解：特征方程r2-5r?6?0??????????1分特征解r1?2,r2?3.??????????1分 次方程的通解Y=C1e2x?C2e3x.???????1分令y*?x(b0x?b1)e2x???????????1分1代入解得b0??，b1??1.21所以y*?x(?x?1)e2x???????????1分21所以所求通解y?C1e2x?C2e3x?x(x?1)e2x.????1分2
2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的比重为?，计算桶的一端面上所受的压力．
解：建立坐标系如图
P??2?gxR2?x2dx?????????4分0R???g?R0R2?x2d（R2?x2）??????1分32R???g[（R2?x2）2]0??????1分32?g3?R????????????????1分3
f2(x)dx?1f(x)[a,b]f(a)?f(b)?0?3. （本题8分）设在上有连续的导数，，且a， 试求?abby axf(x)f?(x)dx.
ba x 解：?xf(x)f?(x)dx??xf(x)df(x)?????2分b1b ??xdf2(x)?????2分a21b22b =[xf(x)]a??f(x)dx??2分2a11 =0????????????2分22
4. （本题8分）过坐标原点作曲线y?lnx的切线，该切线与曲线y?lnx及x轴围成
平面图形D.
(1) 求D的面积A;
(2) 求D绕直线x?e旋转一周所得旋转体的体积V.
y解：(1) 设切点的横坐标为x0，则曲线
y?lnx在点(x0,lnx0)处的切线方程是
1DO1ex
y?lnx0?1(x?x0).x0 ----1分
由该切线过原点知 lnx0?1?0，从而x0?e.所以该切线的方程为
平面图形D的面积
y?1x.e ----1分
A??(ey?ey)dy?011e?1.2 ----2分
（2） 切线
y?1xe与x轴及直线x?e所围成的三角形绕直线x?e旋转所得的圆锥体积为
1V1??e2.3 ----2分
曲线y?lnx与x轴及直线x?e所围成的图形绕直线x?e旋转所得的旋转体体积为
V2???(e?ey)2dy01， ----1分
因此所求旋转体的体积为
11?V?V1?V2??e2???(e?ey)2dy?(5e2?12e?3).036 ----1分
五、证明题（本题共1小题，共7分）.
x1.证明对于任意的实数x，e?1?x.
e?2e?1?x?x?1?x2解法一： xf(x)?e?x?1.则f(0)?0.------------------------1分 解法二：设
xx?f(x)?e?1.------------------------—————— 1分 因为
当x?0时，f?(x)?0.f(x)单调增加，f(x)?f(0)?0.------------------------2分
当x?0时，f?(x)?0.f(x)单调增加，f(x)?f(0)?0.------------------------2分
x所以对于任意的实数x，f(x)?0.即e?1?x。------------------------1分 解法三：由微分中值定理得，
ex?1?ex?e0?e?(x?0)?e?x，其中?位于0到x之间。------------------------2
分
?x当x?0时，e?1，e?1?x。------------------------2分 ?x当x?0时，e?1，e?1?x。------------------------2分 x所以对于任意的实数x，e?1?x。------------------------1分
2009—2010学年第一学期
《高等数学（2-1）》期末试卷
一．填空题（每小题4分，5题共20分）：
11． 2．
lim(e?x)x?x?0x2e.
4e.
dy确定，则dxx?012?1?1x?1?x2005??ex?e?x?dx?x?y23．设函数y?y(x)由方程?14. 设f?x?可导，且
e?tdt?x?e?1.
12x2?x1tf(t)dt?f(x)，f(0)?1，则f?x??e?2x.
5．微分方程y???4y??4y?0的通解为y?(C1?C2x)e二．选择题（每小题4分，4题共16分）：
.
1．设常数k?0，则函数
(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程y???4y?3cos2x的特解形式为 （ C ）
??y?Acos2xy（A）； （B）?Axcos2x； ?（C）y?Axcos2x?Bxsin2x； （D）y?Asin2x 3．下列结论不一定成立的是 （ A ）
f(x)?lnx?x?k(0,??)内零点的个数为（ B ）. e 在
*(A) 若?c,d???a,b?,则必有
?dcf?x?dx??f?x?dxabb;
f?x?dx?0???a,bf(x)?0a(B) 若在上可积,则;
(C) 若f?x?是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有(D) 若可积函数f?x?为奇函数,则
?a?Taf?x?dx??f?x?dx0T;
?x0tf?t?dt也为奇函数.
f?x??1?e1x1x2?3e, 则x?0是f(x)的（ C ）. 4. 设
(A) 连续点; (B) 可去间断点;
(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分?0 解：
2x3e?xdx202.
2设x2?t,则?x3e?xdx??1?t12tedt???tde?t0220 -------2
2?221????te?t??e?tdt?002?? -------2
2131??e?2?e?t??e?20222 --------2
2．计算不定积分解：
?xsinxdxcos5x.
xsinx111?xdx?dx?xd()??4?cos5x?cos4x?4?cos4x4??cosx? --------3
?x12?(tanx?1)dtanx4?4cosx4x113??tanx?tanx?C44cosx124 -----------3 ?x?a(t?sint),??t?2处的切线的方程. 3．求摆线?y?a(1?cost),在
解：切点为
(a(?2?1),a) -------2
k?
dyasint?s)t??dxt??a(1?cot22?1 -------2
切线方程为
xy?a?x?a(?2?1) 即
y?x?(2??2)a. -------2
4. 设 5．设
F(x)??cos(x2?t)dt022?F(x)?2xcosx?(2x?1)cos(x?x). ，则
xn?n(n?1)(n?2)(n?3)?(2n)limxnn，求n??.
1nilnxn??ln1(?)ni?1n ---------2 解：
n1i1limlnxn?lim?ln(1?)??ln(1?x)dx0n??n??nni?1 --------------2 1dx?2ln2?101?x = ------------2 42ln2?1?limxnee 故 n??=
xln(1?x)10??x1四．应用题（每小题9分，3题共27分） 1．求由曲线y?x?2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.