智合教育……暑期蓝天行动
的十位,所以“欢”不能是0,只能是5。 再看十位,“欢”是5,加上个位有进位1,那么,加起来后得到的“人”就应该是偶数,因为结果的百位也是“人”,所以“人”只能是2;由此可知,“喜”等于8。 所以,“喜欢”这两个汉字所代表的两位数就是85。
例2 在图4-2所示的竖式中,相同的汉字表示相同的数字,不同的汉字表示不同的数字.如果:巧+解+数+字+谜=30,那么“数字谜”所代表的三位数是多少?
分析:还是先看个位,5个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”,“谜”必定是5(0显然可以排出); 接着看十位,四个“字”相加再加上进位2,结果尾数还是“字”,那说明“字”只能是6; 再看百位,三个“数”相加再加上进位2,结果尾数还是“数”,“数”可能是4或9; 再看千位,(1)如果“数”为4,两个“解”相加再加上进位1,结果尾数还是“解”,那说明“解”只能是9;5+6+4+9=24,30-24=6,“巧”等于6与“字”等于6重复,不能; (2)如果“数”为9,两个“解”相加再加上进位2,结果尾数还是“解”,那说明“解”只能是8;5+6+9+8=28,30-28=2,可以。 所以“数字谜”代表的三位数是965。
例3在图4-3所示的加法算式中,相同的汉字表示相同的数字,不同的汉字表示不同的数字.请把这个竖式翻译成数字算式.
分析:首先万位上“华”=1; 再看千位,“香”只能是8或9,那么“人”就相应的只能是0或1。但是“华”=1,所以,“人”就是0; 再看百位,“人”=0,那么,十位上必须有进位,否则“港”+“人”还是“港”。由此可知“回”比“港”大1,这样就说明“港”不是9,百位向千位也没有进位。于是可以确定“香”等于9的; 再看十位,“回”+“爱”=“港”要有进位的,而“回”比“港”大1,那么“爱”就等于8;同时,个位必须有进位; 再看个位,两数相
- 5 -
智合教育……暑期蓝天行动
加至少12,至多13,即只能是5+7或6+7,显然“港”=5,“回”=6,“归”=7。 这样,整个算式就是:9567+1085=10652。
例4 图4-4是一个加法竖式,其中E,F,I,N,O,R S,T,X,Y分别表示从0到9的不同数字,且F,S不等于零.那么这个算式的结果是多少?
分析:先看个位和十位,N应为0,E应为5;再看最高位上,S比F大1;千位上O最少是8;但因为N等于0,所以,I只能是1,O只能是9;由于百位向千位进位是2,且X不能是0,因此决定了T、R只能是7、8这两个;如果T=7,X=3,这是只剩下了2、4、6三个数,无法满足S、F是两个连续数的要求。所以,T=8、R=7;由此得到X=4;那么,F=2,S=3,Y=6。所以,得到的算式结果是31486。
二、训练巩固
1. 在图4-5所示的减法算式中,每一个字母代表一个数字,不同的字母代表不同的数字.那么D+G等于多少?
分析:先从最高位看,显然A=1,B=0,E=9;接着看十位,因为E等于9,说明个位有借位,所以F只能是8;由F=8可知,C=7;这样,D、G有2、4,3、5和4、6三种可能。所以,D+G就可以等于6,8或10。
2. 王老师家的电话号码是一个七位数,把它前四位组成的数与后三位组成的数相加得9063,把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529.求王老师家的电话号码.
分析:我们可以用abcdefg来表示这个七位数电话号码。由题意知,abcd+efg=9063,abc+defg=2529;
首先从第一个算式可以看出,a=8,从第二个算式可以看出,d=1;再回到第一个算式,g=2,掉到第二个算式,c=7;又回到第一个算式,f=9,掉到第二个算式,b=3;那么,e=6。所以,王老师家的电话号码是8371692。
3. 将一个四位数的各位顺序颠倒过来,得到一个新的四位数.如果新数比
- 6 -
智合教育……暑期蓝天行动
原数大7902,那么在所有符合这样条件的四位数中,原数最大是多少?
分析:用abcd来表示愿四位数,那么新四位数为dcba,dcba-abcd=7902;由最高为看起,a最大为2,则d=9;但个位上10+a-d=2,所以,a只能是1;接下来看百位,b最大是9,那么,c=8正好能满足要求。所以,原四位数最大是1989。
三、拓展提升
1.已知图4-6所示的乘法竖式成立.那么ABCDE是多少?
分析:由1/7的特点易知,ABCDE=42857。142857*3=428571。
2. 某个自然数的个位数字是4,将这个4移到左边首位数字的前面,所构成的新数恰好是原数的4倍.问原数最小是多少?
分析:由个位起逐个递推:4*4=16,原十位为6;4*6+1=25,原百位为5;4*5+2=22,原千位为2;
4*2+2=10,原万位为0; 1*4=4,正好。所以,原数最小是102564。
3. 在图4-7所示的竖式中,相同的汉字表示相同的数字,不同的汉字表示不同的数字.则符合题意的数“迎春杯竞赛赞”是多少?
分析:同第10题一样,也是利用1/7的特点。因为每个字母代表不同的数字,因此“好”只有3和6可选:
好=3,则:142857*3=428571;好=6,则:142857*6=857142;两个都能满足,所以,符合题意的数“迎春杯竞赛赞”可能是428571或857142。
(二) 定义新运算
定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。它的符号不同于课本
- 7 -
智合教育……暑期蓝天行动
上明确定义或已经约定的符号,例如“+、-、×、÷、、>、<”等。表示运算意义的表达式,通常是使用四则运算符号,例如a☆b=3a-3b,新运算使用的符号是☆,而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。
正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义,严格按照规定的法则进行运算。如果没有给出用字母表示的规则,则应通过给出的具体的数字表达式,先求出表示定义规则的一般表达式,方可进行运算。
值得注意的是:定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质,所以,不能盲目地运用定律和运算性质解题。
一、例题与方法指导
例1. 设 ab都表示数,规定a△b表示a的4倍减去b的3倍,即a△b=4×a-3×b,试计算5△6,6△5。
解5△6-5×4-6×3=20-18=2
6△5=6×4-5×3=24-15=9
说明 例1定义的△没有交换律,计算中不得将△前后的数交换。
例2. 对于两个数a、b,规定a☆b表示3×a+2×b,试计算(5☆6)☆7,5☆(6☆7)。 思路导航:
先做括号内的运算。
解 (5☆6)☆7=(5×3+6×2)☆7=27☆7=27×3+7×2=95 5☆(6☆7)=5☆(6×3+7×2)=5☆32=5×3+32×2=79
说明 本题定义的运算不满足结合律。这是与常规的运算有区别的。
例3. 已知2△3=2×3×4,4△2=4×5,一般地,对自然数a、b,a△b 表示a×(a+1)×?(a+b-1).
计算(6△3)-(5△2)。 思路导航:
原式=6×7--5×6 =336-30
规定:a△=a+(a+1)+(a+2)+?+(a+b-1),其中a,b表示自然数。
例4. 求1△100的值。已知x△10=75,求x. 思路导航:
(1)原式=1+2+3+?+100=(1+100)×100÷2=5050 (2)原式即x+(x+1)+(x+2)+?+(X+9)=75, 所以
10X+(1+2+3+?+9)=75 10x+45=75 10x=30 x=3
二、巩固训练
- 8 -