数学竞赛单元训练题(高中)排列组合
一、选择题
1.公共汽车上有4位乘客，其中任何两人都不在同一车站下车，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方式共有( )
A.15种 B.24种 C.360种 D.480种
2.把10个相同的球放入三个不同的盒子中，使得每个盒子中的球数不少于2，则不同的放法有( )
A.81种 B.15种 C.10种 D.4种
3.12辆警卫车护送三位高级领导人，这三位领导人分别坐在其中的三辆车中.要求在开行后12辆车一字排开，车距相同，车的颜色相同，每辆车内的警卫的工作能力是一样的，三位领导人所坐的车不能相邻，且不能在首尾位置.则共有( )种安排出行的办法.
A. B. C. D.
4.在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共27个点中，不共线的三点组的个数是( )
A.2898 B.2877 C.2876 D.2872
5.有两个同心圆，在外圆上有相异的6个点，内圆上有相异的3个点.由这9个点所确定的直线最少可有( )
A.15条 B.21条 C.36条 D.3条
6.已知两个实数集A={a1，a2，…，a60}与B={b1，b2，…，b25}.若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≥f(a2)≥…≥f(a60).则这样的映射共有( )
A. B. C. D.
二、填空题
7.4410共有__________个不同的正约数.
8.有7个人站成一排，其中A、B不能相邻，C、D必须挨在一起，且C要求在A的右侧.则共有站队方法数是____________.
9.如图，两圆相交于A、B两点，在两圆周上另有六点C、D、E、F、G、H，其中仅E、B、G共线，其他无三点共线.这八点最多可以确定不同圆的个数是__________.
10.一个圆周上有5个红点，7个白点，要求任两个红点不得相邻.那么共有_________种排列方法.
11.平面上给定5点，这些点两两间的连线互不平行，又不垂直，也不重合.现从任一点向其余四点两两之间的连线作垂线，则所有这些垂线间的交点数最多是_____________. 12.10人有相应的10个指纹档案，每个指纹档案上都记录有相应人的指纹痕迹，并有检测指示灯和检测时的手指按扭.10人中某人把手指按在键钮上，若是他的档案，则指示灯出现绿色，否则出现红色.现在这10人把手指按在10个指纹档案的键钮上去检测，规定一个人只能在一个档案上去检测，并且两个人不能在同一个档案上去检测，这时指示灯全部出现红色.这样的情况共有__________种. 三、解答题
13.中、日围棋队各出7名队员，按事先安排好的次序出场进行围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方的2号队员比赛，……，直到有一方队员全部被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程.现在中方只动用了5名队员，就击败了日方的所有队员.问这样的比赛过程有多少种？
14.从1到n(n≥3，且n为整数)之间任取3个不同的整数，使得这3个数的和正好被3整除.如果这样的取法有53922种，试确定n的取值.
15.集合A中有n个元素，其中有m个是特殊元素(m≤n).已知集合A的五元素子集共有68个，且每个子集中都含有至少一个特殊元素.此外，集合A的任意一个三元素子集都恰好被一个五元素子集所包含. (1)求n的取值；
(2)请回答：所有五元素子集中是否有至少含4个特殊元素的集合？
参考答案
一、选择题
1.可把问题转化为：4个不同的元素，放到6个位置中，有种方法，选C.
2.问题相当于：把4个相同的球放入三个不同的盒中，有种放法，故选B.
3.此题即：3个人坐10个位置，一人只能坐一个，且两两不得相邻，有C.
种坐法，选
4.用间接法.容易求得共线的三点组共有49个，而所有的三点组共有的三点组共有
(个)，故选C.
，所以不共线
5.设P1、P2、P3是内圆上三点，Q1、Q2，…，Q6分别为三条直线P1P2、P2P3、P3P1与外圆的交点，此时9个点所确定的直线最少有
(条)，选B.
6.此题相当于：用25个从大到小的数从左至右的顺序不变，去插入到a1，a2，a3，…，a60这60个数的两数空隙之间.要求最大数必在a1左侧，最小数不得在a60右侧，共有映射，故选B. 二、填空题
7.由4410=2×3×5×7知：正约数中含2的指数幂有2种，含3的指数幂有3种情况，含5的指数幂有2种情况，含7的指数幂有3种情况，而2、3、5、7均为质数，故根据分步原理共有2×3×2×3=36个不同的正约数.
8.把C、D捆绑起来看作一个元素，元素A只能安放在从左至右的前5个位置中，故对A的位置分类：
2
2
个
若A在左起第1位，则有
数学竞赛单
元训练题(高中)排列组合
一、选择题
1.公共汽车上有4位乘客，其中任何两人都不在同一车站下车，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方式共有( )
A.15种 B.24种 C.360种 D.480种
2.把10个相同的球放入三个不同的盒子中，使得每个盒子中的球数不少于2，则不同的放法有( )
A.81种 B.15种 C.10种 D.4种
3.12辆警卫车护送三位高级领导人，这三位领导人分别坐在其中的三辆车中.要求在开行后12辆车一字排开，车距相同，车的颜色相同，每辆车内的警卫的工作能力是一样的，三位领导人所坐的车不能相邻，且不能在首尾位置.则共有( )种安排出行的办法.
A. B. C. D.
4.在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共27个点中，不共线的三点组的个数是( )
A.2898 B.2877 C.2876 D.2872
5.有两个同心圆，在外圆上有相异的6个点，内圆上有相异的3个点.由这9个点所确定的直线最少可有( )
A.15条 B.21条 C.36条 D.3条
6.已知两个实数集A={a1，a2，…，a60}与B={b1，b2，…，b25}.若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≥f(a2)≥…≥f(a60).则这样的映射共有( )
A. B. C. D.
二、填空题
7.4410共有__________个不同的正约数.
8.有7个人站成一排，其中A、B不能相邻，C、D必须挨在一起，且C要求在A的右侧.则共有站队方法数是____________.
9.如图，两圆相交于A、B两点，在两圆周上另有六点C、D、E、F、G、H，其中仅E、B、G共线，其他无三点共线.这八点最多可以确定不同圆的个数是__________.