20．（12分）（2016秋?郑州期末）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=CC1，M、N分别为BB1、A1C1的中点． （Ⅰ）求证：CB1⊥平面ABC1； （Ⅱ）求证：MN∥平面ABC1．

【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

【分析】（I）根据直三棱柱的性质，利用面面垂直性质定理证出AB⊥平面BB1C1，得出AB⊥CB1．正方形BCC1B1中，对角线CB1⊥BC1，由线面垂直的判定定理可证出CB1⊥平面ABC1；

（II）取AC1的中点F，连BF、NF，利用三角形中位线定理和平行四边形的性质，证出EF∥BM且EF=BM，从而得到BMNF是平行四边形，可得MN∥BF，结合线面平行判定定理即可证出MN∥面ABC1．

【解答】解：（Ⅰ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中， 侧面BB1C1C⊥底面ABC，且侧面BB1C1C∩底面ABC=BC， ∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，

∴AB⊥平面BB1C1 …（2分） ∵CB1?平面BB1C1C，∴AB⊥CB1．… ∵BC=CC1，CC1⊥BC，∴BCC1B1是正方形， ∴CB1⊥BC1，

∵AB∩BC1=B，∴CB1⊥平面ABC1．

（Ⅱ）取AC1的中点F，连BF、NF．…（7分） 在△AA1C1中，N、F是中点， ∴NF

AA1，

AA1，

又∵正方形BCC1B1中BM

∴NF∥BM，且NF=BM…（8分）

故四边形BMNF是平行四边形，可得MN∥BF，…（10分） ∵BF?面ABC1，MN?平面ABC1， ∴MN∥面ABC1…（12分）

【点评】本题给出底面为直角三角形的直三棱柱，在已知侧棱与底面直角边长相等的情况下证明线面垂直．着重考查了空间直线与平面平行、垂直的判定与性质等知识，属于中档题．

21．（12分）（2016秋?郑州期末）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q（﹣2，3）．

（1）若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值； （2）若实数m，n满足m2+n2﹣4m﹣14n+45=0，求k=【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】（1）求出|QC|，即可求|MQ|的最大值和最小值；

（2）由题意，（m，n）是圆C上一点，k表示圆上任意一点与（﹣2，3）连线的斜率，设直线方程为y﹣3=k（x+2），直线与圆C相切时，k取得最值．

【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0可化为（x﹣2）2+（y﹣7）2=8，圆心坐标为C（2，7），半径r=2|QC|=|MQ|min=4

=2

；

=4

，

，|MQ|max=4

+2

=6

，

的最大值和最小值．

（2）由题意，（m，n）是圆C上一点，k表示圆上任意一点与（﹣2，3）连线的斜率，

k取得最值，设直线方程为y﹣3=k（x+2），直线与圆C相切时，即

=2

，

∴k=2，

，最小值为2﹣

．

∴k的最大值为2+

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．

22．（12分）（2016秋?郑州期末）已知指数函数y=g（x）满足g（3）=8，又定义域为实数集R的函数f（x）=（1）讨论函数y=f（x）的单调性；

（2）若对任意的t∈R，不等式f（2t﹣3t2）+f（t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）根据g（3）=a3=8，求出a的值，从而求出f（x）的解析式，根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可；

（2）根据函数f（x）的单调性和奇偶性得到2t﹣3t2＜k﹣t2，即k＞﹣2t2+2t恒成立，设h（t）=﹣2t2+2t=﹣2

+，根据二次函数的性质求出k的范围即可．

是奇函数．

【解答】解：（1）设g（x）=ax，（a＞0且a≠1），g（3）=a3=8， 故a=2，f（x）=任取实数x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2） =

﹣

，

=，

∵x1＜x2，考虑y=2x在R递增， ∴∴

＞﹣

＞0， ＞0，（1+

）（1+

）＞0，

∴f（x1）＞f（x2）， ∴y=f（x）在R递减；

（2）要使f（2t﹣3t2）+f（t2﹣k）＞0恒成立，

即f（2t﹣3t2）＞﹣f（t2﹣k）成立， 即f（2t﹣3t2）＞f（k﹣t2）成立，

由（1）得：2t﹣3t2＜k﹣t2，即k＞﹣2t2+2t恒成立， 设h（t）=﹣2t2+2t=﹣2h（t）max=， 故k＞．

【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．

+，