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曼昆《宏观经济学》（第6、7版） 第3篇 增长理论：超长期中的经济
第7章 经济增长Ⅰ：资本积累与人口增长
课后习题详解
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一、概念题
1．索洛增长模型（Solow growth model） 答：索洛增长模型是表明储蓄、人口增长和技术进步如何影响一个经济的产出水平及其随着时间推移而实现增长的一种经济增长模型。
它的基本假定有：（1）社会储蓄函数为S?sY，式中，s是作为参数的储蓄率；（2）劳动力按照一个不变的比例增长；（3）生产的规模报酬不变。其主要思想是：人均投资用于资本扩展化和资本深化，当人均投资大于资本扩展化时，人均产出就会增长；当人均投资等于资本扩展化时，经济达到稳定状态，人均产出不再增长，但总产出会继续增长，增长率等于人口增长率。
2．稳定状态（steady state）
答：索洛模型的稳定状态是指长期中经济增长达到的一种均衡状态，在这种状态下，投资等于资本扩展化水平，人均资本存量维持不变，即?k?sf?k???k?0。这个维持不变的人均资本存量k?称之为稳定状态人均资本存量。
在稳定状态下，不论经济初始位于哪一点，随着时间的推移，经济总是会收敛于该人均资本水平k?。在稳定状态，由于人均资本存量保持不变，所以人均产出也保持不变，即人均产出增长率为零。
3．资本的黄金律水平（golden rule level of capital） 答：资本的黄金律水平是指在稳定状态人均消费最大化时所对应的人均资本水平，由经济学家费尔普斯于1961年提出。他认为如果一个经济的发展目标是使稳态人均消费最大化，稳态人均资本量的选择应使资本的边际产出等于劳动力的增长率。
黄金律具有如下的性质：（1）在稳态时如果一个经济中人均资本量高于黄金律的水平，则可以通过消费掉一部分资本使每个人的平均资本下降到黄金律的水平，就能够提高人均消费水平；（2）如果一个经济拥有的人均资本低于黄金律的数量，则该经济能够提高人均消费的途径是在目前缩减消费，增加储蓄，直到人均资本达到黄金律的水平。
二、复习题 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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1．在索洛模型中，储蓄率是如何影响稳定状态的收入水平的？它是如何影响稳定状态的增长率的？
答：在索洛模型中，如果储蓄率高，经济的资本存量就会大，相应的稳定状态的产出水平就会高；如果储蓄率低，经济的资本存量就会少，相应的稳定状态的产出水平就会低。如图7-9所示。
图7-9 储蓄率的影响
较高的储蓄导致较快的增长，但这只是暂时的。储蓄率的提高会加快经济增长，直至经济达到新的稳定状态为止。如果经济保持高储蓄率，也会保持大量的资本存量和高产出水平，但并不能永远保持较高的经济增长率，随着时间的推移，经济总是会趋向收敛于稳定状态下的均衡经济增长率。
2．为什么一个经济的决策者可能会选择黄金律资本水平？ 答：决策者会选择黄金律资本水平的原因如下： 经济决策者的目标是社会福利最大化，而社会福利水平体现为社会中个体的人均消费水平而非产出水平。所以，决策者的目标就应该是人均消费最大化。
如果决策者要使人均产出最大化，那么就应该使储蓄率为100%；但如果要使人均消费水平最大化，显然储蓄率不应该是100%，因为100%的储蓄率会使消费为零。通过索洛模型的分析，可以知道这个使人均消费最大化的资本水平就是黄金律资本水平。因此，决策者要使社会福利最大化，就一定会选择黄金律资本水平。
假定经济中不存在人口增长和技术进步。如果稳定状态下的资本存量增加一个单位，产出增加量则等于资本的边际产出MPK；但是，折旧以速度?增加，所以新增产出中可以用于消费的净增加量等于?MPK???。黄金规则的资本存量水平是在MPK??，即资本的边际产出等于折旧。
3．决策者会选择其资本高于黄金律稳定状态的稳定状态吗？会选择其资本低于黄金律稳定状态的稳定状态吗？解释你的答案。
答：决策者对这两种情况都可能选择，只是看本国情况的不同而定。
（1）在理想的状况下，决策者出于长远考虑，肯定会选择黄金律资本水平，因为在黄金律资本水平下，稳定状态的人均消费可以达到最大，即社会福利最大化。但是在实际情况中，政治等多种因素可能会影响决策者的选择。
（2）考虑初始资本水平高于黄金律水平。在这种情况下，决策者如果选择将经济的资本水平带入黄金律水平，那么在达到黄金律资本水平的过程中，所有时点的人均消费都会增大，此后逐步下降。
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（3）再考虑初始资本水平低于黄金律水平的情况。在这种情况下，如果要把经济带入黄金律资本水平，社会将要忍受短期的痛苦，在短期内人均消费会降低，因为用于储蓄（投资）的部分更大了。或者可以理解为为了使下一代人的福利水平更高，现在这代人要牺牲一部分消费，用更多的储蓄（投资）提高社会的产量。
如此看来，如果不选择黄金律资本存量，则各期的消费水平会有所不同，也就可能造成不同代际的人的福利水平不同，这种选择要视不同国家实际情况而定。
4．在索洛模型中，人口增长率是如何影响稳定状态的收入水平的？它是如何影响稳定状态的增长率的？
答：（1）在一定的储蓄率下，人口增长率越高，则稳定状态人均资本水平越低，相应的人均产出水平也越低；反之，人口增长率越低，稳定状态下的人均资本水平越高，人均产出水平也就越高。
（2）人口增长率越高，稳定状态下的经济总量增长率就越高。在稳定状态下，人均资本以及人均产出都不变，即人均产出增长率为零，所以，在没有技术进步的情况下，经济总量增长率等于人口增长率（n），那么人口增长率越高，经济总量增长率就越高。在有技术进步（g）的情况下，经济总量增长率等于人口增长率与技术进步率之和，稳态的经济总量增长率仍然与人口增长率正相关。
但人口增长率与稳态的人均产出增长率没有关系。因为在稳定状态时（假设没有技术进步），人均资本不变，人均产出增长率为零，与人口增长率无关。即使在有技术进步时，稳态的人均产出增长率与人口增长率也无关。因为在稳态时，人均资本维持不变，那么人均产量也就不变，因此人均产出增长率只与技术进步相关。
三、问题与应用
1．A国与B国的生产函数都是：
Y?F?K，L??K12L12
a．这个生产函数是规模报酬不变吗？请解释。 b．人均生产函数y?f?k?是什么？
c．假设没有一个国家经历了人口增长或技术进步，并且资本折旧为每年5%。再假设A国每年储蓄为产出的10%，而B国每年储蓄为产出的20%。用你对b的答案和投资等于折旧的稳定状态条件，找出每个国家稳定状态的人均资本水平。然后找出稳定状态的人均收入水平和人均消费水平。
d．假定两国都从人均资本存量为2开始。人均收入水平和人均消费水平是多少？记住资本存量的变动是投资减折旧，用计算器来计算这两个国家的人均资本存量随时间推移将如何变动。计算每一年的人均收入和人均消费。B国的消费会在多少年后高于A国的消费？
解：a．该生产函数是规模报酬不变的生产函数。
规模报酬不变，函数定义为F?zX??zF?X?。 ，?L?A国与B国的生产函数都是Y?F?KF?zK，zL???zK?1212K12L，对于任何正数z，都有
?zL?12?zKL?zF?K，L?。
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YK12L12b．人均生产函数是以生产函数两边同除以L得到的：?。
LL如果定义y?YL，可以得到y?K12L12，定义k?KL，整理上式得：y?k12。 c．已知：资本折旧率??0.05；A国储蓄率sa?0.1；B国储蓄率sb?0.2；人均产出函数是y?k12。
在稳定状态时，资本存量不变，即投资等于折旧：sf?k???k。 将人均生产函数代入可推出：k??s??。 因此：
?A国的稳态人均资本水平为：ka??sa????0.10.05??4；
222?B国的稳态人均资本水平为：kb??sb????0.20.05??16。
22将ka?、kb?的值代入人均生产函数，可得两国的稳态人均产出水平分别为：
?ya??4?12??2，yb??16?12?4
由于收入中用于储蓄的比例是s，那么用于消费的比例就是?1?s?，因此两国的人均消费水平分别为：
??ca??1?sa?ya??1?0.1??2?1.8
??cb??1?sb?yb??1?0.2????3.2
d．对于A国：s?0.1，??0.05，k?2，y?k12，c??1?s?y。
对于B国：s?0.2，??0.05，k?2，y?k12，c??1?s?y。
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由以上两个表可以看出：直到第五年B国的人均消费才会比A国更高。
2．有关德国和日本战后增长的讨论，正文中描述了部分资本存量在战争中被摧毁之后所出现的情况。相反，假设战争并没有直接影响资本存量，但人员死伤减少了劳动力。
a．对总产出和人均产出的即刻影响是什么？
b．假设储蓄率不变，而且战前经济处于稳定状态，那么，在战后的经济中人均产出会发生什么变动？战后人均产出增长率小于还是大于正常增长率？
答：a．索洛增长模型的总量生产函数是Y?F?K，L?，或者以人均形式来表示为y?f?k?。如果一场战争减少了劳动力，L下降，使k?KL上升了。由总量形式的生产函
数可知，劳动力减少，则总产出下降。但是，由于人均资本存量水平上升了，工人人均产出将会增加。
b．劳动力的减少意味着战后人均资本存量高于战前，而战前的经济处于稳定状态，所以战后的人均资本存量水平高于稳定状态水平。如图7-10所示，战后的人均资本存量位于k?的右边的某一个位置k1。但是k1不是稳定状态，这时人均储蓄小于资本扩展化水平，所以资本深化为负，人均资本存量会降低，经济逐渐向稳定状态过渡。最后，人均资本存量下降到k?，经济重新达到稳定状态。在这个过程中，由于人均资本存量一直在下降，所以人均产出也一直在下降。在稳定状态，技术进步决定人均产出增长率，一旦经济恢复到稳定状态，人均产量仅由技术进步决定。因此这和战前是一样的。
图7-10 资本存量恢复稳态水平
3．考虑用以下生产函数描述的一个经济：Y?F?K，L??K0.3L0.7。 a．人均生产函数是什么？
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b．假定没有人口增长或技术进步，找出稳定状态的人均资本存量、人均产出，以及作为储蓄率和折旧率函数的人均消费。
c．假定折旧率是每年10%。作一个表，表示储蓄率分别为0、10%、20%、30%等时，稳定状态的人均资本、人均产出和人均消费。 （你需要用一个有指数键的计算器来计算这个问题。）使人均产出最大化的储蓄率是多少？使人均消费最大化的储蓄率是多少？
d．（本题较难）用微积分找出资本的边际产量。在你的表上增加一项——每种储蓄率下的资本的边际产量减折旧。你的表说明了什么？
解：a．对生产函数两端同除L，得：
YK0.3L0.7 ?LL令y?YL，k?KL，所以：
f?k??y?k0.3
b．稳定状态的条件为： ?k?sf?k???k?0 或者也可以写成：
k?f?k???s?s
将人均产出函数代入得： 解得：
k??k???0.3??
?s?k??????10.7
再将它代入人均产出函数得：
?s?y???????0.30.7
人均消费等于人均产出减去人均储蓄，而人均储蓄在稳定状态下等于人均资本的折旧，所以稳定状态人均消费等于人均产出减去人均资本折旧：
?s?c?f?k???k?????????0.30.7?s???????10.7
也可以这么解：
因为人均消费等于人均产出减人均储蓄，那么人均消费就是人均产出的?1?s?倍，即：
c??1?s?f?k?????1?s??k??0.3?s???1?s??????0.30.7
通过代数变化可以发现两种结果是等价的。
c．由表7-1可以清晰地看到：当储蓄率为100%时?s?1?，人均产出可以达到最大值2.68，但是此时消费为零，所有产出都用来投资了。而最大的人均消费（1.12）位于30%的储蓄率
?s?0.3?，这就是黄金律水平，在这个水平下，资本的边际产出等于折旧率，并且储蓄率等
于资本在产出中的贡献。
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表7-1 不同储蓄率下稳定状态的人均资本、人均产出和人均消费
d．对生产函数Y?K0.3L0.7关于K求导，得：
K0.3L0.7?1?MPK?0.3?0.3??
K?k?0.7在表7-2中可得MPK??，在黄金律水平s?0.3时，MPK???0.1。即在没有人口增长
和技术进步的情况下，资本的边际产量等于折旧，此时达到黄金律稳定状态。当储蓄率小于黄金律水平时，MPK??，反之则MPK??。
表7-2 不同储蓄率下的资本的边际产量减折旧
4．“把较大比例的国民产出用于投资将有助于迅速恢复生产率增长，并提高生活水平。”你同意这种主张吗？请解释。
答：不同意。根据索洛模型可以知道，这样的结论不一定成立。 把较大比例的国民产出用于投资，会在短期内提高人均资本，从而提高人均产出增长率，即生产率的增长。但是，当经济达到稳定状态之后，人均产出的增长率只与技术进步率相关，而与投资率无关，也就是说提高投资率（储蓄率）并不能提高长期的人均产出增长率。
生活水平是指人均消费水平，投资率高并不一定意味着人均消费就高，要看人均资本处在什么样的水平。当人均资本高于黄金律水平时，提高投资率只会降低人均消费。而在人均资本低于黄金律水平时，虽然达到稳定状态后的人均消费水平会高于现在，但是在短期内人均消费水平仍然会下降。
因此，上述结论是不一定成立的。 5．关于消费函数的一种观点是，工人的边际消费倾向高，而资本家的边际消费倾向低。985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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为了说明这种观点的含义，假设一个经济，所有的工资收入都用于消费，而所有的资本收入都用于储蓄。证明：如果生产要素赚到了自己的边际产量，这个经济就达到了黄金律资本水平。（提示：从储蓄等于投资这个恒等式开始。然后利用投资正好足够维持折旧和人口增长的稳定状态条件，以及在这个经济中储蓄等于资本收入这一事实。）
证明：令k?KL表示人均资本。因此：
?k?sf?k?????n?k
如果生产要素都获得它们的边际产量并且所有的资本收入都被储蓄起来，则人均储蓄等于MPK?k。将它代入上式，得：
?k?MPK?k????n?k
在稳定状态下，?k?0。所以有：
MPK?k????n?k或MPK????n?
即：MPK???n。
也就是说，在这个经济的稳定状态中，资本的净边际产出（MPK??）等于产出的增长率n，所以，这个经济已经达到了资本积累的黄金律水平。
6．许多人口统计学家预言，在21世纪美国的人口增长将为零，与此相比，20世纪的人口增长率是每年1%左右。用索洛模型预测人口增长的这种减缓对总产出增长和人均产出增长会有什么影响。考虑在稳定状态和在各种稳定状态之间过渡时的这一影响。
答：（1）首先考虑稳定状态。如图7-11所示，人口增长率下降，资本扩展化曲线顺时针转动，可以看出，在新的稳定状态，人均资本增大到k2?，从而人均产出也增大。 稳定状态的人均产出增长率只取决于技术进步率，因而不受人口增长率的影响。而总产出增长率等于人均产出增长率加上人口增长率，所以总产出增长率随人口增长率一起下降了。
图7-11 人口增长率的影响
（2）再考虑中间的过渡状态。从图7-11上可以看出，在人均资本水平从k1?增大到k2?的过程中，人均储蓄是大于资本扩展化的，这意味着在此过程中人均资本增长率大于零，所以人均产出增长率大于稳态时的情形。但是由于人均储蓄和资本扩展化之间的缺口越来越小，即资本深化越来越小，所以在此过程中人均资本的增长率是逐渐降低的，从而人均产出的增985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
长率也是逐渐降低的。
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总产出的增长情况不太容易从图7-11上看出来。先从稳态入手，前面已经说明，在k2?的资本水平下的人均产出增长率低于资本水平在k1?的稳态情况。这说明在此过程中总产出的增长率下降了。也可以由人均产出的增长来推知总产出的增长。在过渡过程中，人均产出的增长率一直在下降，而人口增长率从k1?之后就一直是n2，所以在过渡过程中，总产出增长率在逐渐下降。（但是在初始点k1?，当人口增长率突然下降为n2时，总产出增长率与k1?的稳态水平相比是增大了还是变小了这个问题比较复杂，如果忽略一些不重要因素，它们的大小是相当的，有兴趣的读者可以用代数方法研究一下。）
7．在索洛模型中，人口增长导致稳定状态的总产出增长，但人均产出并不增长。你认为，如果生产函数表现出规模收益递增或递减，这一点仍然正确吗？请解释。（关于规模收益递增和递减的定义，参看第3章“问题与应用”中的第2题。）
答：不正确。分析如下：
如果生产函数表现出规模收益递减，那么，当所有投入要素增加同一比例时，产出的增加将小于这一比例。比如，如果所有要素都增加为原来的2倍，产出的增加将小于2倍。如果生产函数中有一种固定的生产要素（如土地）随着经济增长变的更加稀缺，那么这种规模收益递减的现象就有可能发生。在这种情况下人口增长会导致总产出增加，但是人均产出会降低，因为可以与每个人匹配的固定要素减少了。
如果生产函数表现出规模收益递增，资本和劳动都增加为原来的2倍，产出的增加则大于2倍。随着人口增长和劳动的专业化分工有可能会出现这种情况。这时人口增长的结果是：总产出增加，人均产出也增加。因为经济可以更快地利用规模扩大带来的好处。
?1?u8．考虑失业会如何影响索洛增长模型。假定产出是根据生产函数Y?K????L???1??而
生产的。式中，K为资本；L为劳动力；u?为自然失业率。国民储蓄率为s，劳动力增长
率为n，资本折旧率为?。
a．把人均产出（y?YL）表示为人均资本（k?KL）和自然失业率的函数。描述该经济的稳定状态。
b．假定政府政策的某些变化降低了自然失业率。描述这一变化随时间的推进如何影响产出。对产出的稳定状态的影响大于还是小于立即的影响？请解释。
答：a．资本的人均产出为：
?K??1?u??L???y?L1??1??1???K?????1?u???k??1?u?? ?L??人均产出是人均资本和自然失业率的函数。从上式中可以看出：失业降低了任何一个人均资本水平对应的人均产出水平。这是因为失业使得参与生产的劳动力数量减少了，而人均产出是按劳动力总数除的。
稳定状态就是人均资本不再发生变化的状态，或者说是储蓄与资本扩展化相等的状态。因此稳定状态的人均资本量可由下式解出：
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sy?????n?k?s?k???1?u???1??????n?k?
11???s?k???1?u???????n?失业降低了资本的边际产量，所以，它如同一种不利的技术冲击，降低了稳定状态的资本存量。图7-12显示了失业对稳态的影响：自然失业率升高使储蓄曲线下移，从而使稳定状态的人均资本和人均产出下降。
图7-12 失业对稳态的影响
最后，把k?代入人均产出函数，就可以得到人均产出y?：
1???1??1??1??ss??????1?u????1?u??y????1?u?????? ????n?????n????所以，失业通过两种途径影响稳态的产出水平。一方面，对任一给定的k，失业降低了产出y；另一方面，失业还降低了稳态的k?，通过k?又降低了y?。
b．图7-13显示了人均产出y随时间的增长路径。初始经济处于稳定状态，产出为
?y??u1?，当失业率突然从u1?降低到u2?，由于人均储蓄的大幅上升，出现了大幅的资本深化，
人均资本量增加，人均产出上升。开始的时候上升速度很快，随着时间的推移，资本深化的幅度下降，但仍然大于零，因此人均资本以及人均产出仍然在增长，只是增长率在逐渐降低。
?直到人均储蓄曲线与资本扩展化曲线重新相交，经济在u2的自然失业率下重新达到均衡，
?人均产出达到y??u2?（没有考虑技术进步，如果有技术进步，只需把人均产出理解为产出与
效率劳动的比，分析是类似的）。
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图7-13 人均产出的时间路径
9．选择你感兴趣的两个国家——一个富国一个穷国。每一个国家的人均收入是多少？找一些可能有助于解释收入差别的国家特征的数据：投资率、人口增长率、受教育程度等等。（提示：世界银行的网站www.wordbank.org是找到这类数据的一个地点。）你将如何推断这些因素中哪些是造成观察到的收入差距的最重要的因素？
答：本题没有惟一的答案。读者可以根据实际情况灵活回答，下面的答案仅供参考。 在世界银行网站，先点击“统计数据”然后是“快速相关的表格”链接：http：//www.worldbank.org/data/databytopic/GNPPC.pdf，可以找到关于各国单位资本收入的简明表格。（注意，在各国货币价值的转换中存在一些微妙的问题，所以这些表格使用了“购买力平价”方法。）
下面选择比较美国（1999年人均收入31，900美元）和巴基斯坦（1999年人均收入1，860美元）两个国家，它们的人均收入水平相差17倍。先看下面这个表：
决定它们收入差别的因素可能有资本存量、劳动力和生产技术等诸多方面。但两国投资占GDP比重的微小差别不太可能解释人均收入的巨大差距，劳动力增长和教育程度的差别相对来讲可能更加重要。下面用索洛模型进行比较规范的分析。
先假设两国有同样的生产技术：Y?K0.5L0.5。 （这样的假设不一定是合理的，但是可以通过这样的假设考察储蓄和人口增长的差异是否是两国人均收入差别的主要因素。）
为了便于运用索洛模型，把生产函数写成人均形式：y?k0.5。 稳定状态的条件是： ?k?sf?k???n???k?0 也即：
k?f?k???s ??n将人均产出函数y?k0.5代入上式，整理得：
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?s?k???
???n??2再把k?代回到产出函数得：
y??s ??n假设美国和巴基斯坦都处于稳定状态，并且两国的折旧率相等，都是5%，那么两国的人均收入之比应为：
y美?s??n?0.05? ??美??巴??y巴?s巴??n?0.05?美?按照上面这个式子，可以得出如下结论：
（1）在其他参数都相等的条件下，如果美国的储蓄率是巴基斯坦的两倍，那么它的人均收入就是巴基斯坦的两倍。而现在美国和巴基斯坦的储蓄率相当，所以储蓄率对两国的收入水平的差异没有解释力。
（2）在其他参数都相等的条件下，如果美国的劳动力增长率为1.5%，巴基斯坦的劳动力增长率为3.0%，那么美国的人均收入水平应该是巴基斯坦的1.2倍，而实际两国的收入差别为17倍，所以劳动力增长率的差别只能解释两国收入差别的很小一部分，它也不是主要的因素。
因此，根据索洛模型分析，剩下的因素就只有技术水平的差别，而技术水平的差别在这里通过受教育程度的差别反映出来。在美国，文盲占总人口的比重为0，而在巴基斯坦，这个比重为54%。工人受教育程度高，企业就可以引进更先进的技术，更先进的技术使美国的收入水平远远高于巴基斯坦。
此外，本题一直没有考虑人力资本存量，它和物质资本的类型相似，对经济增长的作用也相当重要。而人力资本存量主要和劳动力受教育程度相关。因此，造成两国人均收入巨大差距的主要因素是技术水平和人力资本存量，也就是劳动力受教育程度。
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