第一章 解三角形
1、正弦定理：
在???C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，R为???C的外接圆的半径，则有：
abc???2R． sin?sin?sinC2、正弦定理的变形公式：
①a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC；
abc，sin??，sinC?； 2R2R2R③a:b:c?sin?:sin?:sinC；
a?b?cabc④． ???sin??sin??sinCsin?sin?sinC②sin??注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。
2、已知两角和一边，求其余的量。
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点： C 当无交点则B无解、
当有一个交点则B有一解、
a 当有两个交点则B有两个解。 b 法二：是算出CD=bsinA,看a的情况： bsinA 当a A 当bsinA 注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式： 111S???C?bcsin??absinC?acsin?． 2224、余弦定理： 在???C中，有a?b?c?2bccos?， b?a?c?2accos?， 222222c2?a2?b2?2abcosC． 5、余弦定理的推论： b2?c2?a2cos??， 2bca2?c2?b2cos??， 2aca2?b2?c2cosC?． 2ab(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状： 设a、b、c是???C的角?、?、C的对边，则： ①若a?b?c，则C?90； ②若a?b?c，则C?90； ③若a?b?c，则C?90． 7、正余弦定理的综合应用： 如图所示：隔河看两目标A、B, 但不能到达，在岸边选取相距3千米的C、D两点， 并测得∠ACB=75, ∠BCD=45, ∠ADC=30, OC ∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。 附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. 练习题 一、选择题 1、在△ABC中，a＝10，B=60°,C=45°,则c等于 （ B ） A．10?3 B．10O O O 222o222o222oB A D ?3?1 ?C．3?1 D．103 2、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2?7x?6?0的根，则三角形的另一边长为 A．52 B．213 C．16 D．4 3、在△ABC中，若(a?c)(a?c)?b(b?c)，则?A?（ C ） A 90 B 60 C 120 D 150 00004 、在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ D ） A．b = 10，A = 45°，B = 70° B．a = 60，c = 48，B = 100° C．a = 7，b = 5，A = 80° D．a = 14，b = 16，A = 45° 5、已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶3∶2，则A∶B∶C等于( A ) A．1∶2∶3 C． 1：3：2 B．2∶3∶1 D．3：1：2 6、若△ABC的周长等于20，面积是103，A＝60°，则BC边的长是（ C ） A． 5 B．6 二、填空题（每题5分,共25分） C．7 D．8 7、在?ABC中，已知sinA:sinB:sinC?6:5:4，则cosA?___________ a?b?c8、在△ABC中，A=60°, b=1, 面积为3，则= sinA?sinB?sinC9、在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD?7，那么BC= 27，且C210、在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c?33，则a?b?________________ 2三．解答题（2小题，共40分） ?60?，又△ABC的 面积为13、在?ABC中，sin(C?A)?1, sinB= 1.（I）求sinA的值； (II)设AC=6，求?ABC的面积. 3 知识点巩固练习（一） 一、选择题 1．在△ABC中，若C?90,a?6,B?30，则c?b等于（ ） A．1 B．?1 C．23 D．?23 2．若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A．sinA B．cosA C．tanA D． 001 tanA3．在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosA?sinB, 则△ABC的形状是（ ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 04．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为60， 则底边长为（ ）A．2 B． 3 C．3 D．23 25．在△ABC中，若b?2asinB，则A等于（ ） A．30或60 B．45或60 C．120或60 D．30或150 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） 00000000 A．90 B．120 C．135 D．150 二、填空题 1．在Rt△ABC中，C?90，则sinAsinB的最大值是_______________。 2．在△ABC中，若a?b?bc?c,则A?_________。 3．在△ABC中，若b?2,B?30,C?135,则a?_________。 4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC?7∶8∶13，则C?_____________。 三、解答题 1． 在△ABC中，若acosA?bcosB?ccosC,则△ABC的形状是什么？ 2．在△ABC中，求证： 0022200000abcosBcosA??c(?) baba 3．在锐角△ABC中，求证：sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC。