浙江高考数列经典例题汇总 下载本文

浙江高考数列经典例题汇总

1. 【2014年.浙江卷.理19】(本题满分14分)已知数列

?an?和?bn?满足

32a1a2?an?(Ⅰ)求

?2??n?N?.若?a?为等比数列,且a?2,b?6?b.

bn?n1an与bn;

cn?11?n?N??c?Sanbn。记数列n的前n项和为n.

??(Ⅱ)设(i)求

Sn;

?(ii)求正整数k,使得对任意n?N,均有

Sk?Sn.

2. 【2011年.浙江卷.理19】(本题满分14分)已知公差不为0的等差数列

{an}的首项a1?a

111Saaa(a?R),设数列的前n项和为n,且1,2,4成等比数列

(Ⅰ)求数列

{an}的通项公式及Sn

1111B?1?1?1?...?1An????...?na1a2a22a2nS1S2S3Sn,

(Ⅱ)记,当n?2时,试比较

An与Bn的大小.

3. 【2008年.浙江卷.理22】(本题14分)已知数列

?an?,an?0,a1?0,

22?an?a?1?a(n?N).Sn?a1?a2???an?1n?1nTn?111????1?a1(1?a1)(1?a2)(1?a1)(1?a2)?(1?an).

求证:当n?N时, (Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)

4. 【2007年.浙江卷.理21】(本题15分)已知数列方程的两个根,且(Ⅰ)求

?an?an?1; Sn?n?2; Tn?3。

{an}中的相邻两项a2k?1,a2k是关于x的

a2k?1?a2k(k?1,2,3,?)

a1,a3,a5,a7(Ⅱ)求数列

{an}的前2n项的和S2n;

(?1)f(2)(?1)f(3)(?1)f(4)(?1)f(n?1)1|sinn|?????f(n)?(?3)Tn?a1a2a3a4a5a6a2n?1a2n 2sinn(Ⅲ)记,

15?Tn?(n?N*)24求证:6

n?1AxP(x,2)和抛物线Cn:y=x2+an x+nnnn5. 【2005年.浙江卷.理20】设点(,0),

1bn(n∈N*),其中an=-2-4n-2n?1,

xn由以下方法得到: x1=1,点P2(x2,2)在抛物

线C1:y=x2+a1x+b1上,点A1(x1,0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离,…,

nAx0)到Pn?1的距离是An 到Cn P(x,2)在抛物线Cn:n?1n?1点y=x2+an x+bn上,点n(n,

上点的最短距离. (Ⅰ)求x2及C1的方程. (Ⅱ)证明{

xn}是等差数列.

12*an?a12an?1anan?6. 【2015高考浙江,理20】已知数列满足=且=-(n?N)

an?2*an?1(1)证明:1(n?N);

?Sn11??2*an??Sn2(n?2)n2(n?1)Nnn?(2)设数列的前项和为,证明()

7.【2016高考浙江理数】设数列(I)证明:

?an?满足

?an?an?1?1?2,n??.

an?2n?1?a1?2?n,n??;

?3?an????2?,n???,证明:an?2,n???. (II)若

例1.(浙江省新高考研究联盟2017届高三下学期期初联考)已知数列?an?满足a1=3,an+1=an2+2an,n∈N* , 设bn=log2(an+1). (I)求{an}的通项公式; (II)求证:1+

(III)若2n=bn,求证:2≤(

ccn?1n)<3. cn例2.(浙江省温州中学2017届高三3月高考模拟)正项数列?an?满足

22a?1. an?an?3an?1?2an?1,1(Ⅰ)求a2的值;

(Ⅱ)证明:对任意的n?N,an??2an?1;

?(Ⅲ)记数列?an?的前n项和为Sn,证明:对任意的n?N,2?

1?Sn?3. 2n?1

例3.(浙江省温州市十校联合体2017届高三上学期期末)已知数列{an}满足

1a1?1,an?1?an2?m,

8(1)若数列{an}是常数列,求m的值; (2)当m?1时,求证:an?an?1;

(3)求最大的正数m,使得an?4对一切整数n恒成立,并证明你的结论。

例4.(浙江省温州市2017届高三下学期返校联考)设数列

,且满足:

(Ⅰ)(1)证明数列

成等比数列,

均为正项数列,其中成等差数列。

是等差数列;(2)求通项公式

(Ⅱ)设

,数列的前项和记为,证明:。

例5.(浙江省台州市2017届高三上学期期末质量评估)已知数列?an?满足a1?2an???ana,n?N 20161,,2an?1(1) 求证

an?1?an

(2) 求证a2017?1

(3) 若证ak?1,求证整数k的最小值。

例6.(浙江省杭州高级中学2017届高三2月高考模拟考试)数列?an?定义为a1?0,a11?a,

12?an,n?N 2111a??????(1)若a1?的值; (a?0),求

1?2a2?a12?a22?a10an?1?an?(2)当a?0时,定义数列?bn?,b1?ak(k?12),bn?1??1?1?2bn,是否存在正整

数i,j(i?j),使得bi?bj?a?不存在,说明理由。

12a?1?2a?1。如果存在,求出一组(i,j),如果2

例7.(2017年浙江名校高三下学期协作体)已知函数f(x)?(Ⅰ)求方程f(x)?x?0的实数解;

(Ⅱ)如果数列?an?满足a1?1,an?1?f(an)(n?N?),是否存在实数c,使得

4,

4x?15a2n?c?a2n?1对所有的n?N?都成立?证明你的结论.

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设数列?an?的前n项的和为Sn,证明:

例8.(2017年4月湖州、衢州、丽水三地教学质量检测)数列?an?满足a1?1Sn??1. 4n1,2an?1an2 (n?N?)?2an?an?1(1)证明:an?1?an;

(2)设{an}的前n项的和为Sn,证明:Sn?1.

例9.(2017年4月浙江金华十校联考)数列?an?满足a1?11,an?1?an?(n?N?) 2n(1) 求证:

an?2a?n; nn?1(2)求证:2(n?1?1?111??....??n 2a33a4(n?1)an?2

例10.(2017年4月杭州高三年级教学质量检测)已知数列数列an其中前n项和为Sn,且对任意n?N?,都有an?1?(1) 若a1?1,a505?2017,求a6的最大值

(2) 对任意n?N?,都有Sn?1,求证0?an?an?1???的各项均为非负数,

an?an?2 22

n(n?1)

1设数列?an?满足an?1?an2?an?1n?N*,Sn为?an?的前n项和.证明:对任意n?N*, (Ⅰ)当0≤a1≤1时,0≤an≤1; (Ⅱ)当a1?1时,an??a1?1?a1n?1; (Ⅲ)当a1?

2.已知数列?an?满足a1???1时,n?2n?Sn?n. 21且an?1?an?ban2(n?N?) 2(1)b??1,求证:1?an?2 an?1(2)b?2,数列??1?2的前,求证:n项和为S1??Sn?1 ?nn31?2an??

3.已知各项均为正数的数列?an?,a122an?an?1(1) 求证:Sn?

42?1,前n项和为Sn,且an?an?2Sn?1.

(2)求证:

SnS?1 ?S1?S2????Sn?n?122

4.设A?x1,(1)当x1f(x1)?,B?x2,f(x2)?是函数f(x)?1x?log2的图象上的任意两点. 21?x?x2?1时,求f(x1)?f(x2)的值;

?1????n?1??2?f??????n?1??n?1?f????n?1?2(2)设Sn?f??n?*f??,其中n?N,求Sn; ?n?1??1?*?(3)对于(2)中的Sn,已知an??,其中,设Tn为数列?an?的前n项的n?N?S?1??n?和,求证:

45?Tn?. 93

5.给定正整数n和正数M.对于满足条件a1?an?1?M的所有等差数列a1,a2,a3,…,22S=an?1?an?2?…+a2n?1, 2(1)求证:2?5?S??n?1???M

6.已知数列{an}满足a1?3,a2n?1?an?2an,n?N*,n?2,设(Ⅰ)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式; (Ⅱ)求证:1?12?13?????1b1?n(n?2); n?(III)若2cn?bn,求证:2?(cn?1c)n?3. n

bn?log2(an?1).

7.已知数列{an}满足a1?1,an?1?12an?m, 8(1)若数列{an}是常数列,求m的值; (2)当m?1时,求证:an?an?1;

(3)求最大的正数m,使得an?4对一切整数n恒成立,并证明你的结论.

8.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn?2an?3*,n?N. n2(1)求证{an?1}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式; 2n(2)设数列{1}的前n项和为Tn,是否存在正整数?,对任意Sn若存在,求出?的最小值,若不存在,请说明理由 m,n?N*,不等式Tm-?Sn?0恒成立?

9.已知数列?an?满足:a1?1,an?1?an?an2?n?1?2?n?N?.

?(Ⅰ)证明:

an?11?1?; 2an?n?1?2?n?1??an?1?n?1.

n?3(Ⅱ)证明:

an*n?N10.已知数列?an?满足:a1?1,an?1?an?.(), 2(n?1)证明:当n?N时, (Ⅰ)

*2an?11; ?1?an(n?1)22(n?1)?an?1?n?1

n?3.

(Ⅱ)

11.已知数列{an}满足a1?2an2?,an?1?,n?N. 53?an(1)求a2,并求数列{1}的通项公式; an6221(1?()n)?Sn?. 5313(2)设{an}的前n项的和为Sn,求证:

12.数列?an?满足a1?1,an?1(1)证明:an?1?an; (2)证明:

n2an?2(n?N?) n?1aa1a21?????n?n?2?; a2a3an?1n1. 4(3)证明:an?

13.对任意正整数n,设

an是关于x的方程x3?nx?1的最大实数根

(1)求证:n?an?an?1?n?2 (2)当n?4时,对任意的正整数m,n?m?n?an?m?an?2(n?m?n)

2(3)设数列{1n2n} 2的前n项和为Sn,求证:ln(1?)?Sn?1?an33