智合教育……暑期蓝天行动

（3）徐师傅与电工下棋互有胜负； （4）陈师傅比钳工下得好。

问：徐、王、陈、赵四位师傅各从事什么工种？

徐是车工，王是钳工，陈是电工，赵是木工。

解：提示：由（2）（3）（1）可画出右表：

（七） 牛吃草

牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。

由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。这类问题常用到四个基本公式，分别是：

（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数； （3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）； （4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为\，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。

一、例题与方法指导

例1.

青青一牧场

青青一牧场，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周全吃光。 改养廿三只，九周走他方；若养二十一，可作几周粮？

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（注：“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。）

【解说】这道诗题，是依据闻名于世界的“牛顿牛吃草问题”编写的。牛顿是英国人，他的种种事迹早已闻名于世，这里不赘述。他曾写过一本书，名叫《普遍的算术》，“牛吃草问题”就编写在这本书中。书中的这道题目翻译过来是：

一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草是不断生长的。）

解答这一问题，首先必须注意牧场里的草是不断生长增多的，而并非一个固定不变的数值。这虽然大大地增加了解题的难度，但我们不要害怕。只要依据下面的思路，就一定会找到问题的答案。

思路导航：

因为27头6星期草料=（27×6=）162头一星期草料 23头9星期草料=（23×9=）207头一星期草料

而这一牧场6星期吃完与9星期吃完，草料数量要相差207—162=45（头牛吃一星期的草料）

这多出的草料，便是 9—6=3（个星期之内新长出的草料） 所以，一个星期新长出的草料便是

45÷3=15（头牛吃一星期的草料） 进而可知，这牧场最初的草料数量就是

（27—15）×6=72（头牛吃一个星期的草料） 现在，有21头牛来吃这牧场里的草，其中必须拿出15头牛来吃每个星期新长出来的草料，这就只剩下：21-15=6（头牛）

去吃最初已经长成的草料了。所以，21头牛来吃这牧场的草料，全部吃光所需要的时间就是

72÷6=12（个星期） 列成综合算式，就是：

[27-（23×9—27×6）÷（9—6）]×6÷[21-（23×9—27×6）÷（9—6）] =[27-45÷3]×6÷[21-45÷3] ＝12×6÷6 =12（个星期）

答：21头牛要12个星期才可以吃完。

例2. 一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样一片牧场，牛23头，9天把草吃尽。如果有牛21头，几天能把草吃尽？ 摘录条件：

27头 6天 原有草+6天生长草 23头 9天 原有草+9天生长草 21头 ？天 原有草+？天生长草

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解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化。设1头牛1天吃的草为\，由条件可知，前后两次青草的问题相差为23×9-27×6=45。为什么会多出这45呢？这是第二次比第一次多的那（9-6）＝3天生长出来的，所以每天生长的青草为45÷3=15

现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛吃。由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？ （27-15）×6=72

那么：第一次吃草量27×6=162第二次吃草量23×9=207 每天生长草量45÷3=15

原有草量（27-15）×6=72或162-15×6=72 21头牛分两组，15头去吃生长的草，其余6头去吃原有的草那么72÷6=12（天）

例3. 一水库原有存水量一定，河水每天入库。5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？ 摘录条件：

5台 20天 原有水+20天入库量 6台 15天 原有水+15天入库量

？台 6天 原有水+6天入库量 设1台1天抽水量为\，第一次总量为5×20=100，第二次总量为6×15=90 每天入库量(100-90)÷(20-15)=2

20天入库2×20=40，原有水100-40=60 60+2×6=7272÷6=12（台）

二、巩固训练

1、某车站在检票前若干分钟就开始排队了，每分钟来的旅客一样多，从开始检票到队伍消失（还有人在接受检票），若开5个检票口，要30分钟，开6个检票口，要20分钟。如果要在10分钟消失，要开多少个检票口？

解：把每个检票口一分钟检票量作为1份，则每分钟来的旅客为：

﹙5×30-6×20﹚÷﹙30-20﹚=3份 开始检票前有旅客：5×30－30×3=60份 所以要10分钟剪完票，需要看开﹙60＋3×10﹚÷10=9个

2、画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。

解：设每一个入场口每分钟通过“1份”人。 每分钟到来的人有﹙27-25﹚÷﹙9-5﹚=0.5份人 开门前已经有27-0.5×9=22.5份人

这些人来到画展，用时间22.5÷0.5=45（分） 第一个观众到达的时间为9点-45分=8点15分

3、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天匀速减少。经过计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或者供16头牛吃6天，那么这片牧场上的草可供11头牛吃几天？ 解：20头牛5天吃草20×5=100（份），16头牛6天吃草16×6=96（份）

青草每天减少（100-96）÷﹙6-5﹚=4（份） 牧场原有草：100+4×5=120（份）

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每天减少4份草，相当于4头牛吃掉，所以120份草可供11＋4=15头牛吃8天。

4、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。如果牧场上的草可供20头牛吃5天，或者供15头牛吃6天，那么可供多少头牛吃10天？ 解：青草每天减少（20×5-15×6）÷﹙6-5﹚＝10（份）

牧场原有草：100+10×5=150（份） 150份草10天可供150÷10=15（头）

但每天减少10份，相当于10头牛吃掉，所以只能供牛：15-15（头）

三、拓展提升

1. 自动扶梯以均匀的速度由上往下行驶，小明和小红要从扶梯上楼，小明每分钟走20梯级，小红每分钟走14梯级，结果小明4分钟到达楼上，小红用5分钟到达楼上，求扶梯共有多少级？

解：电梯每分钟走20×4-14×5=10（级）

所以扶梯共有（20＋10）×4=120（级）

2. 两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶走向井底，白天往下走，一只蜗牛一个白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑速度相同，结果一只蜗牛5昼夜到达井底，另一只却恰好用了6昼夜。问井深是多少？

解：蜗牛黑夜下滑的速度为﹙20×5-15×6﹚÷﹙6-5﹚=10（分米）。 井深：﹙20+10﹚×5=150（分米）

3. 有三块草地，面积分别是5公顷，15公顷和24公顷。草地上的草一样厚而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天；第二块草地可供28头牛吃45天。那么第三块草地可供多少头牛吃80天？

解：一头牛一天吃草量为1份

10×30=300 ??????5公顷草量+5公顷30天生长量 300÷5=60 ??????1公顷草量+1公顷30天生长量 28×45=1260 ??????15公顷草量+15公顷45天生长量 1260÷15=84 ??????1公顷草量+1公顷45天生长量

﹙84-60﹚÷﹙45-30﹚=1.6 ??????1公顷1天生长量 1公顷草地原有草：60-1.6×30=12

24公顷草地原有草够多少头牛吃80天：12×24÷80=3.6（头） 24公顷草地每天生长的草够多少头牛吃：1.6×24=38.4（头） 共3.6+38.4=42头

4. 12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草。多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？

解：一公亩一天新生长草量可供多少头牛吃一天？

﹙63×21÷30-12×28÷10﹚÷﹙63－28﹚＝0.3（头） 一公亩原有牧草可供多少头牛吃一天？ 12×28÷10-0.3×28=25.2（头）

72公亩的牧草可供多少头牛吃126天？ 72×25.2÷126+72×0.3=36（头）

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