1.51.5(a)0.50.5(b)xi-0.5-1.5020004000n6000800010000xi-0.5-1.5020004000n6000800010000 (d)1.52(c)10.50xi-0.5-1-1.50xi200040006000800010000n-2020004000n6000800010000 图3在不同噪声强度下无标度神经网络中某个神经元的输出膜电压的峰序列，???0.01，

N?100，??0.01.(a)D?10?6,(b)D?10?5,(c)D?10?3.8,(d)D?10?2. 为了定量地描述神经元输出的峰电位的有序程度，参照文献［12］的做法，引入峰峰间隔的标准差与平均值的比值CR作为衡量峰序列有序度的标准，称为相干共振系数.

CR的具体形式如下：

var(T)?T2?-?T?2CR== （5）

?T??T?其中T是峰峰间期序列，???表示取均值，var(T)表示方差.一般来说，CR的值越小，则说明峰序列的有序性越好；反之越差.对于周期性确定序列，CR=0；对于Poisson序列，CR趋近于1.本文中复杂网络的相干共振性可以用各个神经元相干共振系数的均值来衡量，即：

1CR?N?CRi?1Ni，（6）

这里，CRi (i?1,2,...,N)为网络中神经元i的相干共振系数.

10.90.80.7 10.90.8 (a)σ=-0.01σ=-0.05CR(b)ε=0.01ε=0.050.70.60.50.4CR0.60.50.4-5 -4.5-4-3.5D-3-2.5-2-5 -4.5-4-3.5D-3-2.5-210.90.80.70.60.50.4-5 10.90.8 (c)λ=2λ=3N=100N=200(d)CR-4.5-4-3.5-3-2.5-2CR0.70.60.50.4-5 D-4.5-4-3.5D-3-2.5-2 图4相干共振系数CR随噪声强度D的变化曲线，(a)控制参数?=-0.01, -0.05；(b)耦合强度??0.01, 0.05；(c)新增节点的边数??2, 3；（d）网络规模N?100, 200，其

他参数不变.

图4是相干共振系数CR随噪声强度D的变化曲线.随着噪声强度的逐渐增加，相干共振系数CR先增大后减小；当取某个适当值时，CR存在最小值，即网络产生了共振.所以，无标度生物神经网络在有噪声刺激的情况下，系统输出能够通过噪声的作用达到一种较有序的状态，即系统可以产生相干共振现象.可见，噪声提高了神经元的可兴奋性，降低了其放电的相对阈值.

控制参数?的大小对网络的相干共振性有较强的影响.比较图4（a）中???0.01和

???0.05两种情况下得到的相干共振曲线，可以看到两个系统均可以观察到相干共振

现象，即对于不同的参数值，调整噪声强度为某个适当值时，峰电位的有序度可以达到这一参数情况下的最佳状态.同时可以看到，当系统参数取值为???0.01时，相干共振系数CR的最小值远小于参数值为???0.05时的最小值，说明前者共振时峰电位序列的有序度要优于后者.并且当系统参数取值为???0.01时，发生共振时噪声强度比参数值

为???0.05时小一个数量级.这是由神经元的兴奋性差异造成的，控制参数距离分岔点越远，神经元的平衡点位置与放电阈值的差距就越大，因此激发峰电位所需要的噪声强度也就越大.由此可以认为，控制参数越接近分岔点，所得峰电位序列的有序度也就越高，系统在该参数点的相干共振性就越好.

神经元之间的耦合强度?对网络的相干共振性同样有较强的影响.比较图4（b）中

??0.01和??0.05两种情况下得到的相干共振曲线，可以发现耦合强度越高，系统发生

共振所需要的噪声强度越低.这是因为增大?的值，使得神经元之间的突触电流变大，这可以提高神经元的兴奋性，因此较弱的噪声就可以引发相干共振.但是，随着耦合强度越高，发生共振时CR值减小，即峰电位序列的有序性降低.

另外，在无标度网络演化过程中，将每个新增节点的边数由??2增加到??3，对网络的共振特性几乎没有影响（图4（c）），这与增大网络规模的效果类似，图4（d）.网络规模由N?100增大到N?200，相干共振系数仍可以取得极小值，表明相干共振现象可发生在不同规模的无标度神经元网络中.另外，两个网络的相干共振曲线几乎重合，在同一的噪声强度下发生共振，且共振时峰电位序列的有序度近似相等.图5（a）—（c）对应图4（d）中网络规模为N?200，噪声强度分别为D?10?5、D?10?3.8、D?10?2时输出的峰电位序列.与图3比较发现，相同噪声强度下得到的峰电位序列的有序性近似相等.这是由网络模型自身决定的，方程（2）中的突触电流项（4）消除了网络规模对突触电流大小的影响，因而网络规模的增大，不能提高神经元的兴奋性.

(a)11(b)0xi0xi-10200040006000800010000-10200040006000800010000nn2(c)10xi-1-2020004000n6000800010000 图5不同噪声强度下无标度神经网络中某个神经元的输出膜电压的峰序列，???0.01，

N?200，??0.01.(a)D?10?5,(b)D?10?3.8,(c)D?10?2.

4． 结论

本文基于神经元二维映射模型构建一个无标度的生物神经元网络，用高斯白噪声模拟神经系统中的环境噪声，进而研究噪声对神经网络动力学特性的影响.研究发现噪声可以提高神经元的兴奋性，降低其放电阈值，使得神经网络由静息状态转变为放电状态，并且在某一适中的噪声强度下，神经元输出的峰电位序列的有序度达到最佳，即出现相干共振现象.这是因为神经元本身是一个非线性阈值系统，存在一个内在的振荡周期.在弱噪声的刺激下，神经元能够产生小幅的具有一定内在周期性的阈下振荡；当噪声强度适中时，处于阈下振荡峰值处的膜电位随机地跨越阈值而产生放电，且峰峰间隔基本上为内在阈下振荡周期的整数倍，这使得系统的输出达到一种较有序的状态，即出现相干共振现象.可见，该内在的具有一定周期性的阈下振荡在一定程度上等同于随机共振的外加周期信号，是神经元产生整数倍放电节律以及相干共振行为的基础.基于这一现象，本文进一步研究了模型参数、耦合强度以及网络规模对神经网络共振特性的影响.结果表明，模型参数越接近分岔值，即神经元越兴奋，噪声刺激下系统输出的峰电位序列的越

有序，系统在该参数点的相干共振性也就越好；高强度耦合的神经网络发生共振所需要的

噪声强度较低，但是峰电位序列的有序性下降；而网络规模对共振特性的影响甚微.