104．已知P是△ABC内一点，过P作BC，CA，AB的垂线，其垂足分别为D，E，F，又Q是△ABC内的一点，且使得∠ACP=∠BCQ，∠BAQ=∠CAP，证明：∠DEF=90°的充分必要条件是Q为△BDF的垂心

105．已知斜边为AC的Rt△ABC，B在AC上的投影为H，若AB，BC，BH可以构成一个直角三角形，求

AH的所有可能的值 HC106．在方格纸上画有一个矩形，它的边与方格线交成45°的角，它的顶点都不在方格线上，试问：矩形的各余边能否都刚好穿过奇数条方格线？

107．一个三角形的三个内角的余弦分别等于另一个三角形的三个内角的正弦，试求这六个内角的最大值

108．将梯形的各个顶点均作关于不包含该顶点的对角线的对称点，证明：如果所得到的四个像点也形成四边形，则必为一个梯形

109．设凸四边形的面积为S，对它的每个顶点，都作其关于不经过它的对角线的对称点，将

S'

所得到的四个像点组成的四边形的面积记作S，证明：?3

S

‘

110．已知梯形ABCD满足AB∥CD，E为边AB上一点，且满足EC∥AD，直线AC，BD，DE交出的三角形的面积记为t，梯形ABCD的面积记为T，当

ABt取最大值时，求的值

CDTMF?AG?MG?BF，

CM'111．已知锐角△ABC，求△ABC内的点M的轨迹，使得AB?FG?其中F，G分别是点M在边BC，AC上的投影

112．以点C为旋转中心，将?ABC旋转为?ABC，设线段BA,AC,BC的中点分别为M，E，F，若AC≠BC，且EM=FM，求∠EMF的度数

113．设△ABC的边AB的中点为N，?A??B，D是射线AC上一点，满足CD=BC，P是射线DN上一点，且与点A在边BC的同侧，满足?PBC??A,PC与AB交于点E，BC

''''与DP交于点T，求表达式

BCEA的值 ?TCEB114．已知凸四边形ABCD，AD∩BC={E}，AC∩BD={I}，证明：当且仅当AB∥CD，且IC2=IA·AC时，△EDC重心与△IAB的重心重合

115．设△ABC为非直角三角形，其垂心为H，M1，M2，M3分别为边BC，CA，AB的中点，令A1，B1，C1分别为H关于M1，M2，M3的对称点，A2，B2，C2分别为△BA1C，△CB1A，△AC1B的垂心，求证：⑴△ABC与△A2B2C2的重心重合；⑵由△AA1A2，△BB1B2，△CC1C2的重心所构成的三角形与△ABC相似

9

116．已知锐角△ABC，对其内部或边界的任意点T而言，Ta,Tb,Tc是由点T分到边BC，CA，AB所作垂线的垂足，若f(T)?ATc?BTa?CTb，证明：当且仅当△ABC为等边三角形时，

TTa?TTb?TTcf(T)不依赖于点T的选择

117．设S为锐角△ABC的边AB上的点，P，Q分别为△ASC和△BSC的外接圆的圆心，问：点S在边AB上的什么位置时，使得△PQS的面积最小？

118．已知△ABC的内切圆的半径为r，圆心为O，过点O的直线分别交边BC，CA于点D，E，记△CDE的面积为S，求证：S≥2r2，并指出等号成立的条件

119．已知E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，AD上的点，且满足EF∥BD，证明：△BCE和△CDF的面积相等 120．求满足下列条件的最小实数t：存在两个边长都是整数的三角形，这两个三角形不全等，而且这两个三角形的面积都是t

121．在凸四边形ABCD中，∠ADC=∠BCD＞90°，BE平行于AD交AC延长线于点E，AF平行于BC交BD延长线于点F，联结E，F，证明：EF∥CD

122．已知凸四边形ABCD，P，Q分别为边BC，CD上的点，且使得∠BAP=∠DAO，求证：当且仅当过△ABP与△ADQ垂心的直线垂直于AC时，△ABP与△ADQ的面积相等

123．已知U为△ABC的内切圆的圆心，O1，O2，O3分别为△BCU，△CAU，△ABU的外接圆的圆心，求证：△ABC的外接圆圆心与△O1O2O3的外接圆圆心重合

124．联结三角形内切圆的圆心和它的顶点的直线将原三角形分为三个三角形，若它们之中的一个三角形与原三角形相似，求三角形三个角的度数

125．给定一个凸四边形ABCD，P为其内一点，求满足条件S?PAB?S?PCD?S?PBC?S?PDA的点P的轨迹

126．已知在一条直线上依次排列着A，B，C三个点，A',B'是在直线AB同侧的两个点，且满足AA'∥BB'，点A',B',C不在一条直线上，设?AA'C和?BB'C的外心分别为O1，O2，若S?A'CB'?S?O1CO2，求?CAA'的度数

127．设D，E，F分别是△ABC边BC，CA，AB上的内点，并且△AEF，△BFD与△CDE的内切圆半径都等于△ABC内切圆半径的一半，证明：D，E，F恰好是△ABC各边的中点

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数学竞赛题（第二章 有关圆的试题）

1．设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△PAB的内切圆与边AB的切点，PA·PB的值随着长方形ABCD及点P的变化而变化，当PA·PB取最小值时，⑴证明：AB≥2BC；⑵求AQ·BQ的值

2．已知等腰△ABC（AB=BC）中，平行于BC的中位线交△ABC的内切圆于点F，其中F不在底边AC上，证明：过F的切线与∠C的平分线的交点在边AB上

3．已知△ABC为锐角三角形，AB≠AC，以BC为直径的圆分别交边AB，AC于点M，N，记BC的中点为O，∠BAC的平分线和∠MON的平分线相交于点R，求证：△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个交点在边BC上

4．在凸四边形ABCD中，对角线BD既不是∠ABC的平分线，也不是∠CDA的平分线，点P在四边形ABCD内部，满足∠PBC=∠DBA和∠PDC=∠BDA，证明：ABCD为圆内接四边形的充分必要条件是AP=CP

5．设P为△ABC内一点，A1，B1和C1分别是PA和BC，PB和CA，PC和AB的交点，A2，B2和C2分别是B1C1和BC，C1A1和CA，A1B1和AB的交点，W1，W2和W3分别是以A1A2，B1B2和C1C2为直径的圆，求证：W1，W2和W3有一个公共点的充要条件是W1和W2有公共点

6．点O为一个单位圆的圆，A1A2…A2n为该单位圆的内接凸2n边形， 求证：

?A2i?1A2i?2sini?1n?AOA12??A3OA4?2??A2n?1OA2n

7．给定a,2?a?2，内接于单位圆?的凸四边形ABCD适合以下条件： ⑴圆心在这凸四边形内部；

⑵最大边长是a，最小边长是4?a2，过点A，B，C，D依次作圆?的4条切线，∠A，∠B，∠C，∠D，已知∠A与∠B，∠B与∠C，∠C与∠D，∠D与∠A分别交于A',B',C',D'，求面积之比

S四边形A'B'C'D'的最大值与最小值

S四边形ABCD8．已知凸四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且交于点O，设△AOB，△BOC，△COD，△DOA的内切圆的圆心分别为O1，O2，O3，O4，证明： ⑴圆O1，圆O2，圆O3，圆O4的直径之和不超过(2?2)(AC?BD)； ⑵O1O2+O2O3+O3O4+O4O1＜2(2?1)(AC?BD)

9．设I是△ABC的∠BAC平分线上的一点，M，N分别是边AB，AC上的点，且使得∠ABI=∠NIC，∠ACI=∠MIB，证明：当且仅当点M，N，I共线时，I是△ABC的内切圆圆心 10．凸四边形ABCD有内切圆，该内切圆切边AB，BC，CD，DA的切点分别为A1，B1，C1，D1，联结A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，点E，F，G，H分别为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，证明：四边形EFGH为矩形的充分必要条件是A，B，C，D四点共圆

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11．已知△ABC的外接圆为圆S，且满足AB＜AC，过点A的高线交圆S于点P，X为线段AC上的点，且BX交圆S于Q，证明：BX=CX的充分必要条件是PQ为圆S的直径

12．设I为△ABC的内心，射线AI，BI，CI与△ABC的外接圆分别交于点D，E，F，证明：AD⊥EF

13．已知D为△ABC的边AB上一点，使得4AD=AB，过D的射线l满足与DA的夹角???ACB，且射线l与点C在直线AB的同侧，若l与△ABC的外接圆交于点P，证明：PB=2PD

14．锐角△ABC的外接圆的圆心为O，M，N为直线AC上的两点，且满足MN=AC，设点D是点M在直线BC上的射影，点E是点N在直线AB上的射影，证明： ⑴△ABC的垂心位于以O'为圆心的△BED的外接圆上； ⑵线段AN的中点与点B关于线段OO'的中点对称

15．两圆圆O1，圆O2相切于点M，圆O2的半径大于圆O1的半径，点A是圆O2上的一点，且满足O1和O2和A三点不共线，AB，AC是点A到圆O1的切线，切点分别为B，C，直线MB，MC与圆O2的另一个交点分别为E，F，点D是线段EF和圆O2的以A为切点的切线的交点，证明：当点A在圆O2上移动且保持O1，O2和A三点不共线时，点D沿一条固定的直线移动

16．如图，3个圆有公共弦AB，任一条过点A的直线l与3个圆的交点依次为X，Y，Z，其中X≠B，证明：

XY为定值 YZ17．已知五边形ABCDE的内切圆与边AE切于点P，且∠B=∠C=∠D=∠E，证明：AD，PC，EB三线交于一点

18．已知△ABC的∠C内的旁切圆与边AB切于点C'，设Z为由点C引出的△ABC的高的中点，证明：△ABC的内心在直线C'Z上

19．如图，在△ABC的内部有四个半径相等的圆K1，圆K2，圆K3，圆K4，其中圆K1，圆K2，圆K3均与△ABC的两条边相切，且与圆K4外切，证明：△ABC的内心，外心和K4在一条直线上 20．已知圆内接正△ABC，在劣弧BC上有一点P，若AP与BC交于点D，且PB=21，PC=28，求PD

21．已知凸六边形的对角线A1A4,A2A5和A3A6交于一点K，且A2A1?A2A3?A2K,A4A3

?A4A5?A4K,A6A5?A6A1?A6K，证明：该六边形为圆内接六边形

22．已知AB是

O的弦，M是弧AB的中点，C是O外任一点，过点C作O的切线

CS，CT，联结MS，MT分别交AB于点E，F，过点E，F作AB的垂线，分别交OS，OT于点X，Y，再过点C任作O的割线，交O于点P，Q，联结MP交AB于点R，设Z是△PQR的外心，求证：X，Y，Z三点共线 23．在锐角△ABC，?C??B，点D是边BC上一点，使得?ADB是钝角，H是△ABD的垂心，点F在△ABC内部且在△ABD的外接圆圆周上，如图所示，求证：点F是△ABC的垂心的充要条件是HD∥CF

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