、F是中点, ∴NF

AA1,

AA1,

又∵正方形BCC1B1中BM

∴NF∥BM,且NF=BM…(8分)

故四边形BMNF是平行四边形,可得MN∥BF,…(10分) ∵BF?面ABC1,MN?平面ABC1, ∴MN∥面ABC1…(12分)

【点评】本题给出底面为直角三角形的直三棱柱,在已知侧棱与底面直角边长相等的情况下证明线面垂直.着重考查了空间直线与平面平行、垂直的判定与性质等知识,属于中档题.

21.(12分)(2016秋?郑州期末)已知圆C:x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q(﹣2,3).

(1)若M为圆C上任一点,求|MQ|的最大值和最小值; (2)若实数m,n满足m2+n2﹣4m﹣14n+45=0,求k=【考点】直线与圆的位置关系.

【分析】(1)求出|QC|,即可求|MQ|的最大值和最小值;

(2)由题意,(m,n)是圆C上一点,k表示圆上任意一点与(﹣2,3)连线的斜率,设直线方程为y﹣3=k(x+2),直线与圆C相切时,k取得最值.

【解答】解:(1)圆C:x2+y2﹣4x﹣14y+45=0可化为(x﹣2)2+(y﹣7)2=8,圆心坐标为C(2,7),半径r=2|QC|=|MQ|min=4

=2

=4

,|MQ|max=4

+2

=6

的最大值和最小值.

(2)由题意,(m,n)是圆C上一点,k表示圆上任意一点与(﹣2,3)连线的斜率,

k取得最值,设直线方程为y﹣3=k(x+2),直线与圆C相切时,即

=2

∴k=2,

,最小值为2﹣

∴k的最大值为2+

【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线的距离公式,属于中档题.

22.(12分)(2016秋?郑州期末)已知指数函数y=g(x)满足g(3)=8,又定义域为实数集R的函数f(x)=(1)讨论函数y=f(x)的单调性;

(2)若对任意的t∈R,不等式f(2t﹣3t2)+f(t2﹣k)>0恒成立,求实数k的取值范围.

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】(1)根据g(3)=a3=8,求出a的值,从而求出f(x)的解析式,根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可;

(2)根据函数f(x)的单调性和奇偶性得到2t﹣3t2<k﹣t2,即k>﹣2t2+2t恒成立,设h(t)=﹣2t2+2t=﹣2

+,根据二次函数的性质求出k的范围即可.

是奇函数.

【解答】解:(1)设g(x)=ax,(a>0且a≠1),g(3)=a3=8, 故a=2,f(x)=任取实数x1<x2, 则f(x1)﹣f(x2) =

=,

∵x1<x2,考虑y=2x在R递增, ∴∴

>﹣

>0, >0,(1+

)(1+

)>0,

∴f(x1)>f(x2), ∴y=f(x)在R递减;

(2)要使f(2t﹣3t2)+f(t2﹣k)>0恒成立,

即f(2t﹣3t2)>﹣f(t2﹣k)成立, 即f(2t﹣3t2)>f(k﹣t2)成立,

由(1)得:2t﹣3t2<k﹣t2,即k>﹣2t2+2t恒成立, 设h(t)=﹣2t2+2t=﹣2h(t)max=, 故k>.

【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题,考查二次函数的性质,是一道中档题.

+,