∴MN∥EF，AK?OG，∴MN//EF，AK//OG，
∴MN∥平面EFBD，AK∥平面EFBD， ∴平面AMN∥平面EFBD．
解法二：设平面AMN的法向量是a＝(a1，a2，a3)，平面EFBD的法向量是 b＝(b1，b2，b3)． 由a?AM?0,a?AN?0, 得???2a1?4a3?0,取a3＝1，得a＝(2，－2，1)．
?2a2?4a3?0,由b?DE?0,b?BF?0, 得??2b2?4b3?0,取b3＝1，得b＝(2，－2，1)．
??2b1?4b3?0,∵a∥b，∴平面AMN∥平面EFBD．
注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．
例3 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N是棱A1B1，B1B的中点，求异面直线AM和CN所成角的余弦值．
解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，M(2，1，2)，C(0，2，0)，N(2，2，1)．
?AM?(0,1,2),CN?(2,0,1),
设AM和CN所成的角为??，则cos??AM?CN|AM||CN|2? 5?2, 5∴异面直线AM和CN所成角的余弦值是
解法二：取AB的中点P，CC1的中点Q，连接B1P，B1Q，PQ，PC． 易证明：B1P∥MA，B1Q∥NC，
∴∠PB1Q是异面直线AM和CN所成的角． 设正方体的棱长为2，易知B1P?B1Q?5,PQ?PC2?QC2?6,
5
B1P2?B1Q2?PQ22∴cosPB1Q??,
2B1P?B1Q5∴异面直线AM和CN所成角的余弦值是
2? 5
【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角)．
例4 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求直线AC1与平面ABB1A1所成角的大小．
【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB1A1的法向量求解．
解法一：如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0,0,2a),
C1(?a3aa,,2a)?取A1B1的中点D，则D(0,,2a)，连接AD，C1D．
222则DC?(?3a,0,0),AB?(0,a,0),AA1?(0,0,2a), 2DC1?AB?0,DC1?AA1?0,
∴DC1⊥平面ABB1A1，
∴∠C1AD是直线AC1与平面ABB1A1所或的角．
6
?AC1?(?3aaa,,2a),AD?(0,,2a), 222AC1?AD|AC1||AD|?3， 2?cosC1AD?∴直线AC1与平面ABB1A1所成角的大小是30°．
解法二：如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，2a)，
C1(?3aa3aa,,2a)，从而AB?(0,a,0),AA?(0,0,2a),AC?(?,,2a)? 112222设平面ABB1A1的法向量是a＝(p，q，r)， 由a?AB?0,a?AA1?0,
?aq?0,得?取p＝1，得a＝(1，0，0)． ?2ar?0,设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为?,??[0,],
π2sin??|?cosAC1,a?|?|AC1?a||AC1||a|?1,??30?. 2【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换．
例5 如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC?求二面角A－PB－C的平面角的余弦值．
2，
解法一：取PB的中点D，连接CD，作AE⊥PB于E． ∵PA＝AC＝1，PA⊥AC， ∴PC＝BC＝2，∴CD⊥PB． ∵EA⊥PB，
∴向量EA和DC夹角的大小就是二面角A－PB－C的大小．
7
如图建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，2，0)，P(1，0，1)，
由D是PB的中点，得D(,121,)? 222PEAP21323??,由得E是PD的中点，从而E(,,)? 24ABEB344123121,?),DC?(?,?,?) ?EA?(,?424422?cos?EA,DC??EA?DC|EA||DC|?3? 33? 3即二面角A－PB－C的平面角的余弦值是
解法二：如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2,1,0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，
AP?(0,0,1),AB?(2,1,0),CB?(2,0,0),CP?(0,?1,1).
设平面PAB的法向量是a＝(a1，a2，a3)， 平面PBC的法向量是b＝(b1，b2，b3)． 由a?AP?0,a?AB?0,
??a3?0,得?取a1＝1，得a?(1,?2,0). ??2a1?a2?0,??2b1?0,由b?CB?0,b?CP?0得?取b3＝1，得b＝(0，1，1)．
???b2?b3?0,?cos?a,b??a?b3???
3|a||b|∵二面角A－PB－C为锐二面角，
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