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关于AB的对称点在直线CF上

123.设圆?是△ABC的外接圆,点P是△ABC的一个内点,射线AP,BP,CP分别交圆?于点A1,B1,C1,设A1,B1,C1关于三边BC,CA,AB的中点的对称点A2,B2,C2,求证:△A2B2C2的外接圆通过△ABC的垂心

124.已知圆心分别为A,B的两个圆交于点C,D,过点A,B,C的圆与圆A,圆B分别交于点E,F,且不包含点C的EF在圆A和圆B的外部,证明:CD平分这段弧EF 125.如图,设ABCD是一个梯形并且AB∥CD,ABCD内部有两个圆?1和?2满足:圆?1与三边DA,AB,BC相切,圆?2与三边BC,CD,DA相切,令l1是过点A的异于直线AD的圆?2的另一条切线,l2是过点C的异于直线CB的圆?1的另一条切线,证明:l1∥l2 126.已知梯形ABCD,且AD∥BC,设圆O1,圆O2,圆O3,圆O4分别是以AB,BC,CD,DA为直径的圆,证明:当且仅当梯形ABCE为平行四边形时,存在一个圆心O在梯形ABCD内的大圆与所有4个圆圆O1,圆O2,圆O3,圆O4都内切

127.如图,在△ABC中,∠A=60°,△ABC的内切圆I分别切边AB,AC于点D,E,直线DE分别与直线BI,CI相交于点F,G,证明:FG=BC

128.在Rt?ABC中,?A?90?,?B??C,O是△ABC的外接圆的圆心,lA,lB是圆O的两条切线,切点分别为A,B,设{s}?BClA,{D}?AClB,{E}?ABDS,{T}?CElA,又设P是lA上的点,且使得EP⊥lA,Q(Q?C)是CP与圆O的交点,R是QT与圆O的交点,令SU?SPSA2 {U}?BRlA,证明:?TU?TPTA2129.如图,圆O1与圆O2交于A,B两点,过点O1的直线DC交圆O1于D且切圆O2于C,CA切圆O1于A,圆O1的弦AE与直线DC垂直,过A作AF垂直于DE,F为垂直,求证:BD平分线段AF

130.设△ABC中∠A内的旁切圆与BC,CA,AB分别切于点A1,B1,C1,∠B内的旁切圆与BC,CA,AB分别切于点A2,B2,C2,∠C内的旁切圆与BC,CA,AB分别切于点A3,B3,C3,求△A1B1C1,△A2B2C2,△A3B3C3的周长之和与△ABC的外接圆半径之比的最大值

131.如图,过圆外一点P作圆的两条切线PA,PB,A,B为切点,再过点P作圆的一条割线分别交圆于C,D两点,过切点B作PA的平行线分别交直线AC,AD于E,F,求证:BE=BF

132.已知?是等边△ABC的外接圆,设圆?与圆?1外切且切点异于点A,B,C,点A1,B1,C1在圆?1上,且使得AA1,BB1,CC1

与圆?1相切,证明:线段AA1,BB1,CC1中的一线段的长度等于另两线段长度之和

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12133.如图,设点P在△ABC的外接圆上,直线CP和AB相交于点E,直线BP和AC相交于点F,边AC的垂直平分线交边AB于点J,边

CE2AJ?JEAB的垂直平分线交边AC于点K,求证: ?BF2AK?KF134.已知圆O1在圆O2的内部,且圆O1与圆O2相切于点A,过A作直线交圆O1于B,交圆O2于C,过B作圆O1的切线,与圆O2交于点D和E,过点C作圆O1的两条切线,切点分别为F,G,证明:D,E,F,G四点共圆

135.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,△ACB的内切圆O分别与边BC,CA,AB相切于点D,E,F,联结AD,与内切圆O相交于点P,联结BP,CP,若∠BPC=90°,求证:AE+AP=PD 136.在△ABC中,AB<BC点,点I为其内心,M是边AC的中点,N是外接圆上的ABC的中点,证明:∠IMA=∠INB 137.如图,△ABC中,设AB>AC,过A作△ABC的外接圆的切线l,又以A为圆心,AC为半径作圆分别交线段AB于D,交直线l于E,F,证明:直线DE,DF分别通过△ABC的内心与一个旁心(注:与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆,旁切圆的圆心称为旁心)

138.等腰△ABC,AB=AC,P在边BC的延长线上,X和Y分别是直线AB和AC上的点,PX∥AC,PY∥AB,T是△ABC外接圆上弧BC的中点,证明:PT⊥XY

139.△ABC的外接圆的圆心为O,A'是边BC的中点,AA'与外接圆交于点AA'',A'Qa?AO,点Qa在AO上,过点A''的外接圆的切线与A'Qa相交于点Pa,用同样的方式,可以构造点Pb和Pc,证明:Pa,Pb,Pc三点共线

140.如图,在锐角△ABC中,AD,BE,CF为高线,H为垂心,过A,H的圆O与AB,AC分别交于Q,P(均不同于A),若

CRED ?BRFD141.已知非等腰锐角△ABC,AA1,BB1是它的两条高,又线段A1B1与平行于AB的中位线相交于点C',证明:经过△ABC的外心和垂心的直线与直线CC'垂直

142.如图,I是△ABC的内心,M是BI的中点,E是BC的中点,F是△ABC外接圆BC弧的中点,N是EF的中点,MN交BC于D,求证:∠ADM=∠BDM

143.已知锐角△ABC,∠BAC=60°,AB=c,AC=b,b>c,△ABC的垂心和外心分别为M和O,OM与AB,AC分别交于点X,Y,证明:⑴△AXY的周长为b+c;⑵OM=b-c.

△OPQ的外接圆与BC切于R,求证:

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144.如图,△ABC中,AH是BC边上的高,D是直线BC上任一点,O,O1,O2分别是△ABC,△ABD,△ACD的外心,N,N1,N2分别是△ABC,△ABD,△ACD的九点圆心,设O'是A,O,O1,O2所共圆(萨蒙(Salmon)圆)的圆心,作O'E?BC,垂足为E,求证:H,E,N,N1,N2五点共圆

145.已知锐角△ABC的垂心为H,内心为I,且满足AC≠BC,CH,CI分别与△ABC的外接圆交于点D,L,证明:∠CIH=90°的充分必要条件是∠IDL=90°

146.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,设O1,O2分别是△ABD,△ACD的外心,O'是经过A,O1,O2三点的圆之圆心,记△ABC的九点圆心为Ni,作O'E?BC,垂足为E,求证:NiE∥AD

147.已知圆O1与圆O2外切于点T,一直线与圆O2相切于点X,与圆O1

交于点A,B,且点B在线段AX的内部,直线XT与圆O1交于另一点S,C是不包含点A,B的TS上的一点,过点C作圆O2的切线,切点为Y且线段CY与线段

ST不相交,直线SC与X交于点I,证明:⑴C,T,I,Y四点共圆;⑵I是△ABC的∠A内的旁切圆的圆心

148.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,设O1,O2分别是△ABD,△ACD的外心,O'是经过A,O1,O2三点的圆之圆心,求证:O'D?BC的充要条件是:AD恰好经过△ABC的九点圆心

149.设A,B,C是圆O上三个不同的点,过点B,C分别作与BC垂直

的直线h和g,AB的中垂线与h交于点F,AC的中垂线与g交于点G,证明:当B,C固定时,BF·CG不依赖于点A的选取

150.△ABC的角平分线BB1和CC1交于点I,直线B1C1交△ABC外接圆于点M和N,证明:△AMIN的外接圆的半径是△ABC外接圆的半径的2倍 151.已知△ABC的外接圆半径为R,圆心为O,内接圆的半径为r,圆心为I,且I?0,?ABC的重心为G,求证:当且仅当b?c或b?c?3a时,IG?BC

152.在△ABC的外接圆的圆弧AB(不含点C)和圆弧BC(不含点A)上分别取点K和L,使得直线KL与直线AC平行,证明:△ABK和△CBL的内心到圆弧AC(包含点B)中点的距离相等

153.已知平面上一个半径为R的定圆圆O,A,B是圆O上的两个定点,且A,B,O不共线,C为异于A,B的点,过点A作圆O1与直线BC切于点C,过点B作圆O2与直线AC切于点C,圆O1与圆O2相交于点D(异于点C),证明:

⑴CD≤R;⑵当点C在圆O上移动,且与A,B不重合时,直线CD过一定点

154.与等腰△ABC两腰AB和AC都相切的圆?交边BC于点K和L,联结AK,交圆?于另一点M,点P和Q分别是点K关于点B和C的对称点,证明:△PMQ的外接圆与圆?相切

155.设△ABC的外接圆为?,?A?90?,?AB??C,过点A作圆?的切线与BC交于点D,点E是点A关于BC的对称点,点A在BE上的投影为X,Y是AX的中点,BY与圆?的

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第二个交点为Z,证明:BD与△ADZ的外接圆相切

156.在△ABC的边AB,BC,CA上分别取点P,Q,R,使得AP=CQ,且四边形RPBQ是圆内接四边形,过点A和C分别作△ABC的外接圆的切线,交直线RP和RQ于点X和Y,证明:RX=RY

157.已知△ABC的内切圆与其边AC,BC,AB分别切于点M,N,R,设S为劣弧MN上的一点,l为过点S的切线,且与NC,MC分别交于点P,Q,求证:线段AP,BQ,SR与MN交于一点

158.如图,圆?与△ABC的外接圆相切于点A,与边AB交于点K,且和边BC相交,过点C作圆?的切线,切点为L,联结KL,交边BC于点T,证明:线段BT的长等于点B到圆?的切线长

159.△ABC为锐角三角形,D,E分别为点A,B到边BC,CA的垂足,以BC为直径向外作半圆与直线AD相交于点P,以AC为直径向外作半圆与直线BE相交于点Q,证明:CP=CQ

AEBF,射线FE?EDFC分别与射线BA和CD交于点S和T,证明:△SAE,△SBF,△TCF和△TDE的外接圆有一个公共点

161.设凸四边形的外接圆和内切圆的圆心分别为O,I对角线AC,BD相交于点P,证明:O,I,P三点共线

162.在△ABC中,∠BAC=120°,设∠A,∠B,∠C的平分线分别交其对边于点D,E,F,证明:以EF为直径的圆过点D

160.设E,F分别是凸四边形ABCD的边AD和BC上的点,满足:163.设A0,A1,,A5是圆周?上顺序排列的六个点,对于k?0,1,2,过点A2k作平行于直线

A2k?2A2k?4的直线,交圆?于A'2k,直线A'2kA2k?3与A2k?2A2k?4交于点A'2k?3,如果直线 A2kA2k?3(k?0,1,2)三线共点,证明:直线A2kA'2k?3(k?0,1,2)也三线共点,注:对n≥6,An?Ai,其中i?n(mod 6), 0≤i≤5.

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