10(1＋3i)22
∴a＋b－3i(a＋bi)＝，
10∴a＋b＋3b－3ai＝1＋3i，
??a＋b＋3b＝1，∴?
?－3a＝3.?
2
2
2
2
??a＝－1，
∴?
?b＝0，?
??a＝－1，
或?
?b＝－3?
.
∴z＝－1，或z＝－1－3i. 18.解.答案：1. f'?x??1?2ax?b. x1?a?0由已知条件得{即{
f'?1??21?2a?b?2解得a??1,b?3.
2. f?x?的定义域为?0,???, 由1知f?x??x?x?3lnx.
2f?1??0设g?x??f?x???2x?2??2?x?x?3lnx,则
2g??x???1?2x??x?1??2x?3?. 3??xx当0?x?1时, g'?x??0;当x?1时, g'?x??0. 所以g?x?在?0,1?单调递增,在?1,???单调递减. 而g?1??0,故当x?0时, g?x??0,即f?x??2x?2.
19. (1)甲班成绩为87分的同学有2个，其他不低于80分的同学有3个“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有C5＝10个，
7112
“抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有C3C2＋C2＝7个，所以P＝.
10(2)
2
优秀 不优秀 合计 甲班 6 14 20 乙班 14 6 20 合计 20 20 40 K＝2
－
20×20×20×20
2＝6.4>5.024，
因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关． 12×(2＋1)
20.解 (1)令n＝2，∵a1＝，∴S2＝a2，
62
1
即a1＋a2＝3a2.∴a2＝.
123×(3＋1)
令n＝3，得S3＝a3，
21
即a1＋a2＋a3＝6a3，∴a3＝. 204×(4＋1)
令n＝4，得S4＝a4，
21
即a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，∴a4＝.
30
1
(2)猜想an＝，下面用数学归纳法给出证明．
(n＋1)(n＋2)11
①当n＝1时，a1＝＝，结论成立．
6(1＋1)(1＋2)1
②假设当n＝k时，结论成立，即ak＝，
(k＋1)(k＋2)则当n＝k＋1时，Sk＝
k(k＋1)k(k＋1)
ak＝·2
21k＝，
(k＋1)(k＋2)2(k＋2)
Sk＋1＝(k＋1)(k＋2)
ak＋1，
2
(k＋1)(k＋2)
即Sk＋ak＋1＝ak＋1.
2∴
k(k＋1)(k＋2)
＋ak＋1＝ak＋1.
2(k＋2)2
kk2(k＋2)
∴ak＋1＝
(k＋1)(k＋2)
2
＝
1
.
(k＋2)(k＋3)
＝ k(k＋3)(k＋2)－1
当n＝k＋1时结论成立．
由①②可知，对一切n∈N都有an＝
*
1
. (n＋1)(n＋2)
21. (1)记“该学生考上大学”为事件A，其对立事件为A，则
34
P(A)＝C14()()()＋()＝
12
3323236416112＋＝. 24381243
112131
∴P(A)＝1－P(A)＝1－＝. 243243
(2)该生参加测试次数ξ的可能取值为2、3、4、5.
P(ξ＝2)＝()2＝，
1319
P(ξ＝3)＝C1， 2···＝
24P(ξ＝4)＝C1＋＝， 3··()·＋()＝
12
331313
1432713
2323
2341628278181
3
P(ξ＝5)＝C1. 4··()＝
32
81
故ξ的分布列为
ξ 2 1 93 4 274 28 815 32 81P 19
427
2881
E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＝32326. 8181
22.（1）函数f?x?的定义域为???,???，f??x??ex??x?1?ex?kx?xex?kx?xex?k， ①当k?0时，令f??x??0，解得x?0，所以f?x?的单调递减区间是???,0?，单调递增区间是?0,???，
②当0?k?1时，令f??x??0，解得x?lnk或x?0，
所以f?x?在???,lnk?和?0,???上单调递增，在?lnk,0?上单调递减， ③当k?1时，f??x??0，f?x?在???,??上单调递增，
④当k?1时，令f??x??0，解得x?0或x?lnk，所以f?x?在???,0?和?lnk,???上单调递增，在?0,lnk?上单调递减；
（2）f?0???1，①当0?k?1时，由（1）知，当x????,0?时，
??kk2 f?x??fmax?x??f?lnk???lnk?1?k?ln2k????lnk?1??1??0，此时f?x?无零点，
??22当x??0,???时，f?2??e?2k?e?2?0，
22又f?x?在?0,???上单调递增，所以f?x?在?0,???上有唯一的零点， 故函数f?x?在定义域???,???上有唯一的零点，
②当k?1时，由（1）知，当x????,lnk?时，f?x??fmax?x??f?0???1?0，此时f?x?无零点；
当x??lnk,???时，f?lnk??f?0???1?0，
22??kk?1k?1????k?1k?1f?k?1??ke??k?e??，
22????12t令g?t??e?t,t?k?1?2，则g??t??et?t,g???t??et?1，
2因为t?2,g???t??0,g??t?在?2,???上单调递增，g??t??g??2??e2?2?0，
所以g?t?在?2,???上单调递增，得g?t??g?2??e2?2?0，即f?k?1??0，所以f?x?在
?lnk,???上有唯一的零点，故函数f?x?在定义域???,???上有唯一的零点．
综全①②知，当k?0时函数f?x?在定义域???,???上有且只有一个零点．