当且仅当t=2，即k=时，取得等号，
即有f（k）的最大值为．
【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和换元法的运用，以及满足的条件：一正二定三等，属于中档题．
18．（12分）（2015秋?洛阳期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a+c=b+ac． （1）若b=，sinC=2sinA，求c的值； （2）若b=2，求△ABC面积的最大值． 【考点】余弦定理．
【专题】解三角形；不等式的解法及应用．
222
【分析】（1）由正弦定理化简已知可得：c=2a，根据a+c=b+ac．b=，即可解得a，c的值．
222
（2）由余弦定理可求cosB，从而可求sinB，又b=2，a+c=b+ac．解得ac≤4，利用三角形面积公式即可求得△ABC面积的最大值． 【解答】解：（1）∵sinC=2sinA， ∴由正弦定理可得：c=2a，
222
又∵a+c=b+ac．b=， 222∴a+4a=3+2a， 解得：a=1，c=2…6分 （2）由余弦定理可得：cosB=
=
，
222
∴sinB=，
2
2
2
又∵b=2，a+c=b+ac．
22
∴4+ac=a+c≥2ac，即ac≤4， ∴S△ABC=
，当且仅当a=c=2时等号成立．
故△ABC面积的最大值为…12分
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的综合应用，属于中档题．
19．（12分）（2015秋?洛阳期中）解关于x的不等式ax﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）． 【考点】一元二次不等式的解法． 【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由﹣1＜a＜0，a=0，0＜a＜1，a≥1，进行分类讨论，由此利用分类讨论思想和一元二次方程的解法能求出原不等式的解集． 【解答】解：（1）当a=0时，有﹣2x＜0，∴x＞0．
2
（2）a＞0时，∵△=4﹣4a．
2
①当△＞0，即0＜a＜1．方程ax﹣2x+a=0的两根为
2
=，
∴不等式的解集为{x|
2
＜x＜}．
②当△=0，即a=1时，有x﹣2x+1＜0，∴x∈?；
22
③当△＜0，即a＞1时，方程ax﹣2x+a=0无实数根，不等式ax﹣2x+a＜0无解，∴x∈?． （3）当﹣1＜a＜0时，△＞0， 不等式ax﹣2x+a＜0的解集为{x|x＜
2
2
或x＞}．
综上，关于x的不等式ax﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：
当﹣1＜a＜0时，关于x的不等式ax﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：{x|x＜
2
或x＞}；
2
当a=0时，关于x的不等式ax﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：{x|x＞0}； 当0＜a＜1时，关于x的不等式ax﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：{x|
2
＜x
＜}．
2
当a≥1时，关于x的不等式ax﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：?．
【点评】本题考查不等式的解集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用． 20．（12分）（2014?余杭区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知（Ⅰ）求
的值；
．
（Ⅱ）若B为钝角，b=10，求a的取值范围． 【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用． 【专题】计算题；解三角形． 【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理化简已知表达式，通过两角和的正弦函数与三角形的内角和，
求出的值；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）求出a与c的关系，利用B为钝角，b=10，推出关系求a的取值范围． 【解答】（本小题满分14分） 解：（I）由正弦定理，设则
， ，
所以．…（4分）
即（cosA﹣3cosC）sinB=（3sinC﹣sinA）cosB， 化简可得sin（A+B）=3sin（B+C）．…（6分） 又A+B+C=π， 所以sinC=3sinA 因此（II）由
．…（8分）
得c=3a．…（9分）
由题意，…（12分）
∴…（14分）
【点评】本题考查正弦定理与两角和的正弦函数的应用，注意三角形的判断与应用，考查计算能力．
21．（12分）（2011?佛山一模）设数列{an}是首项为a1（a1＞0），公差为2的等差数列，其前n项和为Sn，且
（Ⅰ）求数列{an]的通项公式； （Ⅱ）记
的前n项和为Tn，求Tn．
成等差数列．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式． 【专题】计算题．
【分析】（I）有数列{an}是首项为a1（a1＞0），公差为2的等差数列且等差数列，可以先求出数列的首项即可； （II）有 （I）和
，求出数列bn的通项，有通项求出前n项和为Tn．
成
【解答】解：（Ⅰ）∵S1=a1，S2=a1+a2=2a1+2，S3=a1+a2+a3=3a1+6， 由
成等差数列得，
，即
，
解得a1=1，故an=2n﹣1； （Ⅱ）
n
，
Tn=1×+3×+5×+…+（2n﹣1）?（），①
①×得，
，②
①﹣②得，
=
，
∴．
【点评】此题考查了等差数列的通项公式及等差中项，还考查了错位相减法求数列的前n项的和．
22．（12分）（2015秋?洛阳期中）数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N，
2
总有an，Sn，an成等差数列． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}中，bn=a1?a2?a3?…?an，数列{【考点】数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列．
*
}的前n项和为Tn，求证：Tn＜2．
【分析】（1）对于任意n∈N，总有an，Sn，an成等差数列，可得2Sn=
*2
，利用递推关
系化为：化为（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，由于数列{an}的各项均为正数，可得an﹣an﹣1﹣1=0，利用等差数列的通项公式即可得出． （2）bn=a1?a2?a3?…?an=n!．可得数列{Tn=
+…+
≤1+
+
*
}的前n项和为
，再利用“裂项求和”即可证明．
2
+…+
【解答】（1）解：∵对于任意n∈N，总有an，Sn，an成等差数列，∴2Sn=∴当n≥时，
，相减可得：2an=
﹣
， ，
化为（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，
∵数列{an}的各项均为正数，∴an﹣an﹣1﹣1=0， 当n=1时，
，a1＞0，解得a1=1．
∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1． ∴an=1+（n﹣1）=n．
（2）证明：bn=a1?a2?a3?…?an=n!．