第一章 函数、极限 连续
1.求下列函数的定义域：
1(1)y??x?1；
ln(1?x2)(2) y?1[x?a].
2.讨论下列哪些函数相同： (1) 2lnx与lnx2； (3) x与xsgnx. 3.讨论下列函数奇偶性：
(1) y?ln(x?1?x2)； (2) y?x2e4. (1) 设f(x?2)?x2?2x?5，求f(x?2)； (2) 设f(ex?1)?x，求f(x)； (3)设f(x?1x)?x2?1x2 (2) x2与x；
x；
，求f(x).
?1?5.设f(x)??0??1?x?1求f[g(x)]和g[f(x)]并作出这两个函数的图形。 x?1，g(x)?ex，
x?16.计算下列各极限： (1) limx?5x?1； (x?h)2?x2hx?122
x?3 (2)；limx?5x?6x?8x?1531?x232x?32
(3)； limh?0 (4)；lim(x?1?11?x)
(5)； limx??2x?x?12 (6)；limx?x?1x?32x??
(7); lim4x?3x?17x?5x?1nx??3 (8); limxsinx?01x
(9); limn???k?1kn2 (10); lim(n??11?2?12?3???1n(n?1))
7.计算下列各极限：
(1) lim(2x?5)50(2x?1)30x??(x?3)20; (2) limx?1x?12x??sinx?1x?12;
(3) lim4x?3x?12x???; (4) limx?1?x?1x;
x?0(5) limt?2tt?1t?12;
8.如果 limx?ax?b1?x3x?1?5，求a与b的值。
29. 已知lim(x?x??ax?bx?11?x2)?2，求a与b的值。
10.计算下列极限： (1) limsinaxx；
x?0 (2) limtan3xx?0(3) limsinx?sinax?axn(5)； lim2sinn
n??2x?a； (4) lim2x1?cos2xsinxxx??2；
；
x?0 (6)；limx??
2.计算下列极限： (1) lim(n??nn?12(3) lim(1?3x)x；
x?01)n；
(2) lim(1?x??2
(4) lim(n??x2n?1)x； )n；
2sinx2n?3x?0(5)； lim(cosx?02x)sin2x (6) lim(1?3x)
11.利用极限存在准则，证明下列极限： (1) lim2?2?2??2?2; ???????????n111????)?1. (2) lim(222n??n?1n?2n?nn??(3)设x1?1,x2?1?x11?x1，?,xn?1?xn?11?xn?1，证明：数列{xn}收敛，并求其极限
12.当x?0时，如果以x为基本无穷小，指出下列各无穷小的阶，且找出等价无穷小： (1) sin2x；
(2) x?x；
2
24班级： 姓名： 学号： ·3·
(3) 1?cos(5)
123x；
3 (4) x?1?1?x22；
ln(1?x2).
13.利用等价无穷小代换求极限：
tan3xtan6x(1) lim；
x?0 (2) limasinxx?1x?0e?1?a?0,a?0?；
(3) lime?e1?cosx?x； x
x?0 (4)；lim1?cos?x(1?x)2
x?1(5)； limx?xcosxsinx?tanxsin(1?x)lnxx?0 (6)；lim1?xsinx?1ex2x?0
?1(7)； limx?1
14.下列函数在哪些点处间断；说明这些间断点的类型。若是可去间断点，则重新定义函数在该点的值，使之连续。 (1) f(x)?(3) f(x)?x?12xtan?x1； (2) f(x?|x|；2 (4) f(x)?； xnx1?x1?e1?x(5)f(x)?lim?x 12nn??1?x?xsinx?021)在???,???内连续，应当怎样选择数a？ 15.设f(x)???x，要使xf?(xx2??0?xx?a?f()?x16.确定a,b，使?ax?b0?x?1 在(??,??)内连续。
?sinxx?0?*?eaxx?0,x??2k?(k?N)?1?cosx?bx?017.设函数f(x)??，问a,b为何值时，
?12x?0?[lnx?ln(x?x)]?x f(x)在它的定义域内的每点处连续。
18.证明方程x?3x?1至少有一个根介于1和2之间。
19.证明方程x?asinx?b，其中a?0,b?0，至少有一个正根，并且它不超过a?b. 20.若f(x)在闭区间[a,b]上连续，a?x1?x2???xn?b，则在[x1,xn]上必有?使
f(x1)?f(x2)??f(xn)f????.
n21.证明若f(x)在(??,??)内连续，且limf(x)存在，则f(x)在(??,??)内有界。
x??5x1；
3
22.若f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)?a,f(b)?b，证明在(a,b)内至少有一点?，使f(?)??.
23.设函数f(x)在闭区间[0,2a]上连续，且f(0)?f(2a)，证明在[0,a]上至少存在一点?，使f(?)?f(??a).
7.函数f(x)在区间(a,b)内连续，并且lim(a,b)内有零点。
f(x)???,limf(x)???.证明f(x)在区间
x?a?0x?b?0
第二章 导数与微分
1. 若函数f(x)在a可导，计算 (1)limf(h)?f(a)h?ahf(a)?f(a?h)hh?a; ;
(2)lim;
.
h?0(3)limf(a?2h)?f(a)h?0(4)limf(a?2h)?f(a?h)2hh?02. 求导数: (1) y?x;
(2) y?x35x.
1x35(3) y?1x (4) y? x3. 求下列曲线在指定点的切线及法线方程 (1) y?1x2在点(1,1)处; (2) y?cosx在点(?1,)处. 32(3) 求y?x在点(?1,0)处的切线
4. 若函数f(x)在a处可导，计算limn[f(a?n??1)?f(a)]. n5. 如果f(x)为偶函数，且f?(x)存在，证明f?(0)?0. ?x?16. 计算函数f(x)??1?ex??0x?0x?0 在点x=0的左右导数.
?x27. 计算函数f(x)???ax?bx?cx?c在c的右导数，当a、b取何值时，函数f(x)在c处不
连续、连续及可导？
4
班级： 姓名： 学号： ·5·
8. 已知f(x)???sinx?xx?0x?0,求f?(x).
9. 求下列函数的导数: (1) y?x?3x?6;
4232
x?x?1(2) y?;
532
2(3) y?3x?3x?1; x(4) y?(1?x)(1?2x); (7) y?xlnx; (10) y?x2ex; (13) y?
(5) y?x221?x; (6) y?xsinx?cosx; (9) y?x4x(8) y?xtanx?cotx; (11) y?xarcsinx; (14) y?x2arccosx;
(17) y?;
(12) y?(15) y?arctanx; xlnx; xsinxx; ?xsinxx?1(16) y?;
x?1
5x?3x?4x?12.
10. 求下列函数的导数: (1) y?(2x2?3)2; (4) y?x?x?
x;
(2) y?x2?a2; (3) y?1?x; 1?x(5) y?2sinx?cos3x; (8) y?cot25x;
(6) y?tan(ax?b); (9) y?lnsinx; x?ax22(7) y?sin2xcos3x;
(10) y?lncosx; (12) y?e4x?5;
2
(11) y?ln(x?xx?a)?22;
(13) y?ae(16) y?(
2;
(14) y?(arcsinx)2; (17) y?11?x2 (15) y?arctan(x2?1); (18) y?(sinx)cosx;
xx); 1?xxlnx1?sinx;
2 (19) y?.
f(x)?g(x)的导
2211. 设函数f(x)和g(x)可导，且f(x)?g(x)?0，试求函数y?数.
12. 设f(x),g(x)可导，求下列函数y的导数(1) y?f(x)
2dydx
2 (2) y?f(sin5
x)?g(cos2x)
13. 求下列各题的二阶导数: (1) y?(4) y?1x?13x1?x2;
(2) y?e?tsint;
(3) y?arcsinx1?x2;
; (5) y?ln(x?1?x2) .
214. 设f??(x)存在，求下列函数y的二阶导数
dydx2.
(1) y?f(e?x); (2) y?ln[f(x)].
15. 求下列函数的n阶导数的一般表达式: (1) y?1;
x(x?1)2 (2) y?xlnx;
(3) y?sinx.
16.求由下列方程所确定的隐函数y的导数(1) y?cos(x?y) (3) xydydx
2
dydx2(2) y?1?xey
?yx?0
17.求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数(1) x2?xy?y2?1 ; (3); y?tan(x?y). 18.已知exy?axby 证明
(2); arctanyx?lnx?y22
(y?lna)y???2(y?)2?0.
19.求由下列参数方程所确定的函数y的导数 1?x??1?t(1) ? ;
t2)?y?(1?t?
?x?acos3t(2) ?3?y?bsintdydx22.
20.求由下列参数方程所确定的函数y的二阶导数
6
?x?t?ln(1?t)(1) ?; 32y?t?t?班级： 姓名： 学号： ·7·
?x?f?(t)(2) ??y?tf?(t)?f(t)设f??(t)存在且不等于零
21.求下列函数的微分dy (1) y?x2sinx (3) y?lntanx
(2) y?xlnx?x (4) y?arcsin1?x2
第三章 微分中值定理与导数的应用
1. 不用求出函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)的导数,说明方程f?(x)?0有几个实 根,并指出它们所在的区间.
2设f(x)是处处可导的奇函数,证明:对任一b?0,总存在c?(?b,b)使得f?(c)=3证明恒等式arcsinx?arccosx?4. 证明不等式: ⑴
aa?ba?b＜ln＜ (a?b?0); abbf(b)b.
?2 (-1≤x≤1).
⑵ x?ex?1?xex.
5．若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数且f(x1)?f(x2)?f(x3),其中
a?x1?x2?x3?b，证明:在(x1,x3)内至少有一点?,使得f??(?)?0.
6. 若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导，A(a,f(a)),B(b,f(b))，弦AB交曲线y?f(x)于点C，证明，在(a,b)内至少有一点?,使得f??(?)?0. 7用洛必达法则求下列极限
sinx?sina（1） lim;
x?ax?a（3） lim[x?0 （2） limx??0lntan7x;
lntan2x11?x); xe?11x?1ln(1?x)1x ]; （4） lim(x?0（5） lim(1?x)x1?ex?0;
1tanx （6）lim();
x??0x
sinxx2（7）lim();
x?0x（8）limxx??0sinx; （9） limet2?2?arcsint)1?t.
t??0ln(1? 7
8.设f(x)二阶导数存在,证lim9.讨论函数
h?0f(x?h)?f(x?h)?2f(x)?f??(x).
h21?(1?x)x1?]x;?[f(x)??e??12??e;x?0x?0
在点x?0处的连续性.
10. 写出下列函数在指定点处的带有佩亚诺余项的三阶泰勒公式： ⑴ f(x)?x, x0?4;
⑵ f(x)?tanx, x0?0.
11. 写出下列函数的带有拉格郎日余项的n阶麦克劳林公式： ⑴ f(x)?1; 1?x⑵ f(x)?xex. 12． 设limf(x)xx?0利用带有拉格郎日余项的麦克劳林公式证明：f(x)?x. ?1且f??(x)?0，
13. 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式求下列极限：
cosx?e?x22⑴ limx?124x?0xx6；
⑵ limesinx?x(1?x)xsinx2；
x?014. 研究下列函数的单调性: (1)f(x)?x-arctanx ; 15. 确定下列函数的单调区间: (1)y?2x?6x?18x?7 ; (3)y?ln(x?1?x2) .
8
32 (2)f(x)?(1?1x),(x?0) x2
x(2)y? ;
x?1班级： 姓名： 学号： ·9·
16. 证明下列不等式: (1)当x?0时, 1?1x?21?x;
1?x2 ;
(2)当x?4时, 2x?x2.
(3)当x?0时, 1?xln(x?1?x2)?17．试证方程 sinx?x 只有一个实根. 18. 求下列函数图形的凹、凸区间. (1)y?ln(1?x2);
x?y2
(2)y?e?x.
219. 利用函数的凹凸性,证明不等式:
xlnx?ylny?(x?y)ln(x?0,y?0,x?y).
20. 试确定曲线y?ax3?bx2?cx?d中的a,b,c,d,使得点(-2,44)为驻点,点(1,-10)为拐点.
21. 已知曲线x2y??x??y?0以点(2,2.5)为拐点.试确定?,?的值. 22. 讨论方程lnx?ax,23. 求下列函数的极值: (1)y?x3?3x2?9x?5; (3)y?2x?3x;
23(a?0)有几个实根.
(2)y?x?1?x;
24. 试问:a为何值时,函数f(x)?asinx?1?处取得极值?它是极小值还是sin3x在x?33极大值?并求此极值.
25. 求下列函数在指定区间上的最大值,最小值: (1)y?x?8x?2,x?[?1,3]; 26.绘下列函数的图形 （1）y?42 (2)y?x?1?x,x?[?5,1];
11?x2 （2）y?2x?1(x?1)2
期中测试题
一、填空题
?sin2x?e2ax?1? 1．f(x)??x?a?
x?0x?0在(??,??)连续，a?
9
?x?t?ln1?t2．设函数y?y(x)由参数方程?所确定，则y??? 32?y?t?tf(x0??x)?f(x0?2?x)3．f?(x0)?2，lim? ?x?0?x14．y?exarctan5．lim2x?x?1(x?1)(x?2)22的渐近线有 条
ln(1?x)?(ax?bx)x2x?0?2，则a? ，b?
二、求下列极限 1．lim1?x?x21?x?2x?0 2. lim(x?01n?n?12?2n?n?22??nn?n?n2)
3．lim1?cosxx)x?0x(1?cos 4. limarctanx?xln(1?2x)3
x?0三、求下列导数或微分
1．y?ax?xa?aa?xx求dy。
2．y?sinf(x2)?f(sinx2)，其中f有两阶连续导数，求y?,y??。 3．设函数y?y(x)由
x?y22?earctanyx所确定，求y?,y??。
四、设x?0，当a?e时，证明：(a?x)a?aa?x
五、设函数f(x)在[a,b]具有二阶连续导数，f(a)?f(b)?0,f??(a)f??(b)?0证明：
???(a,b),??(a,b)使f(?)?0,f??(?)?0。
六、y?x32(x?1)求：1.增减区间及极值2.凹凸区间及拐点3.渐近线4.作图。
七、设函数f(x)在[?1,1]具有三阶连续导数，且f(?1)?0,f(1)?1,f?(0)?0证明：
???(?1,1),使f???(?)?3.
第四章 不定积分
1.单项选择题
(1)下列等式正确的是（ ）
(A) d?f(x)dx?f(x); (C) d?f(x)dx?f(x)dx; (2) 设?f(x)dx?
ddxd(D)
dx(B)
??f(x)dx?f(x)?C; f(x)dx?f(x)dx.
x?1?C，则f(x)?（ ） x?110
班级： 姓名： 学号： ·11·
2x22(A) 1; (B); (C) ; (D) . ?222(x?1)(x?1)(x?1)(3) 设f(x)的一个原函数为e?2x，则?f?(x)dx?( )
(A) ?2e?2x; (B) ?2e?2x?C; (C)?1e?2x; (D)?1e?2x?C.
222.求下列不定积分 (1) ?1dx; (2) ?1dx;
x2 (3) ?(x2?3x?1)dx;
(5) ?ex(1?e?xx)dx; 2x2 (7) ?1?2; x2(1?x)dx2 (9) ?1?x 1?x4dx; (11) ?cos2xcos2x?sin2xdx; 3.求下列不定积分
(1) ?(2x?5)10dx; (3) ?11?3xdx;
(5) ?xe?x2dx;
(7) ?1dx;
(arcsinx)21?x2 (9) ?cos3xdx; (11) ?11?cosxdx;
x
(4) ?dh（g是常数）;
2gh2
(6) ?x1?x2dx;
(8) ?secx(secx?tanx)dx；
(10) ?(2x?3x)2dx;
(12) ?sin2x2dx； (2) ?e?3xdx;
(4) ?sinxdx ；
x
(6) ?xdx;
2?3x2
(8) ?1dx;
x1?lnx (10) ?1ex?e?xdx;
(12) ?1?xdx;
1?4x211
(13) ?sinxcosxx323dx;
(14) ?dx;
sinxcosx (15) ?9?x3dx;
(16) ?sin2xcos3xdx; (18) ?sinx?cosxdx;
3 (17) ?tan (19) ? (21) ?xsecxdx;
sinx?cosxsinxcosx1?sinarctan4xxdx;
(20) ?tan(22) ?1?x?2x1?x2dx;
x?1?x?dx;
dx(1?x)23;
(23) ?x222dx(a?0);
a?x(24) ?1xx?12dx;
(25) ?11?1?x2dx;
f(lnx)xdx.
4.设f(x)的一个原函数为e?x，计算?5.设?xf(x)dx?arcsinx?C，计算?6．求下列不定积分： ?xe?2xdx;
21dx. f(x)
?xsin5xdx;
?ln?e xdx
?arccosxdx
?(x2?2x?5)e?xdx
?arctan(2x)dx ?(arcsinx)2dx
?xcosxdx
?xln(x?1)dx
?ln(1?x?xtan22)dx
xdx;
?cos(lnx)dx;
?ln(x?1?x)dx;
?e(x1?lnx)dx; x7．求下列不定积分：
12
⒈ ?⒊ ?班级： 姓名： 学号： ·13·
2x?31; ⒉ dx; dx2?2x?3x?1x(x?4)1x(1?x)x?1x(x?1)2228dx;
⒋ ?xdx; x?31?x2323⒌ ?dx;
⒍ ?(1?x)(1?x)11?3dx;
⒎ ?x?1(x?1)(x?1)dxx?42dx;
⒏ ?x?1dx;
⒐ ?; x
⒑ ?1x1?xdx; 1?x⒒ ?e2xxdx;
e?1⒓ ?⒕ ?⒗ ?cotxdx;
1?sinxsin21?sinx⒔ ? dx;
1?sinx
x?14cosxdx;
⒖ ?1 dx;
3?cosxdx.
1?sinx?cosx第五章 定积分
⒈ 试用定积分表示：
⑴ 曲线y?sinx,x?[0,?]与x轴围成的图形的面积
⑵ 曲线y?cosx,x?[0,?]与x轴及x?0,x??所围成的图形的面积 ⒉ 利用定积分的几何意义求下列积分： ⑴ ?(x?1)dx;
012
dydx. ：
⑵ ?|x|dx;
?1⑶ ?a0a?xdx22(a?0)
⑷ ?sinxdx.
???3． 计算下列函数y?y(x)的导数⑴ y?⑶ y???x0cos(1?t)dt;
2
⑵ y?⑷ y???x20ln(1?t)dt;
edt;
t2?1xtedt;
?t
cosxsinx?x??⑸ ??y??
??t0t0(1?cosu)du;
sinudu
t?2?x??sinudu0⑹ ?;
4??y?cost213
⑺ ?etdt??0yxy0costdt?0.
x04． 求f(x)??2t?11?t2dt在[0,1]上的最大值与最小值。
5． 求下列极限： ⑴ lim?x0ln(cost)dtx3;
32
x?0⑵ lim?x0sintdtx32;
?xx?0⑶ lim??x0x02tdt;
x??0⑷ lim?x0(e?ex)dxt(t?sint)dtx?01?cosx；
6．计算下列定积分： ⑴ ?⑶ ?⑸ ?102(2x?4x?3)dx;
12
⑵ ?1?11?111?x2dx;
?4020tan2xdx;
⑷ ?(1?|x|)dx; ⑹ ?2?032x?2x?xdx;
|sinx|dx
1??2⑺ 设f(x)??1?x?x?0?x?1?x?12，求?f(x)dx.
017． 设f(x)在[0，1]上连续，且单调递减，F(x)?1??sinx8． 设f(x)??2??00?x??x?0或x??1x??x0（0，1）内F?(x)?0。 f(t)dt,证明在
,求?(x)?x0f(t)dt在(??,??)内的表达式。
9． 设f(x)?C[a,b]，且f(x)?0,x?[a,b],F(x)?证明：⑴F?(x)?2;
⑵方程F(x)?0在(a,b)内有且仅有一个根。 10.计算下列定积分：
?11dx； ; （1）?3?2(11?5x)（3）?e1?xaf(t)dt??xb1dt,x?[a,b] f(t)
（2）?(1?sin0?3x)dx;
1?lnxdx；; x（4）?31dxx1?x2；
14
班级： 姓名： 学号： ·15·
（5）?2?22(8?2y)dy；
（6）?（8）?2a0xdx3a?x22；
（7）?341dx1?x?1? ;
2??2cosx?cosxdx；
3（9）??0?1?x2x?03，求?f(x?2)dx. 1?cos2xdx (10) 设f(x)???x1x?0?e11.利用函数的奇偶性计算下列积分： （1）?（3）?10?105?5(x?xsin43100?x)dx;
2222
（2）?121?2(arcsinx)1?x22dx;
xx?3x?1?20dx.
12.证明：??cosxdx=.
4sinx?cosxba13.设f?C[a,b],且?f(x)dx?1,求?f(a?b?x)dx.
ab14.设f(x)是l以为周期的连续函数，证明：对任意的常数a,有:
?15.设f?C(??,??).证明：
xa?laf(x)dx??l0f(x)dx
(1)若f(x)是奇函数，则?f(t)dt是偶函数；(2)若f(x)是偶函数，则?f(t)dt是奇函数.
00x16.计算下列定积分 (1)
??0xsinxdx ； (2)
???0e1e|lnx|dx；
(3)
?10?xarctanxdx ； (4)
20e2xcosxdx.
17.设f(x)可导，且f(0)?2,f(2)?3,f?(2)?5,求I?18.计算定积分?19.计算?(?011x2?21xf??(2x)dx.
(|x|?x)e?|x|dx.
sinyydy)dx.
15
20.计算下列定积分 (1)
?????xsinxdx; x24
(2) (4)
??2?1?246cos?d?;
(3)
?2024?xdx;
?1|x|ln(x?21?x)dx.
21.下列反常积分是否收敛？如果收敛求出它的值. (1) ???1dxx5; dx (2)
???1dx3; dxx (3) ?(5) ???12x(x?1)e?x;
(4) ?(6) ?(8) ?????2x?4x?9;
??0dx;
??010e?xsinxdx;
x1?x2 (7) ?3?3dx(2?x)xx?15; dx;
(9) ?21dx;
??0
(10) ?dx.
?1?cosx22??22.利用递推公式计算反常积分In??xne?xdx .
第六章 定积分的应用
1.求下列图形的面积:
11(1)在区间[，2]上连续曲线y?lnx,x轴及二直线x?,x?2所围成的平面图形;
22 (2)由两条曲线y?x,x?y围成的平面图形; (3)y?1与直线y?x及x?2所围成的平面图形； x22 (4)直线x?0,x?2?与曲线y?sinx,y?cosx所围成的平面图形;
(5)曲线x?a(t?sint),y?a(1?cost)(a?0,0?t?2?)的一拱与x轴所围成的平面图形;
(6)求星形线x?acost,y?asint(o?t?2?)所围成的平面图形; (7)求曲线?
33?a(1?cos?)(a?0)所围成的平面图形；
16
班级： 姓名： 学号： ·17·
(8)圆??2sin?与双纽线?2?2sin2?所围成的平面图形。
2.求下列立体的体积:
(1)曲线y?(x?1)(x?2),x轴围成的平面图形分别绕x轴及y轴旋转所形成的立体; (2)曲线y?ex及其上过原点的切线与y轴所围成的平面图形绕y轴旋转所形成的立体. (3)圆盘x2?(y?5)2?16绕x轴旋转所得的旋转体；
(4) 摆线x?a(t?sint),y?a(1?cost)(a?0,0?t?2?)及y?0所围的图形绕直线
y?2a旋转所得的旋转体；
(5) 底面半径为R的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体。 3.曲线方程为y?e?x(x?0):
(1)把曲线y?e?x(x?0)，x 轴，y轴，直线x??(??0)所围成的平面图形绕x 轴旋转一
1周，求此旋转体的体积V(?);求满足V(a)?limV(?)的a.
2???? (2)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积。
4.下列各弧长:
(1)曲线y?lnx上由x?3到x?328的一段弧;
(2)半立方抛物线的一支y?x上x?0到x?1的一段弧； (3)星形线x?acost,y?asint(a?0,o?t?2?)的全长; (4) 求心脏线r?1?cos?(0???2?)的全长.
5.已知弹簧在拉伸过程中，拉力F（单位：N）与伸长量s（单位：cm）成正比.某弹簧拉伸1cm时，需要的拉力是2N，如果弹簧拉伸6cm，计算需要作的功.
6.直径为20cm，高为80cm的圆柱形容器内充满压强为10 N/cm2的蒸汽. 设温度保持不变，要使蒸汽体积减少一半，问需要作多少功？
7.一比重为2.5 (g)，底半径为R (m)，高为H (m)的圆柱体沉入水中，上底与水面平齐，求把它捞出水面所作的功.
33第八章 多元函数微分法及其应用
1.求下列函数表达式:
17
(1)f(x,y)?xy?yx，求f(xy,x?y) 2.求下列极限: (1) (3)
(x,y)?(0,1)(2)f(x?y,x?y)?x2?y2，求f(x,y)
lim1?x?xyx?y22
(2)(4)lim(x,y)?(0,0)22lim2?xy?4xy2
(x,y)?(1,0)lim(2?x)sin(xy)yxy?1?1x?y2
x?0y?03.证明下列函数当(x,y)?(0,0)时极限不存在: (1)f(x,y)?x?yx?y2222 (2)f(x,y)?xy22222xy?(x?y)
4.求下列函数的一阶偏导数: (1)z?xy?xy
2
2
(2)z?arctanyx
(3)z?ln(x? (5)u? x?y)
(4)u?ln(x2?y2?z2) (6)z?sinyxcosyx? yz xz etdt
2
(7)z?(1?xy)x?y (8)u?e???cos(???)
5.求下列函数的高阶偏导数: (1)z?xln(xy)， 求
?z?x22，
2?z?y22，
2?z?x?y22
2(2)z?cos(x?2y)，求(3)z?2?z?x222，
?z?y22，
?z?x?y，
?z?y?x
? x2?y2 xedt， 求
t?z?x，
?z?x?y
，求fxy(0,0)和fyx(0,0).
33?xy?xy?6.设f(x,y)??x2?y2??0x2?y2?0 x2?y2?07.设z?e8.设r?11?(?)xy， 求证x222?z?x?y2?z?y?2z ?r?y22x?y?z2， 证明
?r?x22???r?z22?2r
9.求下列函数的全微分
18
(1)z?ln班级： 姓名： 学号： ·19·
x?y22 (2)z?arctan x?y
1?xyy?0
(3)z?ysinx,(5)u?ex(x2
(4)u?xz2?y2
?y2?z2) (6)u?xyz
1?(x2?y2)sin(x,y)?(0,0)?210.研究函数f(x,y)??x?y2? (x,y)?(0,0)?0在点(0,0)处的可微性.
11.求下列复合函数的一阶偏导数（f是C(1)类函数） (1)z?f(x2?y2,exy) (3)z?yf(x2 (2)z?f(xy,y)
y?y)2 (4)u?xy?zf()
x12.设u?f(x,xy,xyz)且f具有二阶连续偏导数，求
yx?u?x?x?z,?u2
?z?z213.已知z?xf()?2y?()，其中f,?有二阶连续导数，求
xy,
?x?x?y14.设z?f(xy,xy)?g(yx)，其中f,g有连续二阶偏导数，求
?z?x?y2
15．求下列方程所确定的隐函数z?z(x,y)的一阶偏导数(1)z?2xz?y?0
xz (3)?ln
zy3?z?z ,?x?y
(2)3sin(x?2y?z)?x?2y?z
(4)x?2y?z?2xyz?0
16．求下列方程所确定的隐函数的指定偏导数 (1)设e?xyz?0,z?2z求 2 ?x3 (2)设z?3xyz?a,3?2z求 ?x?y?2z求 ?x?y19
(3)设e
x?ysin(x?z)?1,
x?t2 (4)设z?lnz?? yedt?0,?2z 求 ?x?y?u?x(1,1,1)17．设u?xy2z3，而z?z(x,y)是由方程x2?y2?z2?3xyz所确定的隐函数，求18．求下列函数的极值
（1）f(x,y)?e2x(x?y2?2y)
（2）f(x,y)?3x2y?y3?3x2?3y2?2 19．求下列函数在约束方程下的最大值与最小值 （1）f(x,y)?2x?y,（2）f(x,y,z)?xyz,x?4y2222
?1
2x?2y?3z?6
20．从斜边之长为l的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形. 21．求两曲面z?x2?2y2,z?6?2x2?y2交线上的点与xoy面距离最小值. 22．求抛物线y?x2到直线x?y?2?0之间的最短距离.
23．抛物面z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离.
第九章 重积分
1． 画出积分区域并计算下列二重积分
(1)??(3x?2y)d?，其中D是由x?0,y?0及x?y?2所围成的闭区域
Dx(2)??yedxdy，其中D是顶点分别为（0,0），（2,4），（6,0）的三角形闭区域
D (3)??xDyd?，其中D是由y?x及y?x所围成的区域
2(4)??sinD2xdxdy，D是由y?x,y?2及x?y3所围成 y22(5)??xydxdy，D是由x?y?4及y轴围成的右半闭区域
D(6)??eDx?ydxdy，D是由|x|?|y|?1所确定的闭区域
2．按两种不同次序化二重积分??f(x,y)dxdy为二次积分.其中D为
D(1)由直线y?x及抛物线y?4x所围成的闭区域 (2)由直线y?x,x?2及双曲线y?22221x(x?0)所围成的闭区域
(3)由x轴及半圆周x?y?r(y?0)所围成的闭区域
20
班级： 姓名： 学号： ·21·
(4)由(x?1)2?(y?1)2?1所确定的闭区域 3．改变下列二次积分的次序 (1)?dy? 0 2 2y y2f(x,y)dx
4
4?y
(2)?dx? 1 2 2x?x2 2?x 1?y2f(x,y)dy；
f(x,y)dx；
(3)?dx? 1 e lnx 0f(x,y)dy
(4)?dy? 0 1 ?1?y2 (5)? 0 ?2dy? y?2 0f(x,y)dx?? 0dy? 0f(x,y)dx
4．求下列积分 (1)I?? 1 0dy?edx
y 1x2
(2)?dy?6 0 ? ?6 ycosxdx x5．设平面薄片所占的闭区域D由x?y?2,y?x及x轴所围成，它的面密度为
22?(x,y)?x?y，求此薄片的质量
6．设f(x,y)在区域D上连续，且f(x,y)?xy?2y?x及x?1所围成的区域，求f(x,y)
??Df(u,v)dudv，其中D是由y?0，
7．画出积分区域,将积分??f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域D是
D（1）x2?y2?2x
（2）0?y?1?x,0?x?1
8．把下列积分化为极坐标形式,求积分的值
(1)?dx?(x?y)dy (2)?dx?0x21x22?12a3x00x?ydy
22(3)
? a0dy?a2?y20(x2?y2)dx
9．利用极坐标计算下列各题
22(1)??ln(1?x?y)d?其中D是由圆周x?y?1及坐标轴所围成的位于第一象限的闭
22D区域 (2)??arctanDyxd?,其中D是由圆周x?y22?4,x?y22?1及直线y?0,y?x所
成的在第一象限内的闭区域 10．用适当的坐标计算下列各题 (1)??
Dxy22d?,其中D是由直线x?2,y?x及曲线xy?1所围成的闭区域
21
(2)??D1?x?y1?x?y2222d?,其中D是由圆周x2?y2?1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭
区域
22 (3)??Dx?yd?, 其中D是由x?y22?a,x?y222?ax 及x?0在第一象限围成的
区域
(4)??sinxycos(x?y)d?, D:x2?y2?1
D22 (5)??Dx?yx?y22dxdyD:x?y222?1,x?y?1
（6）计算??(2x?3y)dxdyD:x2?y2?4
D11．求位于圆周??3cos?的内部及心形线??1?cos?的外部的区域的面积. 12．求由曲面z?x?y与z?221?x?y22围成的立体的体积
第十二章 微分方程
1.求下列微分方程的通解： (1)xy??ylny?0;
(2)ex?ydx?ydy?0
(4)cosxsinydx?sinxcosydy?0 (2)y??1?x?y?xy,y22 (3)y??xy??a(y2?y?); (1)y?sinx?ylny,(3)y??e2x?y2.求出下列微分方程满足所给初始条件的特解：
yx??2?e; yx?0?1
,yx?0?0;
(4)cosydx?(1?e?x)sinydy?0,x?0??4
3.一曲线通过点（2,3）,它在两坐标轴之间的任意切线段均被切点所平分，求这曲线的方程。 4.求满足方程?f(t)dt?x?0x?x0tf(x?t)dt的可微函数y?f(x)。
5. 求下列齐次方程的通解： (1)x (3)dydx?2yx?yx22dydx?ylnyx; (2)(x?y)dx?3xydy?0
332
6. 求下列初值问题的解：
22
班级： 姓名： 学号： ·23·
(1)(x?y)dy?2xydx?0, (2)xyy??x?y,2222yx?0?1;
yx?1?2
7.化下列方程为齐次方程,并求出通解: (1)(2y?x?5)dx?(2x?y?4)dy?0; 8.求下列微分方程的通解： (1)xy??y?x2?3x?2; (3)y??ytanx?sin2x;
(2)y??ycosx?e?sinx
y(4)y??
y?x(6)ylnydx?(x?lny)dy?0
(2)(x?y)dx?(3x?3y?4)dy?0.
(5)(x2?1)y??2xy?cosx?0 9.求下列微分方程满足初值条件的特解： (1)y??3y?8,(3)y??2?3xx32yx?0?2;
y
(2)y??(4)
dydx?yx?e,xyx?1?0
y?1,x?1?0;
yx?sinx, yxx???1.
10.已知连续函数f(x)满足条件f(x)?11. 求下列微分方程的通解： (1)
dydx?yx?a(lnx)y;
2?3x0t2xf()dt?e,求f(x). 3
(2)
dydx?y?xy; 1?1 x?y5 (3)
dydx?1; x?y (4)y??12. 设曲线L位于xoy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴相交，其交点记 为A，如果点A和点O与点M始终等距，且L通过点(,)，试求L的方程。 13.求一曲线的方程，该曲线通过原点，并且它在点(x,y)处的切线斜率等于2x?y. 14判断下列那些方程为全微分方程，并求其通解。 （1）2xydy?(e?y)dx
（2）(3x?ycosx)dx?(sinx?4y)dy?0 （3）(x?y)dx?2xydy?0
（4）(sinxy?xycosxy)dx?xysinxydy?0 15. 求下列微分方程的通解：
23
2223322x2
(1)y(4)?x?sinx; (5)yy???2y?2;
(2)(1?x2)y???1 (4)y???y??x (6)y???y?2?2e?y
(3)(x?1)y???y??ln(x?1);
16. 求下列微分方程的特解： (1)(1?x)y???2xy?, (2)y???(y?)?1, (3)y???2y,322yyx?0x?0?1,y?x?0?3;
?0,y?y?x?0?0;
x?3yx?3?1,?1; (4)y???e22y,yx?0?0,y?x?0?0
17. 试求y???x的经过点M（0,1）且在此点与直线y?x?1相切的积分曲线。
18．设线性无关的函数y1,y2,y3都是方程y???p(x)y??q(x)y?f(x)的解，C1,C2是任意常数，则该方程的通解是（ ）
(A)C1y1?C2y2?y3;
(B)C1y1?C2y2?(C1?C2)y3; (D)C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3;
(C)C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3;
19.求下列微分方程的通解：
(1)y???y??2y?0; (3)y???4y?0;
(2)y???3y??2y?0; (4)y???4y??5y?0;
(6)y???2y??ay?0;(a为常数) (8)y(4)
(5)y???6y??9y?0;
(7)y????6y???11y??6y?0; ?3y???4y?0.
20求下列初值问题的解： (1)y???4y??3y?0;yx?0?6,y?x?0?10; ?3,y?x?0(2)y???6y??13y?0;yx?0??1.
21.求下列微分方程的通解：
(1)2y???y??y?2e;
x (2)2y???5y??5x?2x?1;
222.求下列初值问题的解： (1)y???3y??2y?5,yxx?0?1,y?x?0?2;
(2)y???y?sin2x?0,yx???1,y?x???1; ?1,y?x?0?1.
(3)y???2y??y?xe,yx?0x?0,y?x?0?0; (4)y???y?e?cosx,yx?0x23.试求y???2x的经过点M(0,1)，且在此点与直线y??1相切的积分曲线。
2024.设函数?(x)连续，且满足?(x)?ex?
?x0t?(t)dt?x??(t)dt,求?(x).
x24