概率论与数理统计及其应用习题解答
17，将一枚硬币抛两次，以A,B,C分别记事件“第一次得H”，“第二次得H”，“两次得同一面”。试验证A和B，B和C，C和A分别相互独立（两两独立），但A,B,C不是相互独立。 解：根据题意，求出以下概率为
P(A)?P(B)?P(AB)?12?1212?，
14P(C)?12?12?12?1212??1212?；
14，
P(BC)?P(CA)?，P(ABC)?12?12?14。
所以有
P(AB)?P(A)P(B)，P(AC)?P(A)P(C)，P(BC)?P(B)P(C)。
即表明A和B，B和C，C和A两两独立。但是
P(ABC)?P(A)P(B)P(C)
所以A,B,C不是相互独立。
18，设A,B,C三个运动员自离球门25码处踢进球的概率依次为0.5, 0.7, 0.6，设A,B,C各在离球门25码处踢一球，设各人进球与否相互独立，求（1）恰有一人进球的概率；（2）恰有二人进球的概率；（3）至少有一人进球的概率。
解：设“A,B,C进球”分别记为事件Ni(i?1,2,3)。 （1）设恰有一人进球的概率为p1，则
p1?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}
?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3) （由独立性）
?0.5?0.3?0.4?0.5?0.7?0.4?0.5?0.3?0.6 ?0.29
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概率论与数理统计及其应用习题解答
（2）设恰有二人进球的概率为p2，则
p2?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}
?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3)
（由独立性）
?0.5?0.7?0.4?0.5?0.7?0.6?0.5?0.3?0.6 ?0.44
（3）设至少有一人进球的概率为p3，则
p3?1?P{N1N2N3}?1?P(N1)P(N2)P(N3)?1?0.5?0.3?0.4?0.94。
19，有一危重病人，仅当在10分钟之内能有一供血者供给足量的A-RH+血才能得救。设化验一位供血者的血型需要2分钟，将所需的血全部输入病人体内需要2分钟，医院只有一套验血型的设备，且供血者仅有40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病人能得救的概率。
解：根据题意，医院最多可以验血型4次，也就是说最迟可以第4个人才验出是A-RH+型血。问题转化为最迟第4个人才验出是A-RH+型血的概率是多少？因为
第一次就检验出该型血的概率为0.4；
第二次才检验出该型血的概率为0.6?0.4=0.24； 第三次才检验出该型血的概率为0.62?0.4=0.144； 第四次才检验出该型血的概率为0.63?0.4=0.0864； 所以病人得救的概率为0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704
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概率论与数理统计及其应用习题解答
20，一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。如图设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为p，试求系统的可靠性。 解：设“元件i能够正常工作”记为事件Ai(i?1,2,3,4,5)。 那么系统的可靠性为
P{(A1A2)?(A3)?(A4A5)}?P(A1A2)?P(A3)?P(A4A5)
1 3 4 第20题 2 5 ?P(A1A2A3)?P(A1A2A4A5)?P(A3A4A5)?P(A1A2A3A4A5)
?P(A1)P(A2)?P(A3)?P(A4)P(A5)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A4)P(A5)
?P(A3)P(A4)P(A5)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)
?p?p?p?p?p?p?p?p?2p?2p?p?p2345223435
21，用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes公式）
解：设“一产品真含有杂质”记为事件A，“对一产品进行3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事件B。则要求的概率为P(A|B)，根据Bayes公式可得
P(A|B)?P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)
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又设“产品被检出含有杂质”记为事件C，根据题意有P(A)?0.4，而且P(C|A)?0.8，P(C22|A)?0.9，所以 ；P(B|A)?C23P(B|A)?C3?0.8?(1?0.8)?0.384?(1?0.9)?0.9?0.0272
故，
P(A|B)?P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.4?0.3840.4?0.384?0.6?0.027?0.15360.1698?0.9046
（第1章习题解答完毕）
第2章
1，设在某一人群中有40%的人血型是A型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A型的人为止，以Y记进行验血的次数，求Y的分布律。
解：显然，Y是一个离散型的随机变量，Y取k表明第k个人是A型血而前k?1个人都不是A型血，因此有
随机变量及其分布
P{Y?k}?0.4?(1?0.4)k?1?0.4?0.6k?1， （k?1,2,3,?）
上式就是随机变量Y的分布律（这是一个几何分布）。
2，水自A处流至B处有3个阀门1，2，3，阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以0.8的概率打开，以X表示当信号发出时水自A流至B的通路条数，求X的分布律。设各阀门的工作相互独立。 解：X只能取值0，1，2。设以Ai(i?1,2,3)记第i个阀门没有打开这一事件。则
P{X?0}?P{A1(A2?A3)}?P{(A1A2)?(A1A3)}
?P{A1A2}?P{A1A3}?P{A1A2A3}?P(A1)P(A2)?P(A1)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)
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