关于AB的对称点在直线CF上
123．设圆?是△ABC的外接圆，点P是△ABC的一个内点，射线AP，BP，CP分别交圆?于点A1，B1，C1，设A1，B1，C1关于三边BC，CA，AB的中点的对称点A2，B2，C2，求证：△A2B2C2的外接圆通过△ABC的垂心
124．已知圆心分别为A，B的两个圆交于点C，D，过点A，B，C的圆与圆A，圆B分别交于点E，F，且不包含点C的EF在圆A和圆B的外部，证明：CD平分这段弧EF 125．如图，设ABCD是一个梯形并且AB∥CD，ABCD内部有两个圆?1和?2满足：圆?1与三边DA，AB，BC相切，圆?2与三边BC，CD，DA相切，令l1是过点A的异于直线AD的圆?2的另一条切线，l2是过点C的异于直线CB的圆?1的另一条切线，证明：l1∥l2 126．已知梯形ABCD，且AD∥BC，设圆O1，圆O2，圆O3，圆O4分别是以AB，BC，CD，DA为直径的圆，证明：当且仅当梯形ABCE为平行四边形时，存在一个圆心O在梯形ABCD内的大圆与所有4个圆圆O1，圆O2，圆O3，圆O4都内切
127．如图，在△ABC中，∠A=60°，△ABC的内切圆I分别切边AB，AC于点D，E，直线DE分别与直线BI，CI相交于点F，G，证明：FG=BC
128．在Rt?ABC中，?A?90?,?B??C，O是△ABC的外接圆的圆心，lA,lB是圆O的两条切线，切点分别为A，B，设{s}?BClA,{D}?AClB,{E}?ABDS,{T}?CElA，又设P是lA上的点，且使得EP⊥lA，Q(Q?C)是CP与圆O的交点，R是QT与圆O的交点，令SU?SPSA2 {U}?BRlA，证明：?TU?TPTA2129．如图，圆O1与圆O2交于A，B两点，过点O1的直线DC交圆O1于D且切圆O2于C，CA切圆O1于A，圆O1的弦AE与直线DC垂直，过A作AF垂直于DE，F为垂直，求证：BD平分线段AF
130．设△ABC中∠A内的旁切圆与BC，CA，AB分别切于点A1，B1，C1，∠B内的旁切圆与BC，CA，AB分别切于点A2，B2，C2，∠C内的旁切圆与BC，CA，AB分别切于点A3，B3，C3，求△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3的周长之和与△ABC的外接圆半径之比的最大值
131．如图，过圆外一点P作圆的两条切线PA，PB，A，B为切点，再过点P作圆的一条割线分别交圆于C，D两点，过切点B作PA的平行线分别交直线AC，AD于E，F，求证：BE=BF
132．已知?是等边△ABC的外接圆，设圆?与圆?1外切且切点异于点A，B，C，点A1，B1，C1在圆?1上，且使得AA1，BB1，CC1
与圆?1相切，证明：线段AA1，BB1，CC1中的一线段的长度等于另两线段长度之和
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12133．如图，设点P在△ABC的外接圆上，直线CP和AB相交于点E，直线BP和AC相交于点F，边AC的垂直平分线交边AB于点J，边
CE2AJ?JEAB的垂直平分线交边AC于点K，求证： ?BF2AK?KF134．已知圆O1在圆O2的内部，且圆O1与圆O2相切于点A，过A作直线交圆O1于B，交圆O2于C，过B作圆O1的切线，与圆O2交于点D和E，过点C作圆O1的两条切线，切点分别为F，G，证明：D，E，F，G四点共圆
135．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ACB的内切圆O分别与边BC，CA，AB相切于点D，E，F，联结AD，与内切圆O相交于点P，联结BP，CP，若∠BPC=90°，求证：AE+AP=PD 136．在△ABC中，AB＜BC点，点I为其内心，M是边AC的中点，N是外接圆上的ABC的中点，证明：∠IMA=∠INB 137．如图，△ABC中，设AB＞AC，过A作△ABC的外接圆的切线l，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D，交直线l于E，F，证明：直线DE，DF分别通过△ABC的内心与一个旁心（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心）
138．等腰△ABC，AB=AC，P在边BC的延长线上，X和Y分别是直线AB和AC上的点，PX∥AC，PY∥AB，T是△ABC外接圆上弧BC的中点，证明：PT⊥XY
139．△ABC的外接圆的圆心为O，A'是边BC的中点，AA'与外接圆交于点AA'',A'Qa?AO,点Qa在AO上，过点A''的外接圆的切线与A'Qa相交于点Pa，用同样的方式，可以构造点Pb和Pc，证明：Pa,Pb,Pc三点共线
140．如图，在锐角△ABC中，AD，BE，CF为高线，H为垂心，过A，H的圆O与AB，AC分别交于Q，P（均不同于A），若
CRED ?BRFD141．已知非等腰锐角△ABC，AA1，BB1是它的两条高，又线段A1B1与平行于AB的中位线相交于点C'，证明：经过△ABC的外心和垂心的直线与直线CC'垂直
142．如图，I是△ABC的内心，M是BI的中点，E是BC的中点，F是△ABC外接圆BC弧的中点，N是EF的中点，MN交BC于D，求证：∠ADM=∠BDM
143．已知锐角△ABC，∠BAC=60°，AB=c，AC=b，b＞c，△ABC的垂心和外心分别为M和O，OM与AB，AC分别交于点X，Y，证明：⑴△AXY的周长为b+c；⑵OM=b－c．
△OPQ的外接圆与BC切于R，求证：
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144．如图，△ABC中，AH是BC边上的高，D是直线BC上任一点，O，O1，O2分别是△ABC，△ABD，△ACD的外心，N，N1，N2分别是△ABC，△ABD，△ACD的九点圆心，设O'是A，O，O1，O2所共圆（萨蒙（Salmon）圆）的圆心，作O'E?BC，垂足为E，求证：H，E，N，N1，N2五点共圆
145．已知锐角△ABC的垂心为H，内心为I，且满足AC≠BC，CH，CI分别与△ABC的外接圆交于点D，L，证明：∠CIH=90°的充分必要条件是∠IDL=90°
146．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，设O1，O2分别是△ABD，△ACD的外心，O'是经过A，O1，O2三点的圆之圆心，记△ABC的九点圆心为Ni，作O'E?BC，垂足为E，求证：NiE∥AD
147．已知圆O1与圆O2外切于点T，一直线与圆O2相切于点X，与圆O1
交于点A，B，且点B在线段AX的内部，直线XT与圆O1交于另一点S，C是不包含点A，B的TS上的一点，过点C作圆O2的切线，切点为Y且线段CY与线段
ST不相交，直线SC与X交于点I，证明：⑴C，T，I，Y四点共圆；⑵I是△ABC的∠A内的旁切圆的圆心
148．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，设O1，O2分别是△ABD，△ACD的外心，O'是经过A，O1，O2三点的圆之圆心，求证：O'D?BC的充要条件是：AD恰好经过△ABC的九点圆心
149．设A，B，C是圆O上三个不同的点，过点B，C分别作与BC垂直
的直线h和g，AB的中垂线与h交于点F，AC的中垂线与g交于点G，证明：当B，C固定时，BF·CG不依赖于点A的选取
150．△ABC的角平分线BB1和CC1交于点I，直线B1C1交△ABC外接圆于点M和N，证明：△AMIN的外接圆的半径是△ABC外接圆的半径的2倍 151．已知△ABC的外接圆半径为R，圆心为O，内接圆的半径为r，圆心为I，且I?0,?ABC的重心为G，求证：当且仅当b?c或b?c?3a时，IG?BC
152．在△ABC的外接圆的圆弧AB（不含点C）和圆弧BC（不含点A）上分别取点K和L，使得直线KL与直线AC平行，证明：△ABK和△CBL的内心到圆弧AC（包含点B）中点的距离相等
153．已知平面上一个半径为R的定圆圆O，A，B是圆O上的两个定点，且A，B，O不共线，C为异于A，B的点，过点A作圆O1与直线BC切于点C，过点B作圆O2与直线AC切于点C，圆O1与圆O2相交于点D（异于点C），证明：
⑴CD≤R；⑵当点C在圆O上移动，且与A，B不重合时，直线CD过一定点
154．与等腰△ABC两腰AB和AC都相切的圆?交边BC于点K和L，联结AK，交圆?于另一点M，点P和Q分别是点K关于点B和C的对称点，证明：△PMQ的外接圆与圆?相切
155．设△ABC的外接圆为?，?A?90?,?AB??C，过点A作圆?的切线与BC交于点D，点E是点A关于BC的对称点，点A在BE上的投影为X，Y是AX的中点，BY与圆?的
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第二个交点为Z，证明：BD与△ADZ的外接圆相切
156．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，R，使得AP=CQ，且四边形RPBQ是圆内接四边形，过点A和C分别作△ABC的外接圆的切线，交直线RP和RQ于点X和Y，证明：RX=RY
157．已知△ABC的内切圆与其边AC，BC，AB分别切于点M，N，R，设S为劣弧MN上的一点，l为过点S的切线，且与NC，MC分别交于点P，Q，求证：线段AP，BQ，SR与MN交于一点
158．如图，圆?与△ABC的外接圆相切于点A，与边AB交于点K，且和边BC相交，过点C作圆?的切线，切点为L，联结KL，交边BC于点T，证明：线段BT的长等于点B到圆?的切线长
159．△ABC为锐角三角形，D，E分别为点A，B到边BC，CA的垂足，以BC为直径向外作半圆与直线AD相交于点P，以AC为直径向外作半圆与直线BE相交于点Q，证明：CP=CQ
AEBF，射线FE?EDFC分别与射线BA和CD交于点S和T，证明：△SAE，△SBF，△TCF和△TDE的外接圆有一个公共点
161．设凸四边形的外接圆和内切圆的圆心分别为O，I对角线AC，BD相交于点P，证明：O，I，P三点共线
162．在△ABC中，∠BAC=120°，设∠A，∠B，∠C的平分线分别交其对边于点D，E，F，证明：以EF为直径的圆过点D
160．设E，F分别是凸四边形ABCD的边AD和BC上的点，满足：163．设A0,A1,,A5是圆周?上顺序排列的六个点，对于k?0,1,2,过点A2k作平行于直线
A2k?2A2k?4的直线，交圆?于A'2k，直线A'2kA2k?3与A2k?2A2k?4交于点A'2k?3，如果直线 A2kA2k?3(k?0,1,2)三线共点，证明：直线A2kA'2k?3(k?0,1,2)也三线共点，注：对n≥6，An?Ai，其中i?n(mod 6), 0≤i≤5．
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