第4课时 一次函数的应用——分段函数

1．理解分段函数的特点，会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象；(重点)

2．在多变量的问题的解决中，能合理选择某个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数；(难点)

3．通过画函数的图象，并借助图象研究函数的性质，体验数与形的内在联系，感受函数图象的简洁美．

一、情境导入

小明从家里出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中x表示时间，

y表示小明离他家的距离．

该图表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？

二、合作探究

探究点一：对分段函数图象的理解

某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙

地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车的距离

1

y(千米)与货车行驶的时间x(小时)之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时；②甲、乙两地之间的距离为3

120千米；③图中点B的坐标为(3，75)；④快递车从乙地返回时的速度为90

4千米/时．

以上4个结论中正确的是________．

解析：根据题意可判断图中OA为快递车从甲地行驶到乙地过程中两车的间距，AB为快递车在甲地卸货时两车的间距，BC为快递车返回甲地直至两车相遇过程两车的间距．通过分析找出各个阶段量的关系，可求出正确结论．①A点为快递车到达乙地的时刻，快递车从甲地到乙地共用3小时，两车速度差为120÷3＝40(千米/时)，已知货车速度为60千米/时，则快递车速度为100千米/时，①正确；②甲、乙两地的距离为100×3＝300(千米)，②错误；③B点为快递车卸3

货结束的时刻，快递车卸货45分钟，因此B点横坐标为3，此时货车行驶距离43

为60×3＝225(千米)，300－225＝75(千米)，所以B点纵坐标为75，则点B的

43131

坐标为(3，75)，③正确；④BC段所用时间为4－3＝(小时)，在B点时两车

44421

相距75千米，相遇时货车行驶距离为60×＝30(千米)，快递车行驶距离为75

21

－30＝45(千米)，故此段快递车的速度为45÷＝90(千米/时)，④正确．故答

2案为①③④.

方法总结：要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，读函数的图象时首先要理解横纵

2

坐标表示的含义，理解问题叙述的过程．

探究点二：分段函数的具体应用

某医药研究所开发了一种新药．在试验药效时发现，如果成人按规定

剂量服用，那么服药2小时后血液中含药量最高，达到每毫升6微克(1微克＝10－3毫克)，接着逐步衰减，10小时后血液中含药量为每毫升3微克．若当成人按规定剂量服药后，每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化如图所示．

(1)分别求出0≤x≤2和x>2时，y与x之间的函数解析式；

(2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时药物对疾病的治疗是有效的，那么这个有效时间是多长？

解析：(1)根据图象写出函数解析式．前2小时对应的线段是正比例函数的图象，设为y＝k1x.把(2，6)代入即可求得k1的值．x>2时对应的图象是一次函数，设为y＝k2x＋b.把(2，6)，(10，3)代入即可求得k2、b的值；(2)由图象可知，有两个时刻成人血液中的含药量为4微克，这两个时刻间的时间段内含药量皆高于4微克．

解：(1)当0≤x≤2时，设函数的解析式为y＝k1x(k1≠0)．把(2，6)代入y＝k1x，得k1＝3.∴当0≤x≤2时，y＝3x.当x>2时，设函数的解析式为y＝k2x3

?k＝－，?8?2k＋b＝6，

＋b(k≠0)．把(2，6)，(10，3)代入y＝kx＋b中，得?解得?

27?10k＋b＝3.

b＝.??4

2

2

2

2

2

327

∴当x>2时，y＝－x＋；

84

3

43272222

(2)把y＝4代入y＝3x，得x＝；把y＝4代入y＝－x＋，得x＝.∵

384334

－＝6，∴这个有效时间是6小时． 3

方法总结：本题主要考查根据自变量或函数的取值来确定某段函数的解析式来解决问题．

三、板书设计

?对分段函数图象的理解分段函数?

?分段函数的具体应用

经历一般规律的探索过程，培养学生的抽象思维能力，经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，提升学生的数学应用能力，使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心．体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣．

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