空间向量与立体几何

【知识要点】

1．空间向量及其运算： (1)空间向量的线性运算：

①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立．

②空间向量的线性运算的运算律： 加法交换律：a＋b＝b＋a；

加法结合律：(a＋b＋c)＝a＋(b＋c)；

分配律：(??＋??)a＝??a＋??a；??(a＋b)＝??a＋??b． (2)空间向量的基本定理：

①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数??，使得a∥??b．

②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在惟一一对实数??，??，使得c＝??a＋??b．

③空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组??1，??2，??3，使得p＝??1a＋??2b＋??3c．

(3)空间向量的数量积运算：

①空间向量的数量积的定义：a·b＝|a｜|b｜cos〈a，b〉； ②空间向量的数量积的性质：

a·e＝|a｜cos＜a，e＞；a⊥b?a·b＝0； |a|2＝a·a；|a·b|≤|a｜|b｜． ③空间向量的数量积的运算律： (??a)·b＝??(a·b)； 交换律：a·b＝b·a；

分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． (4)空间向量运算的坐标表示：

①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k｝，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a，存在惟一数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，那么有序数组(a1，a2，a3)就叫做空间向量a的坐标，即a＝(a1，a2，a3)．

②空间向量线性运算及数量积的坐标表示： 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)； ??a＝(??a1，??a2，??a3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3． ③空间向量平行和垂直的条件：

a∥b(b≠0)?a＝??b?a1＝??b1，a2＝??b2，a3＝??b3(??∈R)； a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0． ④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式： 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

222|a|?a?a?a12?a2?a3,|b|?b?b?b12?b2?b32;

1

cos?a,b??a1b1?a2b2?a3b3a?b?;

222222|a||b|a1?a2?a3b1?b2?b3在空间直角坐标系中，点A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，则A，B两点间的距离是

|AB|?(a1?b1)2?(a2?b2)2?(a3?b3)2.

2．空间向量在立体几何中的应用：

(1)直线的方向向量与平面的法向量：

①如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得OP?OA?ta，其中向量a叫做直线的方向向量．

由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．

②如果直线l⊥平面??，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面??的法向量． 由此可知，给定一点A及一个向量a，那么经过点A以向量a为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：

设直线l，m的方向向量分别是a，b，平面??，??的法向量分别是u，v，则 ①l∥m?a∥b?a＝kb，k∈R； ②l⊥m?a⊥b?a·b＝0； ③l∥???a⊥u?a·u＝0；

④l⊥???a∥u?a＝ku，k∈R； ⑤??∥?u∥v?u＝kv，k∈R； ⑥??⊥???u⊥v?u·v＝0．

(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：

①异面直线所成的角：设a，b是两条异面直线，过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角．

设异面直线a与b的方向向量分别是v1，v2，a与b的夹角为??，显然??(0,],则

π2|cos?v1,v2?|?|v1?v2|?

|v1||v2|②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．

设直线a的方向向量是u，平面??的法向量是v，直线a与平面??的夹角为??，显然

??[0,]，则|cos?u,v?|?

π2|u?v|?

|u||v|2

③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作??－l－??在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角??－l－??的平面角．

利用向量求二面角的平面角有两种方法： 方法一：

如图，若AB，CD分别是二面角??－l－??的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角

??－l－??的大小就是向量AB与CD的夹角的大小．

方法二：

如图，m1，m2分别是二面角的两个半平面??，??的法向量，则〈m1，m2〉与该二面角的大小相等或互补．

(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题． 【复习要求】

1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．

2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． 4．理解直线的方向向量与平面的法向量．

5．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系． 6．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题． 【例题分析】

例1 如图，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1

上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且B1S＝2SB，点Q，R分别是O1B1，AE的中点，求证：PQ∥RS．

3

【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k，使得PQ?kRS.

解：如图建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，2)，E(3，4，0)．

∵AP＝2PA1， ∴AP?∴P(3,0,)?

同理可得：Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0,4,)?

224AA1?(0,0,2)?(0,0,), 33343232?PQ?(?3,2,)?RS,

3?PQ//RS，又R?PQ，

∴PQ∥RS．

【评述】1、证明线线平行的步骤： (1)证明两向量共线；

(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．

2、本体还可采用综合法证明，连接PR，QS，证明PQRS是平行四边形即可，请完成这个证明．

例2 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1

的中点，求证：平面AMN∥平面EFBD．

【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行．

解法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(4，0，0)，M(2，0，4)，N(4，2，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)．

取MN的中点K，EF的中点G，BD的中点O，则O(2，2，0)，K(3，1，4)，G(1，3，4)．

MN＝(2，2，0)，EF＝(2，2，0)，AK＝(－1，1，4)，OG＝(－1，1，4)，

4