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第二篇数列与不等式

专题07 数列与不等式相结合问题

类型 利用单调性解数列不等式 不等式恒成立与数列相结合 不等式能成立与数列相结合 利用不等式的放缩法证明数列不等式 不等式证明与数列相结合 采用裂项相消法求和证明不等式 采用错位相减法求和证明不等式 【典例1】【2020届安徽省亳州市高三上学期期末教学质量检测】 记Sn为数列?an?的前n项和.已知1?Sn?2an. （1）求?an?的通项公式；

（2）求使得a2n?Sn?2020的n的取值范围. 【思路引导】 （1）根据an??对应典例 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 典例6 典例7 ?S1,n?1计算可得；

?Sn?Sn?1,n?22n?1n（2）由（1）可得a2n?2，Sn?2?1，从而得到不等式解得.

解：（1）由题知，1?Sn?2an①，当n?1时，a1?1当n?2时，1?Sn?1?2an?1②

n-1①减②得，an?2an?1，故?an?是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an=2 2n?1n（2）由（1）知，a2n?2，Sn?2?1a2n?Sn?2020

即22n?1?2n?1?2020等价于2而n?6，2nn?2n?2??4038易得2n?2n?2?随n的增大而增大

?2n?2??4038，n?7，2n?2n?2??4038故n?7，n?N

【典例2】【2020届重庆西南大学附属中学校高三第五次月考】

已知等比数列?an?的前n项和为Sn，且当n?N*时，Sn是2n?1与2m的等差中项(m为实数). （1）求m的值及数列?an?的通项公式； （2）令bn?1?log2ann?N?*?，是否存在正整数k，使得

111k???????对任意正整数bn?1bn?2bn?n10n均成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由. 【思路引导】

?S1,n?1（1）根据等差中项的性质列方程，求得Sn的表达式.利用an??，结合?an?是等比数列，

S?S,n?2n?1?n求得m的值及数列?an?的通项公式.

111k???????（2）由（1）求得bn的表达式，将不等式左边看成f?n?，利用差比较法bn?1bn?2bn?n10判断出f?n?的单调性，由此求得f?n?的最小值，进而求得k的最大值.

n?1n解：(1)Q Sn是2n?1与2m的等差中项， ? 2Sn?2?2m，即 Sn?2?m，

n?1当n?1时， S1?a1?2?m，当n?2时， an?Sn?Sn?1?2，Q ?an?是等比数列，? a1?1，n-1则 2?m?1，? m??1，且数列?an?的通项公式为an=2.

(2)存在正整数k，使不等式恒成立，k的最大值为4.bn?1?log2an?n n?N*.

??f?n??111111??L???L?， bn?1bn?2bn?nn?1n?22nQf?n?1??f?n??11111?????0 2n?12n?2n?12n?12n?2? f?n?1??f?n?.?数列f?n?单调递增，?f?n?min?f?1??由不等式恒成立得：

??1， 2k1?，? k?5. 102故存在正整数k，使不等式恒成立，k的最大值为4. 【典例3】【2020湖北省武汉华中师大附中高三5月考试】

已知等差数列?an?中，公差d?0，S7?35，且a2，a5，a11成等比数列．

?1?求数列?an?的通项公式；

?1?T2若为数列??n??的前n项和，且存在n?N*，使得Tn??an?1?0成立，求实数?的取值范围．

?anan?1?7?6?7a?d?35,1?2【思路引导】（1）由题意可得?解得a1，d即可求得通项公式；(2)

??a?4d?2??a?d??a?10d?,11?111n111????,裂项相消求和Tn?，因为存在n?N*，使得Tn??an?1?0成2n?22?n?2?anan?1n?1n?2nn*????n?2?0??立，所以存在n?N，使得成立，即存在n?N，使得2成立.求出

2?n?2?2?n?2?*n2?n?2?2的最大值即可解得?的取值范围.

7?6?7a?d?35,?a1?3d?5,1?2 解：（1）由题意可得?即?22d?ad.21??a?4d???a?d??a?10d?,?111??a1?2,又因为d?0，所以?所以an?n?1.

?d?1.（2）因为

1111???，所以 anan?1?n?1??n?2?n?1n?2Tn?11n111111?????L????. 2n?22n?2??2334n?1n?2因为存在n?N*，使得Tn??an?1?0成立，所以存在n?N*，使得

n???n?2??0成立，即存在

2?n?2?n?N，使得??*n2?n?2?2成立.

n又2?n?2?2?111??44????16（当且仅当n?2时取等号）. 2?n??4?2?n??4?nn????所以??1?1?，即实数?的取值范围是???,?.

16?16?【典例4】【2020届江西省南昌市上学期期末考试】

已知?an?是递增的等比数列，若a3?a5?20，且a1，a2，a3成等差数列. （1）求?an?的前n项和Sn； （2）设bn?5411，且数列?bn?的前n项和为Tn，求证：?Tn?1. Sn?23【思路引导】 （1）利用等差中项可得进而由公式求解即可； （2）由（1）可得bn?5a2?a1?a3,再利用等比数列的通项公式代入求得q,可代回a3?a5?20中求得a1,2111,,从而求和即可证明 ?b?则n2n?132n解：（1）设递增数列?an?的公比为q?q?1?,

55a2,a3成等差数列,可得a2?a1?a3,即5a1q?2a1?2a1q2, 4212则2q?5q?2?0,解得q?（舍）或q=2,

2由a1,

24又因为a3?a5?20,可得2a1?2a1?20,所以a1?1,

所以S?n1??2n?1?2?1?2n?1

1111T,,, ??0T?T?b??所以数列是递增数列所以??nn11nn2?1?22?12?13（2）证明：由（1）可得bn?又因为bn?11, ?nn2?12n1??1????1????2nn22??1?1?1???1??????1??Tn?????…?????1, ??12?2??2??2?1?2综上所述：

1?Tn?1 3【典例5】【陕西省安康市2019-2020学年高三上学期12月阶段性】 已知数列?an?为等差数列. （1）求证：?an?1?…anan?2；

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