数学竞赛题（第一章 有关直线的试题）
1．设?ABC的三边长分别为AB?c,BC?a,CA?b.a,b,c互不相等，AD,BE,CF分别为
?ABC的三条内角平分线，且DE?DF，证明：
⑴
abc； ⑵?BAC?90?． ??b?cc?aa?b（2003年中国女子数学奥林匹克）
2．证明：若凸四边形ABCD内任意一点P到边AB，BC，CD，DA的距离之和为定值，则ABCD是平行四边形． （2003年中国西部数学奥林匹克） 3．已知?ABC的外接圆半径为R，若
a?cos??bc?osa?nsi??bnsi???cos?c??nsi?c??a?bc??9R，其中，a,b,c为?ABC的三边长，?,?,?分别为?A,?B,?C的角度数，求?,?,?的值．
（2002—2003年匈牙利数学奥林匹克）
4．由小三角形H1,H2,明：r≤r1?r2?,Hn拼成三角形H，它们的内切圆半径分别为r1,r2,,rn和r，证
?rn. （2002—2003年匈牙利数学奥林匹克）
5．已知?ABC，由顶点A分别向?B和?C的平分线引垂线，垂足分别为A1和A2，同理，定义B1,B2和C1,C2.证明：2(A1A2?B1B2?C1C2)?AB?BC?CA.
（2002—2003年匈牙利数学奥林匹克）
6．平面上的点集H称为是好的，如果H中任意3个点都存在一条对称轴，使得这3个点关于这条对称轴对称，证明：⑴一个好的集合不一定是轴对称的；
⑵如果一个好的集合中恰有2003个点，则这2003个点在一条直线上
7．设H是锐角△ABC的高线CP上的任一点，直线AH，BH分别交BC，AC于点M，N．
⑴证明：∠NPC=∠MPC；
⑵设O是MN与CP的交点，一条通过O的任意的直线交四边形CNHM的边于D，E两点，证明：∠EPC=∠DPC 8．P是△ABC内的一点，直线AC，BP相交于Q，直线AB，CP相交于R，已知AR=RB=CP，CQ=PQ，求∠BRC
9．在锐角△ABC中，点A，B到对边垂线的垂足分别为Ha,Hb.?A,?B的平分线分别交对边点Wa,Wb，证明：?ABC的内心I在线段HaHb上当且仅当外心O在WaWb上
10．在ABCD中，M,N分别在AB，BC上，且M,N不与端点重合，AM=NC，设AN与CM交于点Q，证明：DQ平分∠ADC
11．对于任意三角形都有两条边的边长之差不超过这个三角形周长的六分之一，请判断此命题是否成立
1
12．已知△ABC，且边AC，BC中点的连线为lc,?A,?B的平分线分别交直线lc于M，N，同理，在直线lb上定义K，L；在直线la上定义P，Q，证明：
2(MN+KL+PQ)=AB+BC+CA
13．如图，已知锐角△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别为A1，B1，C1，分别由A1，B1，C1向△ABC的的另外两条边作垂线，相应的交点分别为A2，B2，C2，证明：六边形A1C2B1A2C1B2的面积等于△ABC面积的一半 14．在一条直线上按A，B，C的次序排列着三个点，且AB=8，
AC=18，D为直线外一点，且DA⊥AB，求AD等于多少时，∠BDC有最大值？
15．已知梯形ABCD，AB∥CD，若高为2，AB=2，CD=4，且AB的中点为M，当边CD上的点N移动时，求△ANB和△DMC公共部分的面积的最大值
16．已知一个角的一条边上有1001个不同的点A0，A1，…，A1000，另一条边上也有1001个不同的点B0，B1，…，B1000，且满足A0A1=A1A2=…=A999A1000，B0B1=B1B2=…=B999B1000，若四边形A0A1B1B0和四边形A1A2B2B1的面积分别为5和7，求四边形A999A1000B1000B999的面积
17．已知圆内接四边形ABCD满足AB=BC=AD+CD，∠BAD=a，AC=d，求△ABC的面积 18．若三角形和矩形有相等的周长和面积，则称它们是“孪生的”，证明：对于给定的三角形，存在“孪生的”矩形，该矩形不是正方形，且较长的边与较短的边之比至少为
??1??(??2)，其中??33 219．已知凸五边形ABCDE满足AB=BC，CD=DE，∠ABC=150°，∠CDE=30°，BD=2，求五边形ABCDE的面积
20．锐角△ABC中，H是垂心，O是外心，I是内心，已知∠C＞∠B＞∠A，求证：I在 △BOH内部
21．设D为锐角△ABC内部一点，且满足条件： DA·DB·AB+DB·DC·BC+DC·DA·CA=AB· BC·CA，试确定点D的几何位置，并证明你的结论
22．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G，求证明：∠GAC=∠EAC
23．平面上给定凸四边形ABCD及其内点E和F，适合AE=BE，CE=DE，∠AEB=∠CED，AF=DF，BF=CF，∠AFD=∠BFC，求证：∠AFD+∠AEB=π
24．给定正△ABC，D是BC边上任意一点，△ABD的外心、内心分别为O1，I1，△ADC的外心、内心分别为O2，I2，直线O1I1与O2I2相交于P，试求：当点D在BC边上运动时，点P的轨迹
25．设锐角△ABC的外心为O，从A作BC的高，垂足为P，且∠BCA≥∠ABC+30°，证明：∠CAB+∠COP＜90°
26．设点I，H分别为锐角△ABC的内心垂心，点B1，C1分别为AC，AB的中点，已知射
2
线B1I交边AB于点B2(B2≠B)，射线C1I交AC的延长线于点C2，B2C2与BC相交于K，A1为△BHC的外心，试证：A，I，A1三点共线的充分必要条件是△BKB2和△CKC2的面积相等
27．锐角△ABC有三条高分别为AD，BE，CF，求证：△DEF的周长不超过△ABC周长的一半
28．凸四边形ABCD的对角线交于点M，点P，Q分别是△AMD和△CMB的重心，R，S分别是△DMC和△MAB的垂心，求证：PQ⊥RS
29．设D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，?,?,?,?分别是△AEF，△BFD，△CDE和△DEF的面积，求证：
1???1???1??≥
3?2
30．在给定梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB边上的动点，O1，O2分别是△AED和△BEC的外心，求证：O1O2的长为一定值
31．设一个凸n边形没有两条边互相平行，求证：过其内部一点O平分该n边形的面积的直线至多n条
32．△ABC中，AC＞AB，P为BC的垂直平分线和∠A的内角平分线的交点，作PX⊥AB，交AB的延长线于点X，PY⊥AC，交AC于点Y，Z为XY和BC的交点，求
BZ的值 ZC33．设D为△ABC的边AC上一点，E和F分别为线段BD和BC上的点，满足∠BAE=∠CAF，再设P，Q为线段BC和BD上的点，使得EP∥QF∥DC，求证：∠BAP=∠QAC 34．已知△ABC的三个顶点A，B，C分别在锐角△A1B1C1的边B1C1，C1A1，A1B1上，使得∠ABC=∠A1B1C1，∠BCA=∠B1C1A1，∠CAB=∠C1A1B1，求证：△ABC和△A1B1C1的垂心到△ABC的外心距离相等
35．设△ABC的三边a,b,c上对应的中线为ma,mb,mc，内角平分线为wa,wb,wc，且
wamb?P,wbmc?Q,wcma?R，记△PQR的面积为?，△ABC的面积为F，求使
不等式
?F??成立的最小正常数?
36．⑴设D为△ABC内任一点，求证：
?2sinA,?A?90?BC ??,?A?90?min{AD,BD,CD}?2⑵设E为凸四边形ABCD内任一点，A，B，C，D，E五点中任意两点间的最大距离与
最小距离之比记为k，求证：k≥2sin70?，并说明等号能否成立 37．在锐角△ABC中，AD是∠A的内角平分线，点D在边BC上，过点D分别作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，联结BE，CF，它们相交于点H，△AFH的外接圆交BE于点G，求证：线段BG，GF和BF组成的三角形是直角三角形
38．以△ABC的三边向形外分别作正方形ABHI，BCDE和CAFG，设XYZ是线段EF，DI
3
和GH围出的三角形，求证：S?XYZ?(4?23)S?ABC
39．锐角△ABC中，AB≠AC，H，G分别为该三角形的垂心和重心，已知
1S?HAB?1S?HAC
?2S?HBC，求证：?AGH?90?
40．在△ABC中是否存在一点P，使得过点P的任意直线都将△ABC分成面积相等的两部分？为什么？
41．AD，BE，CF是△ABC的高，K，M，N分别为△AEF，△BFD，△CDE的垂心，求证：△DEF和△KMN是全等三角形
42．已知过锐角△ABC顶点A，B，C的高线分别交对边于D，E，F，AB＞AC，直线EF交BC延长线于P，过点D且平行EF的直线分别交AC延长线和AB于Q，R，N是BC上的一点，且∠NQP+∠NRP＜180°，求证：BN＞CN
43．点A在∠KMN内，点B在KM上，点C在MN上，如果∠CBM=∠ABK，∠BCM= ∠CAN，求证：△BCM的外心在AM上
44．如图，△AEF是矩形ABCD的内接直角三角形，E，F分别在边BC，CD上，且∠AEF= 90°，AE= 4，EF=3，求矩形ABCD面积的最小值
45．已知I为△ABC的内心，联结AI，BI，CI，若△BIC，△CIA，△AIB中有一个三角形与△ABC相似，求△ABC各角的大小
46．设P为锐△ABC内一点，P到三条边BC，CA，AB的垂足分别为D，E，F，求出（并加以证明）使PD2+PE2+PF2达到最小值的点P
47．已知△ABC是边长为1的正三角形，D是边BC上一点且BD= p，r1，r2分别是△ABD和△ADC的内切圆的半径，请用p表示r1r2，并求r1r2的最大值
48．已知D是△ABC的边AB上的任意一点，E是边AC上的任意一点，联结DE，F是线段DE上的任意一点，设
ADAEDF?x,?y,?z，证明： ABACDE ⑴S?BDF?(1?x)yzS?ABC,S?CEF?x(1?y)(1?z)S?ABC ⑵3S?BDF?3S?CEF?3S?ABC 49．在锐角△ABC中，点A，B，C在边BC，CA，AB上的投影分别为D，E，F，点A，B，
C在边EF，FD，DE上的投影分别为P，Q，R，记△ABC，△PQR，△DEF的周长分别为p1，p2，p3，证明：p1p2≥p3
50．P是凸四边形ABCD所在平面上一点，∠APB，∠BPC，∠CPD，∠DPA的平分线分别交AB，BC，CD，DA于点K，L，M，N ⑴寻找一点P，使KLMN是平行四边形； ⑵求所有这样点P的轨迹
4
251．设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段AB，PB交于点M，E，与线段AC，PC的延长线交于点F，N，已知DE=DF，求证：DM=DN 52．在凸四边形ABCD中，AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，AC=e，BD=f，且max{a,b,c,d,e,f}=1，求abcd的最大值
53．点D，E，F分别在锐角△ABC的边BC，CA，AB上（均不是端点），满足EF∥BC，D1是边BC上一点（不同于B，D，C），过D1作D1E1∥DE，D1F1∥DF，分别交AC，AB两边于点E1，F1，联结E1F1，再在BC上方（与A同侧）作△PBC，使得△PBC∽△DEF，联结PD1，求证：EF，E1F1，PD1三线共点
54．设a，b，c是周长不超过2π的三角形的三条边长，证明：长为sina，sinb，sinc的三条线段可构成三角形
55．已知等腰△ABC的边长BC= a，AB=AC =b，M，N分别是边AC和AB上的动点，满足a2·AM·AN= b2·BN·CM，直线BM和CN相交于点P，求动点P的轨迹
56．△ABC在平面π上，周长为3+23，在平面π上与△ABC全等的三角形内部或边界上至少有一个整点，证明：△ABC是等边三角形
57．设E为凸四边形ABCD的对角线的交点，F1，F2，F3分别为△ABE，△CDE，四边形ABCD的面积，证明：F1?F2≤F，等号何时成立？
58．已知一个凸多边形x的边长和对角线均为有理数，凸多边形x被它的所有对角线分成一些小凸多边形，证明这些小凸多边形的边长都是有理数
59．在△ABC中，∠A=90°，AC＞AB，我们在边AC上取点E，在边BC上取点D，使得AB=AE=BD，求证：∠ADE=90°的充分必要条件是AB∶AC∶BC=3∶4∶5
60．△ABC的边BC和边AC分别取定长a和b，而边AB的长度可变动，以边AB作正方形的一边向三角形外作正方形，设O是所作正方形的中心，并设BC和AC的中点分别为M和N，试求OM+ON的最大值
61．给定凸四边形ABCD，若在四边形ABCD内有点M，使得△AMB和△CMD为等腰三角形（即AM=MB，CM=MD），且∠AMB=∠CMD=120°，试证存在一点N，使得△BNC和△DNA都是正三角形
62．设CM和BN为△ABC的中线，在边AB及AC上可分别取点P及Q，使得∠ACB的角平分线也是∠MCP的角平分线，且∠ABC的角平分线也是∠NBQ的角平分线，试问AP=AQ是否蕴含△ABC为等腰三角形？
63．设△ABC为锐角三角形，它的外心为O，将△AOC的外心记为T，将边AC的中点记为M，在边AB和BC上分别取点D和E，使得∠BDM=∠BEM=∠ABC，证明BT⊥DE
64．已知正△ABC内一点D，满足∠ADC=150°，证明：由线段AD，BD，CD为边构成的三角形是直角三角形
65．△ABC的外心为O，三条高线AH，BK，CL的垂足分别为H，K，L，A0，B0，C0分别是AH，BK，CL的中点，以I为圆心的内切圆分别切△ABC的三边BC，CA，AB于点D，E，F，证明：A0D，B0E，C0F，OI四线共点（当O，I重合时，直线OI视作任一条过点O的直线）
66．M，N，P分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点，M1，N1，P1在△ABC的边上，且满足MM1，NN1，PP1分别平分△ABC的周长，证明：
5
⑴MM1，NN1，PP1交于同一点K； ⑵
1KAKBKC中至少有一个不小于 ,,BCCAAB367．证明：一个三角形可以被分割成三个多边形（包括三角形），其中之一为钝角三角形，且能重新拼为一个矩形（多边形允许被翻转） 68．已知△ABC中，∠C为直角，D为边AC上一点，K为边BD上一点，且∠ABC=∠KAD=∠AKD，证明：BK=2DC
69．将平面过点O的n（n＞2）条直线作上标记，对于任意如上过点O的两条直线，总存在一条作过标记的直线平分这两条直线所成的角，证明：这n条直线满足相邻直线的夹角相等 70．已知凸四边形ABCD的对角线AC上一点K，满足KD=DC，∠BAC=
1∠KDC，∠DAC= 21′
∠KBC，证明：∠KDA=∠BCA或∠KDA=∠KBA 271．在R△ABC，∠A=90°，∠A的平分线交边BC于点D，点D在边AB，AC上的投影分别为P，Q，若BQ交DP于点M，CP交DQ于点N，BQ交CP于点H， 证明：⑴PM=DN；⑵MN∥BC；⑶AH⊥BC
72．一个凸多边形P被它所有的对角线分成一些小凸多边形，且P满足：它的所有的边和对角线的长度都为有理数，证明：所有小凸多边形的边长都是有理数 73．在锐角△ABC中，|BC|＜|AC|＜|AB|，点D，E分别在边AB，AC上，且满足|BD|=|BC|=|CE|，证明：△ADE的外接圆半径等于△ABC的内心到外心的距离
74．设四边形ABCD是矩形，E，F分别是边BC，CD上的点，且满足△AEF是正三角形，证明：S?ECF?S?ABE?S?AFD
75．对于由平面上任意5个点构成的集合S，满足S中的任意三点不共线，设M（S）和m（S）分别为由S中的3个点构成的三角形的面积的最大值和最小值，求
M(S)的最小值 m(S)76．设ABCDEF是凸六边形，?B??D??F?360?，且
ABCDEF???1，证明：BCDEFABCAEFD???1 CAEFDB77．设M，N分别是△ABC的边AC，BC上的点，且∠ACB=90°，设AN与BM交于点L，证明：△AML，△BNL的垂心与点C三点共线
78．设E，F是ABCD的边AD，CD上的点，∠AEB=∠AFB=90°，EG∥AB，且EG与BF交于点G，若AF交BE于点H，DH交BC于点I，证明：FI⊥GH
79．如图，已知△ABC的∠ACB，∠BAC，∠ABC的外角平分线分别为A1C，B1A，C1B，
6
点A，B，C在A1C，B1A，C1B上的投影分别为A1，B1，C1，若d是△A1B1C1外接圆的直径，r和p分别为△ABC的内切圆半径和半周长，证明：r2+p2=d2 80．求最小的数k，使得
ta?tb?k，其中a,b是三角形的两条边长，ta,tb分别是与这两条a?b边相对应的角平分线长
81．已知△KLM，A在LK的延长线上，试构造矩形ABCD，使得B，C，D分别在边KM，LM，KL所在的直线上
82．已知CH是Rt△ABC的高（∠C=90°），且与角平分线AM，BN分别交于P，Q两点，证明：通过QN，PM中点的直线平行于斜边AB
83．假设ABCD是边长为a的正方形纸板，平面上有两条距离为a的平行线l1和l2，将正方形ABCD放在这个平面上，使得边AB，AD与l1的交点分别为E，F，边CB，CD与l2的交点分别为G，H，设△AEF，△CGH的周长分别为m1，m2，证明：无论怎样放置正方形纸板ABCD，m1?m2是定值
84．假设平面上的n个点中任意三点不共线，且满足下列性质：无论怎样将这n个点分别记为A1，A2，…，An，折线A1A2…An自身不相交，求n的最大值
85．△ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N，求证：⑴OB⊥DF，OC⊥DE；⑵OH⊥MN
86．已知△ABC的三边长分别为a,b,c，点P在△ABC的内部，P到三条边的距离分别为
a2?b2?c2，其中R为△ABC的外接圆半径，并确定等号成立的条件 p,q,r，证明：R≤318pqr87．已知△ABC覆盖凸多边形M，证明：存在一个与△ABC全等的三角形，能够覆盖M，
并且它的一条边所在的直线与M的一条边所在的直线平行或者重合
88．设P是一个凸多边形，证明：在P内存在一个凸六边形，其面积至少是P的面积的
3 489．设K，M是△ABC的边AB上的两点，L，N是边AC上的两点，K在M，B之间，L在N，C之间，且
BKCL?，求证：△ABC，△AKL，△AMN的垂心在一条直线上 KMLN90．设点O是锐角△ABC的外心，?B??C，直线AO交边BC于点D，△ABD，△ACD的外心分别为点E，F，延长BA和CA，在延长线上分别取点G，H，使得AG=AC，AH=AB，证明：四边形EFGH是矩形的充分必要条件是?ACB??ABC?60?
91．如图所示，在△ABC中，?ABC?90?,D,G是边CA上的两点，联结BD，BG，过点
7
A，G分别作BD的垂线，垂足分别为E，F，联结CF，已知BE=EF，求证：?ABG??DFC 92．在△ABC中，P，Q分别是边AB，AC上的点，且使得?APC??AQB?45?，过点P作边AB的垂线与BQ交于点S，过点Q作边AC的垂线与CP交于点R，设D是BC上的点，且使得AD⊥BC，证明：PS，AD，QR三线共点，且SR∥BC
93．在等腰直角△ABC中，CA=CB=1，点P是△ABC边界上任意一点，求PA·PB·PC的最大值
94．已知正n边形A1A2An，定义点B1,B2,,Bn?1如下：
⑴如果i?1或i?n?1，则Bi是边AiAi?1的中点；
⑵如果i?1,i?n?1,Si是A1Ai?1和AnAi的交点，则Bi是?AiSiAi?1的角平分线与AiAi?1的交点；证明：?A1B1An??A1B2An???A1Bn?1An?180?
95．给定实数a,b,a?b?0，将长为a宽为b的矩形放入一个正方形内（包含边界），问正方形的边至少为多长？
96．证明：三角形的三条中线的和大于其三边之和的
3倍 497．已知△ABC的三边BC，CA，AB上各有一点D，E，F，且满足AD，BE，CF交于一点G，若△AGE，△CGD，△BGF的面积相等，证明：G是△ABC的重心
98．如图，四边形ABCD中，点P满足?PAB??CAD,?PCB??ACD,O1,O2分别是 △ABC，△ADC的外心，求证：△PO1B∽△PO2D
99．已知X是△ABC的边AB上的一点，P为△ACX的内心，Q是△BCX的内心，M是线段PQ的中点，证明：MC＞MX
100．设I为△ABC的内心，P是△ABC内部的一点，满足∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB，证明：AP≥AI，并说明等号成立的充分必要条件是P=I
101．已知△ABC满足?B??C,?A的平分线和过顶点A的高线，中线与边BC分别交于点L，H，D，证明：?HAL??DAL的充分必要条件是?BAC?90?
102．已知△ABC，△PAB和△QAC为△ABC外面的两个三角形，满足AP=AB，AQ=AC以及∠BAP=∠CAQ，线段BG与CP相交于点R，设O是△BCD的外接圆圆心，证明：AO⊥PQ
103．已知非等边△ABC，?A,?B,?C的平分线分别交对边于点A,B,C,AA的中垂线与
'''''A,B,CBC交于点A,BB的中垂线与AC交于点B,CC的中垂线与AB交于点C，证明：
'''''''''''''三点共线
8
104．已知P是△ABC内一点，过P作BC，CA，AB的垂线，其垂足分别为D，E，F，又Q是△ABC内的一点，且使得∠ACP=∠BCQ，∠BAQ=∠CAP，证明：∠DEF=90°的充分必要条件是Q为△BDF的垂心
105．已知斜边为AC的Rt△ABC，B在AC上的投影为H，若AB，BC，BH可以构成一个直角三角形，求
AH的所有可能的值 HC106．在方格纸上画有一个矩形，它的边与方格线交成45°的角，它的顶点都不在方格线上，试问：矩形的各余边能否都刚好穿过奇数条方格线？
107．一个三角形的三个内角的余弦分别等于另一个三角形的三个内角的正弦，试求这六个内角的最大值
108．将梯形的各个顶点均作关于不包含该顶点的对角线的对称点，证明：如果所得到的四个像点也形成四边形，则必为一个梯形
109．设凸四边形的面积为S，对它的每个顶点，都作其关于不经过它的对角线的对称点，将
S'
所得到的四个像点组成的四边形的面积记作S，证明：?3
S
‘
110．已知梯形ABCD满足AB∥CD，E为边AB上一点，且满足EC∥AD，直线AC，BD，DE交出的三角形的面积记为t，梯形ABCD的面积记为T，当
ABt取最大值时，求的值
CDTMF?AG?MG?BF，
CM'111．已知锐角△ABC，求△ABC内的点M的轨迹，使得AB?FG?其中F，G分别是点M在边BC，AC上的投影
112．以点C为旋转中心，将?ABC旋转为?ABC，设线段BA,AC,BC的中点分别为M，E，F，若AC≠BC，且EM=FM，求∠EMF的度数
113．设△ABC的边AB的中点为N，?A??B，D是射线AC上一点，满足CD=BC，P是射线DN上一点，且与点A在边BC的同侧，满足?PBC??A,PC与AB交于点E，BC
''''与DP交于点T，求表达式
BCEA的值 ?TCEB114．已知凸四边形ABCD，AD∩BC={E}，AC∩BD={I}，证明：当且仅当AB∥CD，且IC2=IA·AC时，△EDC重心与△IAB的重心重合
115．设△ABC为非直角三角形，其垂心为H，M1，M2，M3分别为边BC，CA，AB的中点，令A1，B1，C1分别为H关于M1，M2，M3的对称点，A2，B2，C2分别为△BA1C，△CB1A，△AC1B的垂心，求证：⑴△ABC与△A2B2C2的重心重合；⑵由△AA1A2，△BB1B2，△CC1C2的重心所构成的三角形与△ABC相似
9
116．已知锐角△ABC，对其内部或边界的任意点T而言，Ta,Tb,Tc是由点T分到边BC，CA，AB所作垂线的垂足，若f(T)?ATc?BTa?CTb，证明：当且仅当△ABC为等边三角形时，
TTa?TTb?TTcf(T)不依赖于点T的选择
117．设S为锐角△ABC的边AB上的点，P，Q分别为△ASC和△BSC的外接圆的圆心，问：点S在边AB上的什么位置时，使得△PQS的面积最小？
118．已知△ABC的内切圆的半径为r，圆心为O，过点O的直线分别交边BC，CA于点D，E，记△CDE的面积为S，求证：S≥2r2，并指出等号成立的条件
119．已知E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，AD上的点，且满足EF∥BD，证明：△BCE和△CDF的面积相等 120．求满足下列条件的最小实数t：存在两个边长都是整数的三角形，这两个三角形不全等，而且这两个三角形的面积都是t
121．在凸四边形ABCD中，∠ADC=∠BCD＞90°，BE平行于AD交AC延长线于点E，AF平行于BC交BD延长线于点F，联结E，F，证明：EF∥CD
122．已知凸四边形ABCD，P，Q分别为边BC，CD上的点，且使得∠BAP=∠DAO，求证：当且仅当过△ABP与△ADQ垂心的直线垂直于AC时，△ABP与△ADQ的面积相等
123．已知U为△ABC的内切圆的圆心，O1，O2，O3分别为△BCU，△CAU，△ABU的外接圆的圆心，求证：△ABC的外接圆圆心与△O1O2O3的外接圆圆心重合
124．联结三角形内切圆的圆心和它的顶点的直线将原三角形分为三个三角形，若它们之中的一个三角形与原三角形相似，求三角形三个角的度数
125．给定一个凸四边形ABCD，P为其内一点，求满足条件S?PAB?S?PCD?S?PBC?S?PDA的点P的轨迹
126．已知在一条直线上依次排列着A，B，C三个点，A',B'是在直线AB同侧的两个点，且满足AA'∥BB'，点A',B',C不在一条直线上，设?AA'C和?BB'C的外心分别为O1，O2，若S?A'CB'?S?O1CO2，求?CAA'的度数
127．设D，E，F分别是△ABC边BC，CA，AB上的内点，并且△AEF，△BFD与△CDE的内切圆半径都等于△ABC内切圆半径的一半，证明：D，E，F恰好是△ABC各边的中点
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数学竞赛题（第二章 有关圆的试题）
1．设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△PAB的内切圆与边AB的切点，PA·PB的值随着长方形ABCD及点P的变化而变化，当PA·PB取最小值时，⑴证明：AB≥2BC；⑵求AQ·BQ的值
2．已知等腰△ABC（AB=BC）中，平行于BC的中位线交△ABC的内切圆于点F，其中F不在底边AC上，证明：过F的切线与∠C的平分线的交点在边AB上
3．已知△ABC为锐角三角形，AB≠AC，以BC为直径的圆分别交边AB，AC于点M，N，记BC的中点为O，∠BAC的平分线和∠MON的平分线相交于点R，求证：△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个交点在边BC上
4．在凸四边形ABCD中，对角线BD既不是∠ABC的平分线，也不是∠CDA的平分线，点P在四边形ABCD内部，满足∠PBC=∠DBA和∠PDC=∠BDA，证明：ABCD为圆内接四边形的充分必要条件是AP=CP
5．设P为△ABC内一点，A1，B1和C1分别是PA和BC，PB和CA，PC和AB的交点，A2，B2和C2分别是B1C1和BC，C1A1和CA，A1B1和AB的交点，W1，W2和W3分别是以A1A2，B1B2和C1C2为直径的圆，求证：W1，W2和W3有一个公共点的充要条件是W1和W2有公共点
6．点O为一个单位圆的圆，A1A2…A2n为该单位圆的内接凸2n边形， 求证：
?A2i?1A2i?2sini?1n?AOA12??A3OA4?2??A2n?1OA2n
7．给定a,2?a?2，内接于单位圆?的凸四边形ABCD适合以下条件： ⑴圆心在这凸四边形内部；
⑵最大边长是a，最小边长是4?a2，过点A，B，C，D依次作圆?的4条切线，∠A，∠B，∠C，∠D，已知∠A与∠B，∠B与∠C，∠C与∠D，∠D与∠A分别交于A',B',C',D'，求面积之比
S四边形A'B'C'D'的最大值与最小值
S四边形ABCD8．已知凸四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且交于点O，设△AOB，△BOC，△COD，△DOA的内切圆的圆心分别为O1，O2，O3，O4，证明： ⑴圆O1，圆O2，圆O3，圆O4的直径之和不超过(2?2)(AC?BD)； ⑵O1O2+O2O3+O3O4+O4O1＜2(2?1)(AC?BD)
9．设I是△ABC的∠BAC平分线上的一点，M，N分别是边AB，AC上的点，且使得∠ABI=∠NIC，∠ACI=∠MIB，证明：当且仅当点M，N，I共线时，I是△ABC的内切圆圆心 10．凸四边形ABCD有内切圆，该内切圆切边AB，BC，CD，DA的切点分别为A1，B1，C1，D1，联结A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，点E，F，G，H分别为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，证明：四边形EFGH为矩形的充分必要条件是A，B，C，D四点共圆
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11．已知△ABC的外接圆为圆S，且满足AB＜AC，过点A的高线交圆S于点P，X为线段AC上的点，且BX交圆S于Q，证明：BX=CX的充分必要条件是PQ为圆S的直径
12．设I为△ABC的内心，射线AI，BI，CI与△ABC的外接圆分别交于点D，E，F，证明：AD⊥EF
13．已知D为△ABC的边AB上一点，使得4AD=AB，过D的射线l满足与DA的夹角???ACB，且射线l与点C在直线AB的同侧，若l与△ABC的外接圆交于点P，证明：PB=2PD
14．锐角△ABC的外接圆的圆心为O，M，N为直线AC上的两点，且满足MN=AC，设点D是点M在直线BC上的射影，点E是点N在直线AB上的射影，证明： ⑴△ABC的垂心位于以O'为圆心的△BED的外接圆上； ⑵线段AN的中点与点B关于线段OO'的中点对称
15．两圆圆O1，圆O2相切于点M，圆O2的半径大于圆O1的半径，点A是圆O2上的一点，且满足O1和O2和A三点不共线，AB，AC是点A到圆O1的切线，切点分别为B，C，直线MB，MC与圆O2的另一个交点分别为E，F，点D是线段EF和圆O2的以A为切点的切线的交点，证明：当点A在圆O2上移动且保持O1，O2和A三点不共线时，点D沿一条固定的直线移动
16．如图，3个圆有公共弦AB，任一条过点A的直线l与3个圆的交点依次为X，Y，Z，其中X≠B，证明：
XY为定值 YZ17．已知五边形ABCDE的内切圆与边AE切于点P，且∠B=∠C=∠D=∠E，证明：AD，PC，EB三线交于一点
18．已知△ABC的∠C内的旁切圆与边AB切于点C'，设Z为由点C引出的△ABC的高的中点，证明：△ABC的内心在直线C'Z上
19．如图，在△ABC的内部有四个半径相等的圆K1，圆K2，圆K3，圆K4，其中圆K1，圆K2，圆K3均与△ABC的两条边相切，且与圆K4外切，证明：△ABC的内心，外心和K4在一条直线上 20．已知圆内接正△ABC，在劣弧BC上有一点P，若AP与BC交于点D，且PB=21，PC=28，求PD
21．已知凸六边形的对角线A1A4,A2A5和A3A6交于一点K，且A2A1?A2A3?A2K,A4A3
?A4A5?A4K,A6A5?A6A1?A6K，证明：该六边形为圆内接六边形
22．已知AB是
O的弦，M是弧AB的中点，C是O外任一点，过点C作O的切线
CS，CT，联结MS，MT分别交AB于点E，F，过点E，F作AB的垂线，分别交OS，OT于点X，Y，再过点C任作O的割线，交O于点P，Q，联结MP交AB于点R，设Z是△PQR的外心，求证：X，Y，Z三点共线 23．在锐角△ABC，?C??B，点D是边BC上一点，使得?ADB是钝角，H是△ABD的垂心，点F在△ABC内部且在△ABD的外接圆圆周上，如图所示，求证：点F是△ABC的垂心的充要条件是HD∥CF
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且H在△ABC的外接圆圆周上
24．某圆分别与凸四边形ABCD的AB，BC两边相切于G，H两点，与对角线AC相交于E，F两点，问ABCD应满足怎样的充要条件，使得存在另一圆过E，F两点，且分别与DA，DC的延长线相切？证明你的结论 25．如图，在锐角△ABC的BC边上有两点E，F，满足?BAE??CAF，作FM?AB,FN?AC（M，N是垂足），延长AE交△ABC的外接圆于点D，证明：四边形AMDN与△ABC的面积相等
26．设a,b,c为△ABC的三条边，a?b?c，R和r分别为△ABC的外
接圆半径和内切圆半径，令f?a?b?2R?2r，试用?C的大小来判定f的符号 27．如图，在△ABC的中，AB=AC，线段AB上有一点D，线段AC的延长线上有一点E，使得DE=AC；线段DE与△ABC外接圆交于点T，P是线段AT的延长线上的一点，证明：点P满足PD+PE=AT的充分必要条件是点P在△ADE的外接圆上
28．设A，B，C，D是圆周上依顺时针方向排布的四点，满足AB＜AD，BC＞CD，∠BAD的平分线交圆周于点X，∠BCD的平分线交圆周于点Y，考虑圆周上这六点组成的六边形，如果六边形六条边中的四条长度相等，证明BD是圆的直径
29．圆?1和圆?2相交于点M和N，设l是圆?1和圆?2的两条公切线中距离M较近的那条公切线，l与圆?1相交于点A，与圆?2相切于点B，设经过点M且与l平行的直线与圆?1还相交于点C，与圆?2还相交于点D，直线CA和DB相交于点E，直线AN和CD相交于点P，直线BN和CD相交于点Q，证明：EP=EQ
30．设AH1，BH2，CH3是锐角△ABC的三条高线，△ABC的内切圆与边BC，CA，AB分别相结切于点T1，T2，T3，设直线l1,l2,l3分别是直线H2H3，H3H1，H1H2关于直线T2T3，T3T1，T1T2的对称直线，证明：l1,l2,l3所确定的三角形，其顶点都在△ABC的内切圆上
31．设锐角△ABC的的外心为O，从A作BC的高，垂足为P，且?BCA??ABC?30?，证明：∠CAB+∠COP＜90°
32．圆O1和圆O2相交于B，C两点，且BC是圆O1的直径，过点C作圆O1的切线，交圆O2于另一点A，联结AB，交圆O1于另一点E，联结CE并延长，交圆O2于点F，设点H为线段AF上的任意一点，联结HE并延长，交圆O1于点G，联结BG并延长，与AC的延长线交于点D，求证：
AHAC ?HFCD13
33．设O为锐角△ABC的外心，P为△AOB内部一点，P为△ABC的三边BC，CA，AB
上的射影为D，E，F，求证：以FE，FD为邻边的平行四边形位于△ABC内
34．设D是△ABC的边BC上一点，但不是其中点，设O1和O2分别是△ABD和△ADC的外心，求证：△ABC的中线AK的垂直平分线过线段O1O2的中点
35．设一个既有外接圆，又有内切圆的凸n边形的面积为B，其外接圆面积为A，内切圆面积为C，求证：2B＜A+C
36．设C(I)是以△ABC的内心I为圆心的一个圆，点D，E，F分别是从I出发垂直于边BC，CA和AB的直线与C(I)的交点，求证：AD，BE和CF三线共点
37．点P为△ABC的外接圆上劣弧BC内的动点，I1，I2分别是△PAB，△PAC的内心，求证：⑴△PI1I2的外接圆过定点；⑵以I1I2为直径的圆过定点；⑶I1I2的中点在定圆上
38．△ABC的角A，B，C的内角平分线分别交该三角形外接圆于点K，L，M，R为边AB上任意一点，点P，R，Q满足RP∥AK，BP⊥BL，RQ∥BL，AQ⊥AK，求证：KP，LQ和MR三线共点
39．过锐角△ABC的顶点A，B作该三角形的外接圆的切线，他们分别与过点C的该三角形的外接圆的切线交于点D，E，直线AE交BC于点P，直线BD交AC于R，设Q为AP的中点，S为BR中点，求证：∠ABQ=∠BAS
40．平面上两个圆交于点A，B，设PQ为它们的一条公切线，P，Q为切点，S为过点P，Q所作的△APQ的外接圆的切线的交点，H是B关于PQ的对称点，求证：A，S，H三点共线 41．设ABCD是一个长方形，T是过点A，C的一个圆的一段弧，T1是边AD，DC和弧T都相切的一个圆，T2是与边AB，BC和弧T都相切的一个圆，这里T1和T2全部落在长方形ABCD内，设Tj的半径为rj，j=1，2，r是△ABC的内切圆半径，求证：⑴r1?r2?2r； ⑵T1和T2的一条公切线与AC平行，且其长度为长方形ABCD两边长的差
42．给定一个非等腰的?ABC，设该三角形的内切圆k（圆心为0）分别切三边BC，CA和AB于点A1，B1和C1，并且AA1∩k=A2，BB1∩k=B2，A1A3，B1B3分别是?A1B1C1的内角平分线(A3?B1C1,B3?A1C1)，求证：⑴A2A3为?B1A2C1的角平分线；⑵若P，Q为?A1A2A3和?B1B2B3的外接圆的交点，则O在直线PQ上
43．凸四边形ABCD有内切圆，该内切圆分别切边DA，AB，BC和CD于点K，L，M，N，设S1，S2，S3，S4分别是△AKL，△BLM，△CMN和△DNK的内切圆，圆S1，S2的另一条外公切线，圆S2，S3的另一条外公切线，圆S3，S4的另一条外公切线，圆S4，S1的另一条外公切线都不是ABCD的边，求证：由这些外公切线围成的四边形是一个菱形
44．设AEFG为一个圆内接凸四边形，延长AE，GF得交点B，延长EF，AG得交点C，D为BC的中点，联结AD交该四边形的外接圆于点H，求证：B，F，H，C四点共圆
45．设ABCD为等腰梯形，AB∥CD，△BCD的内切圆W切CD于E，F为∠DAC的内角平分线上一点，使得EF⊥CD，△ACF的外接圆与直线CD交于点C和G，求证：GF＞BF
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46．长分别为a,b,c,d的凸四边形ABCD外切于圆O，求证：OA?OC?OB?OD?abcd 47．?ABC中，AB?BC?CA,AB?6,?C??B?90?，圆O为内切圆，E是BC边上的切点，EF是圆O的直径，射线AF交BC边于点D，若DE等于?ABC外接圆的半径，求边BC，AC的长
48．在等腰Rt?ABC中，?A?90?,AB?1,D为BC的中点，E，F为
BC边上另外两点，M为△ADE的外接圆和△ABF的外接圆的另一个交点；N为直线AF与△ACE的外接圆的另一个交点；P为直线AD与△AMN的外接圆的另一个交点（如图），求AP的长度
49．设△ABC内接圆O，过A作切线PD，D在射线BC上，P在射线
DA上，过P作圆O的割线PU，U在BD上，PU交圆O于Q，T且交AB，AC于R，S，证明：若QR=ST，则PQ=UT
50．在一个非钝角△ABC中，AB＞AC，∠B=45°，O和I分别是△ABC的外心和内心，且
2OI?AB?AC，求sinA
51．设AB是一个圆W的直径，l为过点A的W的切线，C，M，D为直线l上依次排列的三个点，且CM=MD，直线BC，BD分别交W于点P，Q，求证：在直线BM上存在一点R，使得RP和RQ均与W相切
52．设A1A2A3A4是一个既有外接圆，又有内切圆的凸四边形，且其内切圆分别与
A1A2,A2A3,A3A4和A4A1切于点B1,B2,B3,B4，求证：(AAAAA1A22)?(23)2?(34)2 B1B2B2B3B3B4?(A4A12)≥8 B4B153．设ABCD为一个圆内接四边形，且AD与BC不平行，E，F为CD上的点，G，H分别△BCE和△ADE的外心，求证：AB，CD，GH三线共点或两两平行的充要条件是A，B，E，F四点共圆
54．圆S1和S2交于点P和Q，在S1上取两个不同的A1和B1（不同于P，Q），直线A1P和B1P分别交S2于另外一点A2，B2，直线A1B1和A2B2交于点C，求证：当A1和B1变化时，△A1A2C的外心在一个固定的圆上变化
55．设在△ABC内存在一点F，使得∠AFB=∠BFC=∠CFA，直线BF和CF分别交AC，AB于点D和E，求证：AB+AC≥4DE
56．锐角△ABC的内切圆?切BC于点K，AD为△ABC的高，M为AD的中点，直线KM交?于另一点N，求证：△BCN的外接圆与?切于点N
57．AB为等腰△ABC的底边，CD是其一条高，P为CD上一点，E为AP与BC的交点，F是BP与AC的交点，若△ABP的内切圆与四边形PECF的内切圆半径相等，求证：△ADP的内切圆与△BCP的内切圆半径相等
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58．圆S1和S2交于点A和B，过A的一直线分别交S1，S2于点C，D．M，N，K分别为CD，BC和BD上的点，使得MN∥BD，MK∥BC，E，F分别为S1中弧BC和S2中弧BD（都不含点A）上的点，E到BC的射影为N，F到BD的射影为K，求证：∠EMF=90° 59．设ABCD是一个圆内接四边形，点P，Q和R分别是D到直线BC，CA和AB的射影，证明：PQ=QR的充要条件是∠ABC和∠ADC的角平分线的交点在AC上 60．如图，圆O是△ABC的外接圆，点I是△ABC的内心，射线AI，BI，CI各交对边于点D，E，F，射线AD，BE，CF各交圆O于点A',B',C'，
求证：AA'?ID?BB'?IE?CC'?IF
61．△ABC中，X是AB上的一点，Y是BC上的一点，线段AY和CX相交于点Z，假如AY=YC及AB=ZC，求证：B，X，Z和Y四点共圆
62．P为圆O外一点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，设Q为PO与AB的交点，过Q作圆O的任意一条弦CD，证明：△PAB与△PCD有相同的内心
63．设R,r分别是△ABC的外接圆半径和内切圆半径，R',r'分别是?A'B'C'的外接圆半径和内切圆半径，证明：若?C??C',Rr'?R'r，则?ABC∽?A'B'C'
64．在△ABC中，已知∠B内的旁切圆与CA相切于D，∠C内的旁切圆与AB相切于E，过DE和BC的中点M和N作一直线，求证：直线MN平分△ABC的周长，且与∠A的角平分线平行
65．如图，ABCD是圆内接四边形，AC是圆的直径，BD⊥AC，AC与BD的交点为E，F在DA的延长线上，联结BF，G在BA的延长线上，DG∥BF，H在GF的延长线上，CH⊥GF，证明：B，E，F，H四点共圆 66．设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A，D，C三点的圆在△ABC内的弧上一点，过B，D，F三点的圆与边AB交于点E，求证：CD·EF+DF·AE=BD·AF
67．凸四边形ABCD为圆内接四边形，其中∠A=60°，BC=CD=1，射线AB，DC相交于E，射线BC，AD相交于F，已知△BCE及△CDF的周长都是整数，求四边形ABCD的周长 68．以锐角△ABC的两边AB，AC为直径向△ABC外各作一个半圆，AH⊥BC交BC于H，点D是边BC上任意一点（不是端点），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交两个半圆于点E，F，求证：D，E，F，H四点共圆
69．圆心为O1和O2的两个半径相等的圆相交于P，Q两点，O是公共弦PQ的中点，过P任作两条割线AB和CD（AB，CD均不与PQ重合），点A，C在圆O1上，点B，D在圆O2上，联结AD和BC，点M，N分别是AD，BC的中点，已知O1和O2不在两圆的公共部分内，点M，N均不与点O重合，求证：M，N，O三点共线
70．求实数?的最大值，使得只要点P在锐角△ABC内部，∠PAB=∠PBC=∠PCA，射线AP，BP，CP分别交△PBC，△PCA，△PAB的外接圆于A1，B1，C1，就有S?A1BC?S?B1CA?S?C1AB≥?S?ABC
71．设∠XOY=90°，P为∠XOY内的一点，且OP=1，∠XOP=30°，过点P任意作一条直
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线分别交射线OX，OY于点M，N，求OM+ON－MN的最大值
72．设△ABC的半周长和内切圆半径分别为s和r，以三条边长BC，CA，AB为直径向 △ABC的外部作三个半圆，记与这三个半圆都相切的圆半径为t， 证明：
3ss)r ?t??(1?22273．P是△ABC内一点，点P在三条边BC，CA，AB上的射影分别为D，E，F，且满足
AP2+PD2=BP2+PE2=CP2+PF2，记IA，IB，IC为△ABC的旁内圆圆心，证明：点P为△IAIBIC的外接圆圆心
74．证明：如果两个三角形有相同的外接圆，那么它们的内切圆不可能一个严格包含另一个 75．设与△ABC的外接圆内切并与边AB，AC相切的圆为Ca，记ra为圆Ca的半径，类似地定义rb，rc；r是△ABC的内切圆的半径，证明：ra+rb+rc≥4r
76．设ABCD是一个有内切圆的凸四边形，它的每个内角和外角都不小于60°，证明： 1|AB3?AD3|?|BC3?CD3|?3|AB3?AD3|等号何时成立？ 377．凸四边形ABCD有内切圆?，设I为?的圆心，且(AI?DI)?(BI?CI)
22?(AB?CD)2，证明：ABCD是一个等腰梯形
78．四边形ABCD外切于圆，∠A和∠B的外角平分线相交于点K，∠B和∠C的外角平分线相交于点L，∠C和∠D的外角平分线相交于点M，∠D和∠A的外角平分线相交于点N，现设△ABK，△BCL，△CDM，△DAN的垂心分别是K1，L1，M1，N1，证明：四边形K1L1M1N1是平行四边形
79．四边形ABCD既可外切于圆，又可内接于圆，并且ABCD的内切圆分别与它的边AB，BC，CD，AD相交于点K，L，M，N四边形的∠A和∠B的外角的平分线相交于点K'， ∠B和∠C的外角平分线相交于点L'，∠C和∠D的外角平分线相交于点M'，∠D和∠A的外角平分线相交于点N'，证明：直线KK',LL',MM',NN'经过同一个点
80．将△ABC的外接圆记作?，点P在圆周?上，将△ABC中分别与边BC和CA相切的旁切圆的圆心记作IA和IB，证明：△IACP和△IBCP的外心连线的中点就是?的圆心 81．设与△ABC的外接圆内切并与边AB，AC相切的圆为Ca，记ra为圆Ca的半径，r是 △ABC的内切圆半径，类似地定义rb,rc，证明：ra?rb?rc≥4r
82．给定Rt△ABC，∠C是直角，点D是边AC上的任一点，两个圆与直线AB分别相切于点A，B，这两个圆相交于D，E两点，证明：∠BAC=∠DEC
83．两个圆O1，圆O2相交于P，Q两点，且这两个圆离点P较近的公切线分别与圆O1相切于点A，与圆O2相切于点B，一条与圆O1相切于点P的直线与圆O2再次相交于点C，同时，直线AP，BC相交于点R，证明：△PQR的外接圆与直线BP，BR相切
84．设A0是?ABC的边BC的中点，A'是?ABC的内切圆与边BC的切点，以A0为圆心，
A0A'为半径作圆?1，同理定义B0,B'及圆?2和C0,C'及圆?3，证明：若圆?1与?ABC的外接圆在不包含A的弧BC处相内切，则另外两个圆中的一个也与?ABC的外接圆在相应的
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弧段处相内切
85．?ABC是一个三角形，一个过A，B的圆交边AC，BC于D，E，AB，DE交于点F，BD，CF交于点M，求证：MF=MC的充要条件是MB·MD=MC2
86．两圆外切于点A，且内切于另一圆?于点B，C，令D是小圆内公切线割?的弦的中点，证明：当B，C，D不共线时，A是?BCD的内切圆圆心
87．已知△ABC为锐角三角形，以AB为直径的圆K分别交AC，BC于点P，Q，分别过A和Q作圆K的两条切线交于点R，分别过B和P作圆K的两条切线交于点S，证明：点C在线段RS上
88．已知圆O1与圆O2交于A，B两点，过点B作直线交圆O1于K，交圆O2于M，作平行于AM的直线，且与圆O1切于点Q，联结AQ，交圆O2于R，证明： ⑴过R且与圆O2相切的直线平行于AK；
⑵分别过Q，R的这两条切线与KM交于一点。
89．如图，设圆S1和圆S2相交于A，B两点，经过A的直线交圆S1于C，交圆S2于D，点M，N，K分别在线段CD，BC，BD上，且MN∥BD，MK∥BC，分别过N，K作BC，BD的垂线，分别交圆S1，圆S2于E，F，且E，A在直线BC的异侧，F，A在直线BD的异侧，证明：∠EMF=90°
90．已知锐角△ABC的内切圆圆I与边BC切于点K，AD是△ABC的高，M是AD的中点，如果N是圆I与KM的交点，证明：圆I与△BCN的外接圆相切于点N
91．如图，已知圆S1与圆S2交于P，Q两点，A1，B1为圆S1上不同于P，Q的两个点，直线A1P，B1P分别交圆S2于A2，B2，直线A1B1和A2B2交于点C，证明：当点A1和点B1变化时，△A1A2C的外心总在一个定圆周上
92．如图，设B是圆S1上的点，过B作圆S1的切线，A为该切线上异于B的点，又C不是圆S1上的点，且线段AC交圆S1于两个不同的点，圆S2与AC相切于点C，与圆S1相切于点D，且D与B在直线AC的两侧，证明：△BCD的外心在△ABC的外接圆上
93．如图，设△ABC内存在一点F，使得∠AFB=∠BFC=∠CFA，直线BF，CF分别交AC，AB于D，E，证明：AB+AC≥4DE
94．已知两圆相交于X，Y，证明：存在四个点满足：对于每一个与两个给定的圆分别相切于A，B的圆交直线XY于C，D，则AC，AD，BC，BD经过这四个点之一
95．设O，H分别为锐角△ABC的外心和垂心，证明：在BC，CA，AB上分别存在点D，E，F，使得OD+DH=OE+EH=OF+FH，且直线AD，BE，CF共点 96．设A1A2An是一个凸n边形，n≥4，证明：A1A2An是圆内
接n边形的充要条件是对于每个顶点Aj，我们可以构造一个实数对(bj,cj)(j?1,2,,n)，对于所有i,j,1?i?j?n，有AiA?b?jjci bc97．过B，A作锐角△ABC外接圆的两条切线，且与过点C的切线分别交于T，U，AT交BC于P，Q是AP的中点，BU交AC于R，
18
S是BR的中点，如图所示，证明：∠ABQ=
∠BAS，并求当∠ABQ取最大值时，△ABC三边边长之比
98．设ABCD是凸四边形，且AB不平行于CD，若X是四边形ABCD内一点，并满足∠ADX=∠BCX＜90°，∠DAX=∠CBX＜90°，设AB，CD的中垂线的交点为Y，证明：∠AYB=2∠ADX
99．设O，H分别为锐角△ABC的外心和垂心，证明：△AOH，△BOH，△COH中有一个的面积等于另外两个面积之和
100．在凸四边形ABCD中，两对角线AC与BD互相垂直，两对边AB与DC不平行，点P为线段AB及CD的垂直平分线的交点，且P在四边形ABCD的内部，证明：ABCD为圆内接四边形的充分必要条件是△ABP与△CDP的面积相等
101．给定??1，设点P是△ABC外接圆的弧BAC上的一个动点，在射线BP和CP上分别取点U和V，使得BU=?BA，CV=?CA，在射线UV上取点Q，使得UQ=?UV，求点Q的轨迹
102．定圆上两定点A，B及动点C构成的△ABC是锐角三角形，AB的中点M在边AC，BC上的投影分别为点E，F，证明：EF的中垂线经过一定点
103．设AB是圆O的直径，过点A，B的切线分别为la,lb，C是圆周上任意一点，BC交la于K，∠CAK的平分线交CK于H，设M是弧CAB的中点，HM与圆O交于点S，过点M的切线与lb交于点T，证明：S，T，K三点共线
104．设M，N分别是△ABC的边AC，BC上的点，K是线段MN的中点，△CAN和△BCM的外接圆的第二个交点为D，证明：CD经过△ABC的外心的充要条件是AB的中垂线经过点K
105．如图，已知两个半径不等的圆相交于A，B两点，公切线ST，MN与两个圆的切点分别为S，T和M，N，证明：△AMN，△AST，△BMN，△BST的垂心是一个矩形的四个顶点
106．已知半圆圆O的直径为AB，C为OB上一点，过点C且垂直于AB的直线交半圆圆O于点D，圆P与半圆圆O内切于点F，与CD切于点E，与CB切于点G，证明：△ADG为等腰三角形
107．已知平面上三定点A，B，C，设动点D满足A，B，C，D共圆，IA,IB,IC,ID分别是点A，B，C，D关于△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的西姆松线，当点D移动时，求直线IA,IB,IC,ID的交点轨迹 108．设点A是圆O外一点，过点A作圆O的切线，切点分别为B，C，圆O的切线l与AB，AC分别交于点P，Q，过点P且平行于AC的直线与BC交于点R，证明：无论l如何变化，QR恒过一定点
109．设I是△ABC的内心，且圆I与AB，BC分别切于点X，Y，XI与圆I交于另一点T，X'是AB，CT的交点，L在线段X'C上，且X'L?CT，证明：当且仅当A，L，Y三点共线时AB=AC
110．给定菱形ABCD，其中?A?90?，两条对角线AC，BD相交于点M，点O在线段MC上，并满足O≠M，且OB＜OC，过点B，D且以O为圆心的圆交直线AB于点B和点X（当直线AB是该圆的切线时，X=B），同时交直线BC于点B和点Y，设直线DX，DY与线段
AC的交点分别为P，Q，试用t表示比值
OQMA，其中?t OPMO19
111．在△ABC的外接圆上，BC,CA,AB的中点分别为D，E，F，其中A?BC,B?CA,C?AB,DE分别交CB，CA于点G，H，DF分别交BC，BA于点I，J，GH和I J的中点分别为M，N． ⑴用△ABC的内角表示△DMN的三个内角；⑵若O为△DMN的外心，P是AD与EF的交点，证明：O，M，P，N四点共圆
112．设△ABC是锐角三角形，P，Q为边BC上的两个点，作QC1∥CA，与△ABP的外接圆交于点C1，且C1和Q在直线AB的异侧；作QB1∥BA，与△ACP的外接圆交于点B1，且B1和Q在直线AC的异侧，证明：B1，C1，Q，P四点共圆
113．半圆?的直径是AB，M是AB的中点，在半圆?的同侧，以MB为直径作半圆?1，设X，Y是半圆?1上的点，且BX?1.5BY，直线MY交BX于点D，交半圆?于点C，证明：Y是线段CD的中点
114．已知等边△ABC和等边△PQR有三组边分别平行，一个指向上方，另外一个指向下方，相交的部分是一个六边形，证明：这个六边形的相对的顶点的连线相交于一点
115．已知锐角△ABC，以AC为直径的圆为圆?1，以BC为直径的圆为圆?2，AC与圆?2相交于点E，BC与圆?1相交于点F，直线BE和圆?1相交于点L，N，其中点L在线段BE上，直线AF和圆?2相交于点K，M，其中点K在线段AF上，证明：四边形KLMN是圆内接四边形
116．已知△ABC，过点B，C的圆O与AC，AB分别交于点D，E，BD与CE交于点F，直线OF与△ABC的外接圆交于点P，证明：△PBD的内心就是△PCE的内心
117．设H为△ABC的垂心，D，E，F为△ABC的外接圆上三点使得AD∥BE∥CF，S，T，U分别为D，E，F关于边BC，CA，AB的对称点，求证：S，T，U，H四点共圆
118．已知△ABC，点X是直线BC上的动点，且点C在点B，X之间，又△ABX，△ACX的内切圆有两个不同的交点P，Q，证明：PQ经过一个不依赖于点X的定点 119．设圆O1与圆O2交于两点A，B，点R在圆O1的弧AB上，点T在圆O2的弧AB上（如图），AR，BR分别与圆O2交于C，D，AT，BT交圆O1于Q，P，若PR与TD交于E，TC与RQ交于F，求证：AE·BT·BR=BF·AT·AR
120．已知圆内接四边形ABCD，直线AD和BC交于点E，且点C在点B，E之间，对角线AC和BD交于点G，设点M是CD的中点，点N是△ABM的外接圆上的不同于M的点，
ANAM且满足，证明：点E，F，N在一条直线上 ?BNBM121．设四边形ABCD内接于圆O，且圆心O不在四边形的边上，对角线AC与BD交于点P，△OAB，△OBC，△OCD，△ODA的外心分别为O1，O2，O3，O4，求证：三条直线O1O3，O2O4与OP共点 122．设圆?和直线l不相交，AB是圆?的直径，且垂直于直线l，点B比点A更靠近直线l，在圆?上任意取一点C（C≠A，B），直线AC交直线l于点D，直线DE与圆?切于点E，且点B，E在AC的同一侧，设BE交直线l于点F，AF交圆?于点G（G≠A），证明：点G
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关于AB的对称点在直线CF上
123．设圆?是△ABC的外接圆，点P是△ABC的一个内点，射线AP，BP，CP分别交圆?于点A1，B1，C1，设A1，B1，C1关于三边BC，CA，AB的中点的对称点A2，B2，C2，求证：△A2B2C2的外接圆通过△ABC的垂心
124．已知圆心分别为A，B的两个圆交于点C，D，过点A，B，C的圆与圆A，圆B分别交于点E，F，且不包含点C的EF在圆A和圆B的外部，证明：CD平分这段弧EF 125．如图，设ABCD是一个梯形并且AB∥CD，ABCD内部有两个圆?1和?2满足：圆?1与三边DA，AB，BC相切，圆?2与三边BC，CD，DA相切，令l1是过点A的异于直线AD的圆?2的另一条切线，l2是过点C的异于直线CB的圆?1的另一条切线，证明：l1∥l2 126．已知梯形ABCD，且AD∥BC，设圆O1，圆O2，圆O3，圆O4分别是以AB，BC，CD，DA为直径的圆，证明：当且仅当梯形ABCE为平行四边形时，存在一个圆心O在梯形ABCD内的大圆与所有4个圆圆O1，圆O2，圆O3，圆O4都内切
127．如图，在△ABC中，∠A=60°，△ABC的内切圆I分别切边AB，AC于点D，E，直线DE分别与直线BI，CI相交于点F，G，证明：FG=BC
128．在Rt?ABC中，?A?90?,?B??C，O是△ABC的外接圆的圆心，lA,lB是圆O的两条切线，切点分别为A，B，设{s}?BClA,{D}?AClB,{E}?ABDS,{T}?CElA，又设P是lA上的点，且使得EP⊥lA，Q(Q?C)是CP与圆O的交点，R是QT与圆O的交点，令SU?SPSA2 {U}?BRlA，证明：?TU?TPTA2129．如图，圆O1与圆O2交于A，B两点，过点O1的直线DC交圆O1于D且切圆O2于C，CA切圆O1于A，圆O1的弦AE与直线DC垂直，过A作AF垂直于DE，F为垂直，求证：BD平分线段AF
130．设△ABC中∠A内的旁切圆与BC，CA，AB分别切于点A1，B1，C1，∠B内的旁切圆与BC，CA，AB分别切于点A2，B2，C2，∠C内的旁切圆与BC，CA，AB分别切于点A3，B3，C3，求△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3的周长之和与△ABC的外接圆半径之比的最大值
131．如图，过圆外一点P作圆的两条切线PA，PB，A，B为切点，再过点P作圆的一条割线分别交圆于C，D两点，过切点B作PA的平行线分别交直线AC，AD于E，F，求证：BE=BF
132．已知?是等边△ABC的外接圆，设圆?与圆?1外切且切点异于点A，B，C，点A1，B1，C1在圆?1上，且使得AA1，BB1，CC1
与圆?1相切，证明：线段AA1，BB1，CC1中的一线段的长度等于另两线段长度之和
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12133．如图，设点P在△ABC的外接圆上，直线CP和AB相交于点E，直线BP和AC相交于点F，边AC的垂直平分线交边AB于点J，边
CE2AJ?JEAB的垂直平分线交边AC于点K，求证： ?BF2AK?KF134．已知圆O1在圆O2的内部，且圆O1与圆O2相切于点A，过A作直线交圆O1于B，交圆O2于C，过B作圆O1的切线，与圆O2交于点D和E，过点C作圆O1的两条切线，切点分别为F，G，证明：D，E，F，G四点共圆
135．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ACB的内切圆O分别与边BC，CA，AB相切于点D，E，F，联结AD，与内切圆O相交于点P，联结BP，CP，若∠BPC=90°，求证：AE+AP=PD 136．在△ABC中，AB＜BC点，点I为其内心，M是边AC的中点，N是外接圆上的ABC的中点，证明：∠IMA=∠INB 137．如图，△ABC中，设AB＞AC，过A作△ABC的外接圆的切线l，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D，交直线l于E，F，证明：直线DE，DF分别通过△ABC的内心与一个旁心（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心）
138．等腰△ABC，AB=AC，P在边BC的延长线上，X和Y分别是直线AB和AC上的点，PX∥AC，PY∥AB，T是△ABC外接圆上弧BC的中点，证明：PT⊥XY
139．△ABC的外接圆的圆心为O，A'是边BC的中点，AA'与外接圆交于点AA'',A'Qa?AO,点Qa在AO上，过点A''的外接圆的切线与A'Qa相交于点Pa，用同样的方式，可以构造点Pb和Pc，证明：Pa,Pb,Pc三点共线
140．如图，在锐角△ABC中，AD，BE，CF为高线，H为垂心，过A，H的圆O与AB，AC分别交于Q，P（均不同于A），若
CRED ?BRFD141．已知非等腰锐角△ABC，AA1，BB1是它的两条高，又线段A1B1与平行于AB的中位线相交于点C'，证明：经过△ABC的外心和垂心的直线与直线CC'垂直
142．如图，I是△ABC的内心，M是BI的中点，E是BC的中点，F是△ABC外接圆BC弧的中点，N是EF的中点，MN交BC于D，求证：∠ADM=∠BDM
143．已知锐角△ABC，∠BAC=60°，AB=c，AC=b，b＞c，△ABC的垂心和外心分别为M和O，OM与AB，AC分别交于点X，Y，证明：⑴△AXY的周长为b+c；⑵OM=b－c．
△OPQ的外接圆与BC切于R，求证：
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144．如图，△ABC中，AH是BC边上的高，D是直线BC上任一点，O，O1，O2分别是△ABC，△ABD，△ACD的外心，N，N1，N2分别是△ABC，△ABD，△ACD的九点圆心，设O'是A，O，O1，O2所共圆（萨蒙（Salmon）圆）的圆心，作O'E?BC，垂足为E，求证：H，E，N，N1，N2五点共圆
145．已知锐角△ABC的垂心为H，内心为I，且满足AC≠BC，CH，CI分别与△ABC的外接圆交于点D，L，证明：∠CIH=90°的充分必要条件是∠IDL=90°
146．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，设O1，O2分别是△ABD，△ACD的外心，O'是经过A，O1，O2三点的圆之圆心，记△ABC的九点圆心为Ni，作O'E?BC，垂足为E，求证：NiE∥AD
147．已知圆O1与圆O2外切于点T，一直线与圆O2相切于点X，与圆O1
交于点A，B，且点B在线段AX的内部，直线XT与圆O1交于另一点S，C是不包含点A，B的TS上的一点，过点C作圆O2的切线，切点为Y且线段CY与线段
ST不相交，直线SC与X交于点I，证明：⑴C，T，I，Y四点共圆；⑵I是△ABC的∠A内的旁切圆的圆心
148．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，设O1，O2分别是△ABD，△ACD的外心，O'是经过A，O1，O2三点的圆之圆心，求证：O'D?BC的充要条件是：AD恰好经过△ABC的九点圆心
149．设A，B，C是圆O上三个不同的点，过点B，C分别作与BC垂直
的直线h和g，AB的中垂线与h交于点F，AC的中垂线与g交于点G，证明：当B，C固定时，BF·CG不依赖于点A的选取
150．△ABC的角平分线BB1和CC1交于点I，直线B1C1交△ABC外接圆于点M和N，证明：△AMIN的外接圆的半径是△ABC外接圆的半径的2倍 151．已知△ABC的外接圆半径为R，圆心为O，内接圆的半径为r，圆心为I，且I?0,?ABC的重心为G，求证：当且仅当b?c或b?c?3a时，IG?BC
152．在△ABC的外接圆的圆弧AB（不含点C）和圆弧BC（不含点A）上分别取点K和L，使得直线KL与直线AC平行，证明：△ABK和△CBL的内心到圆弧AC（包含点B）中点的距离相等
153．已知平面上一个半径为R的定圆圆O，A，B是圆O上的两个定点，且A，B，O不共线，C为异于A，B的点，过点A作圆O1与直线BC切于点C，过点B作圆O2与直线AC切于点C，圆O1与圆O2相交于点D（异于点C），证明：
⑴CD≤R；⑵当点C在圆O上移动，且与A，B不重合时，直线CD过一定点
154．与等腰△ABC两腰AB和AC都相切的圆?交边BC于点K和L，联结AK，交圆?于另一点M，点P和Q分别是点K关于点B和C的对称点，证明：△PMQ的外接圆与圆?相切
155．设△ABC的外接圆为?，?A?90?,?AB??C，过点A作圆?的切线与BC交于点D，点E是点A关于BC的对称点，点A在BE上的投影为X，Y是AX的中点，BY与圆?的
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第二个交点为Z，证明：BD与△ADZ的外接圆相切
156．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，R，使得AP=CQ，且四边形RPBQ是圆内接四边形，过点A和C分别作△ABC的外接圆的切线，交直线RP和RQ于点X和Y，证明：RX=RY
157．已知△ABC的内切圆与其边AC，BC，AB分别切于点M，N，R，设S为劣弧MN上的一点，l为过点S的切线，且与NC，MC分别交于点P，Q，求证：线段AP，BQ，SR与MN交于一点
158．如图，圆?与△ABC的外接圆相切于点A，与边AB交于点K，且和边BC相交，过点C作圆?的切线，切点为L，联结KL，交边BC于点T，证明：线段BT的长等于点B到圆?的切线长
159．△ABC为锐角三角形，D，E分别为点A，B到边BC，CA的垂足，以BC为直径向外作半圆与直线AD相交于点P，以AC为直径向外作半圆与直线BE相交于点Q，证明：CP=CQ
AEBF，射线FE?EDFC分别与射线BA和CD交于点S和T，证明：△SAE，△SBF，△TCF和△TDE的外接圆有一个公共点
161．设凸四边形的外接圆和内切圆的圆心分别为O，I对角线AC，BD相交于点P，证明：O，I，P三点共线
162．在△ABC中，∠BAC=120°，设∠A，∠B，∠C的平分线分别交其对边于点D，E，F，证明：以EF为直径的圆过点D
160．设E，F分别是凸四边形ABCD的边AD和BC上的点，满足：163．设A0,A1,,A5是圆周?上顺序排列的六个点，对于k?0,1,2,过点A2k作平行于直线
A2k?2A2k?4的直线，交圆?于A'2k，直线A'2kA2k?3与A2k?2A2k?4交于点A'2k?3，如果直线 A2kA2k?3(k?0,1,2)三线共点，证明：直线A2kA'2k?3(k?0,1,2)也三线共点，注：对n≥6，An?Ai，其中i?n(mod 6), 0≤i≤5．
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