浙江高考数列经典例题汇总

1. 【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列

?an?和?bn?满足

32a1a2?an?(Ⅰ)求

?2??n?N?.若?a?为等比数列，且a?2,b?6?b.

bn?n1an与bn；

cn?11?n?N??c?Sanbn。记数列n的前n项和为n.

??(Ⅱ)设（i）求

Sn；

?（ii）求正整数k，使得对任意n?N，均有

Sk?Sn．

2. 【2011年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列

{an}的首项a1?a

111Saaa(a?R),设数列的前n项和为n，且1，2，4成等比数列

（Ⅰ）求数列

{an}的通项公式及Sn

1111B?1?1?1?...?1An????...?na1a2a22a2nS1S2S3Sn，

（Ⅱ）记，当n?2时，试比较

An与Bn的大小.

3. 【2008年.浙江卷.理22】（本题14分）已知数列

?an?，an?0，a1?0，

22?an?a?1?a(n?N)．Sn?a1?a2???an?1n?1nTn?111????1?a1(1?a1)(1?a2)(1?a1)(1?a2)?(1?an)．

求证：当n?N时， （Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

4. 【2007年.浙江卷.理21】（本题15分）已知数列方程的两个根，且（Ⅰ）求

?an?an?1； Sn?n?2； Tn?3。

{an}中的相邻两项a2k?1,a2k是关于x的

a2k?1?a2k(k?1,2,3,?)

；

a1,a3,a5,a7（Ⅱ）求数列

{an}的前2n项的和S2n；

(?1)f(2)(?1)f(3)(?1)f(4)(?1)f(n?1)1|sinn|?????f(n)?(?3)Tn?a1a2a3a4a5a6a2n?1a2n 2sinn（Ⅲ）记，

15?Tn?(n?N*)24求证：6

n?1AxP(x,2)和抛物线Cn：y＝x2＋an x＋nnnn5. 【2005年.浙江卷.理20】设点(，0)，

1bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－2n?1，

xn由以下方法得到： x1＝1，点P2(x2，2)在抛物

线C1：y＝x2＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，

nAx0)到Pn?1的距离是An 到Cn P(x,2)在抛物线Cn：n?1n?1点y＝x2＋an x＋bn上，点n(n，

上点的最短距离． (Ⅰ)求x2及C1的方程． (Ⅱ)证明{

xn}是等差数列．

12*an?a12an?1anan?6. 【2015高考浙江，理20】已知数列满足=且=-（n?N）

an?2*an?1（1）证明：1（n?N）；

?Sn11??2*an??Sn2(n?2)n2(n?1)Nnn?（2）设数列的前项和为，证明（）

7.【2016高考浙江理数】设数列（I）证明：

?an?满足

?an?an?1?1?2，n??．

an?2n?1?a1?2?n，n??；

?3?an????2?，n???，证明：an?2，n???． （II）若

例1．（浙江省新高考研究联盟2017届高三下学期期初联考）已知数列?an?满足a1=3，an+1=an2+2an，n∈N* ， 设bn=log2(an+1). （I）求{an}的通项公式； （II）求证：1+

（III）若2n=bn，求证：2≤(

ccn?1n)<3. cn例2．（浙江省温州中学2017届高三3月高考模拟）正项数列?an?满足

22a?1． an?an?3an?1?2an?1，1（Ⅰ）求a2的值；

（Ⅱ）证明：对任意的n?N，an??2an?1；

?（Ⅲ）记数列?an?的前n项和为Sn，证明：对任意的n?N，2?

1?Sn?3． 2n?1

例3．（浙江省温州市十校联合体2017届高三上学期期末）已知数列{an}满足

1a1?1,an?1?an2?m，

8(1)若数列{an}是常数列，求m的值； （2）当m?1时，求证：an?an?1；

（3）求最大的正数m，使得an?4对一切整数n恒成立，并证明你的结论。

例4．（浙江省温州市2017届高三下学期返校联考）设数列

，且满足：

（Ⅰ）（1）证明数列

成等比数列，

，

。

均为正项数列，其中成等差数列。

是等差数列；（2）求通项公式

（Ⅱ）设

，数列的前项和记为，证明：。

例5．（浙江省台州市2017届高三上学期期末质量评估）已知数列?an?满足a1?2an???ana，n?N 20161，，2an?1(1) 求证

an?1?an

(2) 求证a2017?1

(3) 若证ak?1，求证整数k的最小值。

例6.（浙江省杭州高级中学2017届高三2月高考模拟考试）数列?an?定义为a1?0，a11?a，

12?an，n?N 2111a??????（1）若a1?的值； (a?0)，求

1?2a2?a12?a22?a10an?1?an?（2）当a?0时，定义数列?bn?，b1?ak(k?12)，bn?1??1?1?2bn，是否存在正整

数i,j(i?j)，使得bi?bj?a?不存在，说明理由。

12a?1?2a?1。如果存在，求出一组(i,j)，如果2

例7．（2017年浙江名校高三下学期协作体）已知函数f(x)?（Ⅰ）求方程f(x)?x?0的实数解；

（Ⅱ）如果数列?an?满足a1?1，an?1?f(an)（n?N?），是否存在实数c，使得

4，

4x?15a2n?c?a2n?1对所有的n?N?都成立？证明你的结论．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设数列?an?的前n项的和为Sn，证明：

例8．（2017年4月湖州、衢州、丽水三地教学质量检测）数列?an?满足a1?1Sn??1． 4n1，2an?1an2 （n?N?）?2an?an?1（1）证明：an?1?an；

（2）设{an}的前n项的和为Sn，证明：Sn?1.

例9．（2017年4月浙江金华十校联考）数列?an?满足a1?11，an?1?an?（n?N?） 2n(1) 求证：

an?2a?n； nn?1(2)求证：2(n?1?1?111??....??n 2a33a4(n?1)an?2

例10．（2017年4月杭州高三年级教学质量检测）已知数列数列an其中前n项和为Sn，且对任意n?N?，都有an?1?（1） 若a1?1，a505?2017，求a6的最大值

（2） 对任意n?N?，都有Sn?1，求证0?an?an?1???的各项均为非负数，

an?an?2 22

n(n?1)

1设数列?an?满足an?1?an2?an?1n?N*，Sn为?an?的前n项和.证明：对任意n?N*， （Ⅰ）当0≤a1≤1时，0≤an≤1； （Ⅱ）当a1?1时，an??a1?1?a1n?1； （Ⅲ）当a1?

2．已知数列?an?满足a1???1时，n?2n?Sn?n. 21且an?1?an?ban2(n?N?) 2(1)b??1,求证:1?an?2 an?1(2)b?2,数列??1?2的前，求证:n项和为S1??Sn?1 ?nn31?2an??

3．已知各项均为正数的数列?an?，a122an?an?1(1) 求证：Sn?

42?1，前n项和为Sn，且an?an?2Sn?1.

(2)求证：

SnS?1 ?S1?S2????Sn?n?122

4．设A?x1,（1）当x1f(x1)?,B?x2,f(x2)?是函数f(x)?1x?log2的图象上的任意两点. 21?x?x2?1时，求f(x1)?f(x2)的值；

?1????n?1??2?f??????n?1??n?1?f????n?1?2（2）设Sn?f??n?*f??，其中n?N，求Sn； ?n?1??1?*?（3）对于（2）中的Sn，已知an??，其中，设Tn为数列?an?的前n项的n?N?S?1??n?和，求证:

45?Tn?. 93

5．给定正整数n和正数M.对于满足条件a1?an?1?M的所有等差数列a1,a2,a3,…，22S=an?1?an?2?…+a2n?1， 2(1)求证：2?5?S??n?1???M

6．已知数列{an}满足a1?3，a2n?1?an?2an，n?N*,n?2，设（Ⅰ）求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式； （Ⅱ）求证：1?12?13?????1b1?n(n?2)； n?（III）若2cn?bn，求证：2?(cn?1c)n?3. n

bn?log2(an?1).

7．已知数列{an}满足a1?1,an?1?12an?m， 8（1）若数列{an}是常数列，求m的值； （2）当m?1时，求证：an?an?1；

（3）求最大的正数m，使得an?4对一切整数n恒成立，并证明你的结论.

8．已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn?2an?3*,n?N. n2（1）求证{an?1}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式； 2n（2）设数列{1}的前n项和为Tn，是否存在正整数?，对任意Sn若存在，求出?的最小值，若不存在，请说明理由 m,n?N*,不等式Tm-?Sn?0恒成立？

9．已知数列?an?满足：a1?1,an?1?an?an2?n?1?2?n?N?.

?（Ⅰ）证明：

an?11?1?； 2an?n?1?2?n?1??an?1?n?1.

n?3（Ⅱ）证明：

an*n?N10．已知数列?an?满足：a1?1，an?1?an?．()， 2(n?1)证明：当n?N时， (Ⅰ)

*2an?11； ?1?an(n?1)22(n?1)?an?1?n?1

n?3.

(Ⅱ)

11．已知数列{an}满足a1?2an2?，an?1?，n?N. 53?an（1）求a2，并求数列{1}的通项公式； an6221(1?()n)?Sn?. 5313（2）设{an}的前n项的和为Sn，求证：

12．数列?an?满足a1?1，an?1（1）证明：an?1?an； （2）证明：

n2an?2（n?N?） n?1aa1a21?????n?n?2?； a2a3an?1n1. 4（3）证明：an?

13．对任意正整数n，设

an是关于x的方程x3?nx?1的最大实数根

（1）求证：n?an?an?1?n?2 （2）当n?4时，对任意的正整数m，n?m?n?an?m?an?2(n?m?n)

2（3）设数列{1n2n} 2的前n项和为Sn，求证：ln(1?)?Sn?1?an33