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线分别交射线OX,OY于点M,N,求OM+ON-MN的最大值

72.设△ABC的半周长和内切圆半径分别为s和r,以三条边长BC,CA,AB为直径向 △ABC的外部作三个半圆,记与这三个半圆都相切的圆半径为t, 证明:

3ss)r ?t??(1?22273.P是△ABC内一点,点P在三条边BC,CA,AB上的射影分别为D,E,F,且满足

AP2+PD2=BP2+PE2=CP2+PF2,记IA,IB,IC为△ABC的旁内圆圆心,证明:点P为△IAIBIC的外接圆圆心

74.证明:如果两个三角形有相同的外接圆,那么它们的内切圆不可能一个严格包含另一个 75.设与△ABC的外接圆内切并与边AB,AC相切的圆为Ca,记ra为圆Ca的半径,类似地定义rb,rc;r是△ABC的内切圆的半径,证明:ra+rb+rc≥4r

76.设ABCD是一个有内切圆的凸四边形,它的每个内角和外角都不小于60°,证明: 1|AB3?AD3|?|BC3?CD3|?3|AB3?AD3|等号何时成立? 377.凸四边形ABCD有内切圆?,设I为?的圆心,且(AI?DI)?(BI?CI)

22?(AB?CD)2,证明:ABCD是一个等腰梯形

78.四边形ABCD外切于圆,∠A和∠B的外角平分线相交于点K,∠B和∠C的外角平分线相交于点L,∠C和∠D的外角平分线相交于点M,∠D和∠A的外角平分线相交于点N,现设△ABK,△BCL,△CDM,△DAN的垂心分别是K1,L1,M1,N1,证明:四边形K1L1M1N1是平行四边形

79.四边形ABCD既可外切于圆,又可内接于圆,并且ABCD的内切圆分别与它的边AB,BC,CD,AD相交于点K,L,M,N四边形的∠A和∠B的外角的平分线相交于点K', ∠B和∠C的外角平分线相交于点L',∠C和∠D的外角平分线相交于点M',∠D和∠A的外角平分线相交于点N',证明:直线KK',LL',MM',NN'经过同一个点

80.将△ABC的外接圆记作?,点P在圆周?上,将△ABC中分别与边BC和CA相切的旁切圆的圆心记作IA和IB,证明:△IACP和△IBCP的外心连线的中点就是?的圆心 81.设与△ABC的外接圆内切并与边AB,AC相切的圆为Ca,记ra为圆Ca的半径,r是 △ABC的内切圆半径,类似地定义rb,rc,证明:ra?rb?rc≥4r

82.给定Rt△ABC,∠C是直角,点D是边AC上的任一点,两个圆与直线AB分别相切于点A,B,这两个圆相交于D,E两点,证明:∠BAC=∠DEC

83.两个圆O1,圆O2相交于P,Q两点,且这两个圆离点P较近的公切线分别与圆O1相切于点A,与圆O2相切于点B,一条与圆O1相切于点P的直线与圆O2再次相交于点C,同时,直线AP,BC相交于点R,证明:△PQR的外接圆与直线BP,BR相切

84.设A0是?ABC的边BC的中点,A'是?ABC的内切圆与边BC的切点,以A0为圆心,

A0A'为半径作圆?1,同理定义B0,B'及圆?2和C0,C'及圆?3,证明:若圆?1与?ABC的外接圆在不包含A的弧BC处相内切,则另外两个圆中的一个也与?ABC的外接圆在相应的

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弧段处相内切

85.?ABC是一个三角形,一个过A,B的圆交边AC,BC于D,E,AB,DE交于点F,BD,CF交于点M,求证:MF=MC的充要条件是MB·MD=MC2

86.两圆外切于点A,且内切于另一圆?于点B,C,令D是小圆内公切线割?的弦的中点,证明:当B,C,D不共线时,A是?BCD的内切圆圆心

87.已知△ABC为锐角三角形,以AB为直径的圆K分别交AC,BC于点P,Q,分别过A和Q作圆K的两条切线交于点R,分别过B和P作圆K的两条切线交于点S,证明:点C在线段RS上

88.已知圆O1与圆O2交于A,B两点,过点B作直线交圆O1于K,交圆O2于M,作平行于AM的直线,且与圆O1切于点Q,联结AQ,交圆O2于R,证明: ⑴过R且与圆O2相切的直线平行于AK;

⑵分别过Q,R的这两条切线与KM交于一点。

89.如图,设圆S1和圆S2相交于A,B两点,经过A的直线交圆S1于C,交圆S2于D,点M,N,K分别在线段CD,BC,BD上,且MN∥BD,MK∥BC,分别过N,K作BC,BD的垂线,分别交圆S1,圆S2于E,F,且E,A在直线BC的异侧,F,A在直线BD的异侧,证明:∠EMF=90°

90.已知锐角△ABC的内切圆圆I与边BC切于点K,AD是△ABC的高,M是AD的中点,如果N是圆I与KM的交点,证明:圆I与△BCN的外接圆相切于点N

91.如图,已知圆S1与圆S2交于P,Q两点,A1,B1为圆S1上不同于P,Q的两个点,直线A1P,B1P分别交圆S2于A2,B2,直线A1B1和A2B2交于点C,证明:当点A1和点B1变化时,△A1A2C的外心总在一个定圆周上

92.如图,设B是圆S1上的点,过B作圆S1的切线,A为该切线上异于B的点,又C不是圆S1上的点,且线段AC交圆S1于两个不同的点,圆S2与AC相切于点C,与圆S1相切于点D,且D与B在直线AC的两侧,证明:△BCD的外心在△ABC的外接圆上

93.如图,设△ABC内存在一点F,使得∠AFB=∠BFC=∠CFA,直线BF,CF分别交AC,AB于D,E,证明:AB+AC≥4DE

94.已知两圆相交于X,Y,证明:存在四个点满足:对于每一个与两个给定的圆分别相切于A,B的圆交直线XY于C,D,则AC,AD,BC,BD经过这四个点之一

95.设O,H分别为锐角△ABC的外心和垂心,证明:在BC,CA,AB上分别存在点D,E,F,使得OD+DH=OE+EH=OF+FH,且直线AD,BE,CF共点 96.设A1A2An是一个凸n边形,n≥4,证明:A1A2An是圆内

接n边形的充要条件是对于每个顶点Aj,我们可以构造一个实数对(bj,cj)(j?1,2,,n),对于所有i,j,1?i?j?n,有AiA?b?jjci bc97.过B,A作锐角△ABC外接圆的两条切线,且与过点C的切线分别交于T,U,AT交BC于P,Q是AP的中点,BU交AC于R,

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S是BR的中点,如图所示,证明:∠ABQ=

∠BAS,并求当∠ABQ取最大值时,△ABC三边边长之比

98.设ABCD是凸四边形,且AB不平行于CD,若X是四边形ABCD内一点,并满足∠ADX=∠BCX<90°,∠DAX=∠CBX<90°,设AB,CD的中垂线的交点为Y,证明:∠AYB=2∠ADX

99.设O,H分别为锐角△ABC的外心和垂心,证明:△AOH,△BOH,△COH中有一个的面积等于另外两个面积之和

100.在凸四边形ABCD中,两对角线AC与BD互相垂直,两对边AB与DC不平行,点P为线段AB及CD的垂直平分线的交点,且P在四边形ABCD的内部,证明:ABCD为圆内接四边形的充分必要条件是△ABP与△CDP的面积相等

101.给定??1,设点P是△ABC外接圆的弧BAC上的一个动点,在射线BP和CP上分别取点U和V,使得BU=?BA,CV=?CA,在射线UV上取点Q,使得UQ=?UV,求点Q的轨迹

102.定圆上两定点A,B及动点C构成的△ABC是锐角三角形,AB的中点M在边AC,BC上的投影分别为点E,F,证明:EF的中垂线经过一定点

103.设AB是圆O的直径,过点A,B的切线分别为la,lb,C是圆周上任意一点,BC交la于K,∠CAK的平分线交CK于H,设M是弧CAB的中点,HM与圆O交于点S,过点M的切线与lb交于点T,证明:S,T,K三点共线

104.设M,N分别是△ABC的边AC,BC上的点,K是线段MN的中点,△CAN和△BCM的外接圆的第二个交点为D,证明:CD经过△ABC的外心的充要条件是AB的中垂线经过点K

105.如图,已知两个半径不等的圆相交于A,B两点,公切线ST,MN与两个圆的切点分别为S,T和M,N,证明:△AMN,△AST,△BMN,△BST的垂心是一个矩形的四个顶点

106.已知半圆圆O的直径为AB,C为OB上一点,过点C且垂直于AB的直线交半圆圆O于点D,圆P与半圆圆O内切于点F,与CD切于点E,与CB切于点G,证明:△ADG为等腰三角形

107.已知平面上三定点A,B,C,设动点D满足A,B,C,D共圆,IA,IB,IC,ID分别是点A,B,C,D关于△BCD,△ACD,△ABD,△ABC的西姆松线,当点D移动时,求直线IA,IB,IC,ID的交点轨迹 108.设点A是圆O外一点,过点A作圆O的切线,切点分别为B,C,圆O的切线l与AB,AC分别交于点P,Q,过点P且平行于AC的直线与BC交于点R,证明:无论l如何变化,QR恒过一定点

109.设I是△ABC的内心,且圆I与AB,BC分别切于点X,Y,XI与圆I交于另一点T,X'是AB,CT的交点,L在线段X'C上,且X'L?CT,证明:当且仅当A,L,Y三点共线时AB=AC

110.给定菱形ABCD,其中?A?90?,两条对角线AC,BD相交于点M,点O在线段MC上,并满足O≠M,且OB<OC,过点B,D且以O为圆心的圆交直线AB于点B和点X(当直线AB是该圆的切线时,X=B),同时交直线BC于点B和点Y,设直线DX,DY与线段

AC的交点分别为P,Q,试用t表示比值

OQMA,其中?t OPMO19

111.在△ABC的外接圆上,BC,CA,AB的中点分别为D,E,F,其中A?BC,B?CA,C?AB,DE分别交CB,CA于点G,H,DF分别交BC,BA于点I,J,GH和I J的中点分别为M,N. ⑴用△ABC的内角表示△DMN的三个内角;⑵若O为△DMN的外心,P是AD与EF的交点,证明:O,M,P,N四点共圆

112.设△ABC是锐角三角形,P,Q为边BC上的两个点,作QC1∥CA,与△ABP的外接圆交于点C1,且C1和Q在直线AB的异侧;作QB1∥BA,与△ACP的外接圆交于点B1,且B1和Q在直线AC的异侧,证明:B1,C1,Q,P四点共圆

113.半圆?的直径是AB,M是AB的中点,在半圆?的同侧,以MB为直径作半圆?1,设X,Y是半圆?1上的点,且BX?1.5BY,直线MY交BX于点D,交半圆?于点C,证明:Y是线段CD的中点

114.已知等边△ABC和等边△PQR有三组边分别平行,一个指向上方,另外一个指向下方,相交的部分是一个六边形,证明:这个六边形的相对的顶点的连线相交于一点

115.已知锐角△ABC,以AC为直径的圆为圆?1,以BC为直径的圆为圆?2,AC与圆?2相交于点E,BC与圆?1相交于点F,直线BE和圆?1相交于点L,N,其中点L在线段BE上,直线AF和圆?2相交于点K,M,其中点K在线段AF上,证明:四边形KLMN是圆内接四边形

116.已知△ABC,过点B,C的圆O与AC,AB分别交于点D,E,BD与CE交于点F,直线OF与△ABC的外接圆交于点P,证明:△PBD的内心就是△PCE的内心

117.设H为△ABC的垂心,D,E,F为△ABC的外接圆上三点使得AD∥BE∥CF,S,T,U分别为D,E,F关于边BC,CA,AB的对称点,求证:S,T,U,H四点共圆

118.已知△ABC,点X是直线BC上的动点,且点C在点B,X之间,又△ABX,△ACX的内切圆有两个不同的交点P,Q,证明:PQ经过一个不依赖于点X的定点 119.设圆O1与圆O2交于两点A,B,点R在圆O1的弧AB上,点T在圆O2的弧AB上(如图),AR,BR分别与圆O2交于C,D,AT,BT交圆O1于Q,P,若PR与TD交于E,TC与RQ交于F,求证:AE·BT·BR=BF·AT·AR

120.已知圆内接四边形ABCD,直线AD和BC交于点E,且点C在点B,E之间,对角线AC和BD交于点G,设点M是CD的中点,点N是△ABM的外接圆上的不同于M的点,

ANAM且满足,证明:点E,F,N在一条直线上 ?BNBM121.设四边形ABCD内接于圆O,且圆心O不在四边形的边上,对角线AC与BD交于点P,△OAB,△OBC,△OCD,△ODA的外心分别为O1,O2,O3,O4,求证:三条直线O1O3,O2O4与OP共点 122.设圆?和直线l不相交,AB是圆?的直径,且垂直于直线l,点B比点A更靠近直线l,在圆?上任意取一点C(C≠A,B),直线AC交直线l于点D,直线DE与圆?切于点E,且点B,E在AC的同一侧,设BE交直线l于点F,AF交圆?于点G(G≠A),证明:点G

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