线分别交射线OX，OY于点M，N，求OM+ON－MN的最大值

72．设△ABC的半周长和内切圆半径分别为s和r，以三条边长BC，CA，AB为直径向 △ABC的外部作三个半圆，记与这三个半圆都相切的圆半径为t， 证明：

3ss)r ?t??(1?22273．P是△ABC内一点，点P在三条边BC，CA，AB上的射影分别为D，E，F，且满足

AP2+PD2=BP2+PE2=CP2+PF2，记IA，IB，IC为△ABC的旁内圆圆心，证明：点P为△IAIBIC的外接圆圆心

74．证明：如果两个三角形有相同的外接圆，那么它们的内切圆不可能一个严格包含另一个 75．设与△ABC的外接圆内切并与边AB，AC相切的圆为Ca，记ra为圆Ca的半径，类似地定义rb，rc；r是△ABC的内切圆的半径，证明：ra+rb+rc≥4r

76．设ABCD是一个有内切圆的凸四边形，它的每个内角和外角都不小于60°，证明： 1|AB3?AD3|?|BC3?CD3|?3|AB3?AD3|等号何时成立？ 377．凸四边形ABCD有内切圆?，设I为?的圆心，且(AI?DI)?(BI?CI)

22?(AB?CD)2，证明：ABCD是一个等腰梯形

78．四边形ABCD外切于圆，∠A和∠B的外角平分线相交于点K，∠B和∠C的外角平分线相交于点L，∠C和∠D的外角平分线相交于点M，∠D和∠A的外角平分线相交于点N，现设△ABK，△BCL，△CDM，△DAN的垂心分别是K1，L1，M1，N1，证明：四边形K1L1M1N1是平行四边形

79．四边形ABCD既可外切于圆，又可内接于圆，并且ABCD的内切圆分别与它的边AB，BC，CD，AD相交于点K，L，M，N四边形的∠A和∠B的外角的平分线相交于点K'， ∠B和∠C的外角平分线相交于点L'，∠C和∠D的外角平分线相交于点M'，∠D和∠A的外角平分线相交于点N'，证明：直线KK',LL',MM',NN'经过同一个点

80．将△ABC的外接圆记作?，点P在圆周?上，将△ABC中分别与边BC和CA相切的旁切圆的圆心记作IA和IB，证明：△IACP和△IBCP的外心连线的中点就是?的圆心 81．设与△ABC的外接圆内切并与边AB，AC相切的圆为Ca，记ra为圆Ca的半径，r是 △ABC的内切圆半径，类似地定义rb,rc，证明：ra?rb?rc≥4r

82．给定Rt△ABC，∠C是直角，点D是边AC上的任一点，两个圆与直线AB分别相切于点A，B，这两个圆相交于D，E两点，证明：∠BAC=∠DEC

83．两个圆O1，圆O2相交于P，Q两点，且这两个圆离点P较近的公切线分别与圆O1相切于点A，与圆O2相切于点B，一条与圆O1相切于点P的直线与圆O2再次相交于点C，同时，直线AP，BC相交于点R，证明：△PQR的外接圆与直线BP，BR相切

84．设A0是?ABC的边BC的中点，A'是?ABC的内切圆与边BC的切点，以A0为圆心，

A0A'为半径作圆?1，同理定义B0,B'及圆?2和C0,C'及圆?3，证明：若圆?1与?ABC的外接圆在不包含A的弧BC处相内切，则另外两个圆中的一个也与?ABC的外接圆在相应的

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弧段处相内切

85．?ABC是一个三角形，一个过A，B的圆交边AC，BC于D，E，AB，DE交于点F，BD，CF交于点M，求证：MF=MC的充要条件是MB·MD=MC2

86．两圆外切于点A，且内切于另一圆?于点B，C，令D是小圆内公切线割?的弦的中点，证明：当B，C，D不共线时，A是?BCD的内切圆圆心

87．已知△ABC为锐角三角形，以AB为直径的圆K分别交AC，BC于点P，Q，分别过A和Q作圆K的两条切线交于点R，分别过B和P作圆K的两条切线交于点S，证明：点C在线段RS上

88．已知圆O1与圆O2交于A，B两点，过点B作直线交圆O1于K，交圆O2于M，作平行于AM的直线，且与圆O1切于点Q，联结AQ，交圆O2于R，证明： ⑴过R且与圆O2相切的直线平行于AK；

⑵分别过Q，R的这两条切线与KM交于一点。

89．如图，设圆S1和圆S2相交于A，B两点，经过A的直线交圆S1于C，交圆S2于D，点M，N，K分别在线段CD，BC，BD上，且MN∥BD，MK∥BC，分别过N，K作BC，BD的垂线，分别交圆S1，圆S2于E，F，且E，A在直线BC的异侧，F，A在直线BD的异侧，证明：∠EMF=90°

90．已知锐角△ABC的内切圆圆I与边BC切于点K，AD是△ABC的高，M是AD的中点，如果N是圆I与KM的交点，证明：圆I与△BCN的外接圆相切于点N

91．如图，已知圆S1与圆S2交于P，Q两点，A1，B1为圆S1上不同于P，Q的两个点，直线A1P，B1P分别交圆S2于A2，B2，直线A1B1和A2B2交于点C，证明：当点A1和点B1变化时，△A1A2C的外心总在一个定圆周上

92．如图，设B是圆S1上的点，过B作圆S1的切线，A为该切线上异于B的点，又C不是圆S1上的点，且线段AC交圆S1于两个不同的点，圆S2与AC相切于点C，与圆S1相切于点D，且D与B在直线AC的两侧，证明：△BCD的外心在△ABC的外接圆上

93．如图，设△ABC内存在一点F，使得∠AFB=∠BFC=∠CFA，直线BF，CF分别交AC，AB于D，E，证明：AB+AC≥4DE

94．已知两圆相交于X，Y，证明：存在四个点满足：对于每一个与两个给定的圆分别相切于A，B的圆交直线XY于C，D，则AC，AD，BC，BD经过这四个点之一

95．设O，H分别为锐角△ABC的外心和垂心，证明：在BC，CA，AB上分别存在点D，E，F，使得OD+DH=OE+EH=OF+FH，且直线AD，BE，CF共点 96．设A1A2An是一个凸n边形，n≥4，证明：A1A2An是圆内

接n边形的充要条件是对于每个顶点Aj，我们可以构造一个实数对(bj,cj)(j?1,2,,n)，对于所有i,j,1?i?j?n，有AiA?b?jjci bc97．过B，A作锐角△ABC外接圆的两条切线，且与过点C的切线分别交于T，U，AT交BC于P，Q是AP的中点，BU交AC于R，

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S是BR的中点，如图所示，证明：∠ABQ=

∠BAS，并求当∠ABQ取最大值时，△ABC三边边长之比

98．设ABCD是凸四边形，且AB不平行于CD，若X是四边形ABCD内一点，并满足∠ADX=∠BCX＜90°，∠DAX=∠CBX＜90°，设AB，CD的中垂线的交点为Y，证明：∠AYB=2∠ADX

99．设O，H分别为锐角△ABC的外心和垂心，证明：△AOH，△BOH，△COH中有一个的面积等于另外两个面积之和

100．在凸四边形ABCD中，两对角线AC与BD互相垂直，两对边AB与DC不平行，点P为线段AB及CD的垂直平分线的交点，且P在四边形ABCD的内部，证明：ABCD为圆内接四边形的充分必要条件是△ABP与△CDP的面积相等

101．给定??1，设点P是△ABC外接圆的弧BAC上的一个动点，在射线BP和CP上分别取点U和V，使得BU=?BA，CV=?CA，在射线UV上取点Q，使得UQ=?UV，求点Q的轨迹

102．定圆上两定点A，B及动点C构成的△ABC是锐角三角形，AB的中点M在边AC，BC上的投影分别为点E，F，证明：EF的中垂线经过一定点

103．设AB是圆O的直径，过点A，B的切线分别为la,lb，C是圆周上任意一点，BC交la于K，∠CAK的平分线交CK于H，设M是弧CAB的中点，HM与圆O交于点S，过点M的切线与lb交于点T，证明：S，T，K三点共线

104．设M，N分别是△ABC的边AC，BC上的点，K是线段MN的中点，△CAN和△BCM的外接圆的第二个交点为D，证明：CD经过△ABC的外心的充要条件是AB的中垂线经过点K

105．如图，已知两个半径不等的圆相交于A，B两点，公切线ST，MN与两个圆的切点分别为S，T和M，N，证明：△AMN，△AST，△BMN，△BST的垂心是一个矩形的四个顶点

106．已知半圆圆O的直径为AB，C为OB上一点，过点C且垂直于AB的直线交半圆圆O于点D，圆P与半圆圆O内切于点F，与CD切于点E，与CB切于点G，证明：△ADG为等腰三角形

107．已知平面上三定点A，B，C，设动点D满足A，B，C，D共圆，IA,IB,IC,ID分别是点A，B，C，D关于△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的西姆松线，当点D移动时，求直线IA,IB,IC,ID的交点轨迹 108．设点A是圆O外一点，过点A作圆O的切线，切点分别为B，C，圆O的切线l与AB，AC分别交于点P，Q，过点P且平行于AC的直线与BC交于点R，证明：无论l如何变化，QR恒过一定点

109．设I是△ABC的内心，且圆I与AB，BC分别切于点X，Y，XI与圆I交于另一点T，X'是AB，CT的交点，L在线段X'C上，且X'L?CT，证明：当且仅当A，L，Y三点共线时AB=AC

110．给定菱形ABCD，其中?A?90?，两条对角线AC，BD相交于点M，点O在线段MC上，并满足O≠M，且OB＜OC，过点B，D且以O为圆心的圆交直线AB于点B和点X（当直线AB是该圆的切线时，X=B），同时交直线BC于点B和点Y，设直线DX，DY与线段

AC的交点分别为P，Q，试用t表示比值

OQMA，其中?t OPMO19

111．在△ABC的外接圆上，BC,CA,AB的中点分别为D，E，F，其中A?BC,B?CA,C?AB,DE分别交CB，CA于点G，H，DF分别交BC，BA于点I，J，GH和I J的中点分别为M，N． ⑴用△ABC的内角表示△DMN的三个内角；⑵若O为△DMN的外心，P是AD与EF的交点，证明：O，M，P，N四点共圆

112．设△ABC是锐角三角形，P，Q为边BC上的两个点，作QC1∥CA，与△ABP的外接圆交于点C1，且C1和Q在直线AB的异侧；作QB1∥BA，与△ACP的外接圆交于点B1，且B1和Q在直线AC的异侧，证明：B1，C1，Q，P四点共圆

113．半圆?的直径是AB，M是AB的中点，在半圆?的同侧，以MB为直径作半圆?1，设X，Y是半圆?1上的点，且BX?1.5BY，直线MY交BX于点D，交半圆?于点C，证明：Y是线段CD的中点

114．已知等边△ABC和等边△PQR有三组边分别平行，一个指向上方，另外一个指向下方，相交的部分是一个六边形，证明：这个六边形的相对的顶点的连线相交于一点

115．已知锐角△ABC，以AC为直径的圆为圆?1，以BC为直径的圆为圆?2，AC与圆?2相交于点E，BC与圆?1相交于点F，直线BE和圆?1相交于点L，N，其中点L在线段BE上，直线AF和圆?2相交于点K，M，其中点K在线段AF上，证明：四边形KLMN是圆内接四边形

116．已知△ABC，过点B，C的圆O与AC，AB分别交于点D，E，BD与CE交于点F，直线OF与△ABC的外接圆交于点P，证明：△PBD的内心就是△PCE的内心

117．设H为△ABC的垂心，D，E，F为△ABC的外接圆上三点使得AD∥BE∥CF，S，T，U分别为D，E，F关于边BC，CA，AB的对称点，求证：S，T，U，H四点共圆

118．已知△ABC，点X是直线BC上的动点，且点C在点B，X之间，又△ABX，△ACX的内切圆有两个不同的交点P，Q，证明：PQ经过一个不依赖于点X的定点 119．设圆O1与圆O2交于两点A，B，点R在圆O1的弧AB上，点T在圆O2的弧AB上（如图），AR，BR分别与圆O2交于C，D，AT，BT交圆O1于Q，P，若PR与TD交于E，TC与RQ交于F，求证：AE·BT·BR=BF·AT·AR

120．已知圆内接四边形ABCD，直线AD和BC交于点E，且点C在点B，E之间，对角线AC和BD交于点G，设点M是CD的中点，点N是△ABM的外接圆上的不同于M的点，

ANAM且满足，证明：点E，F，N在一条直线上 ?BNBM121．设四边形ABCD内接于圆O，且圆心O不在四边形的边上，对角线AC与BD交于点P，△OAB，△OBC，△OCD，△ODA的外心分别为O1，O2，O3，O4，求证：三条直线O1O3，O2O4与OP共点 122．设圆?和直线l不相交，AB是圆?的直径，且垂直于直线l，点B比点A更靠近直线l，在圆?上任意取一点C（C≠A，B），直线AC交直线l于点D，直线DE与圆?切于点E，且点B，E在AC的同一侧，设BE交直线l于点F，AF交圆?于点G（G≠A），证明：点G

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