初高中数学衔接教材

目 录

引 入 乘法公式 第一讲 因式分解 1. 1 提取公因式

1. 2. 公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差） 1. 3分组分解法

1. 4十字相乘法（重、难点）

1. 5关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．

第二讲 函数与方程 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

2．2 二次函数

2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用

第三讲

三角形的“四心”

1

乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 (a?b)(a?b)?a2?b2；

（2）完全平方公式 (a?b)2?a2?2ab?2．b 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 (a?b)(a2?ab?2b)?3a?；3b （2）立方差公式 (a?b)(a2?ab?2b)?3a?；3b （3）三数和平方公式 (a?b?c)2?a2?2b?2c2?(ab?bc?；（4）两数和立方公式 (a?b)3?a3?3a2b?3a2b?；3b （5）两数差立方公式 (a?b)3?a3?3a2b?3a2b?．b 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：(x?1)(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)．

例2 已知a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a2?b2?c2的值． ． 练 习

1．填空：

（1）

19a2?14b2?(12b?13a)（ ）； （2）(4m? )2?16m2?4m?( )；

(3 ) (a?2b?c)2?a2?4b2?c2?( )． 2．选择题：

（1）若x2?12mx?k是一个完全平方式，则k等于 （ （A）m2 （B）1212124m （C）3m （D）16m（2）不论a，b为何实数，a2?b2?2a?4b?8的值 （ （A）总是正数 （B）总是负数

（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数

2

c)a ）

）

第一讲 因式分解

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例1 分解因式：

（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3）x2?(a?b)xy?aby2； （4）xy?1?x?y．

解：（1）如图1．1－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有

x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

1 x x 1 －1 －2 －ay －1

1 x x 1 6 －2 －by －2 图1．1－3 图1．1－1 图1．1－4 图1．1－2

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x用1来表示（如图1．1－2所示）．

（2）由图1．1－3，得

x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)． （3）由图1．1－4，得

x2?(a?b)xy?aby2＝(x?ay)(x?by) （4）xy?1?x?y＝xy＋(x－y)－1

＝(x－1) (y+1) （如图1．1－5所示）．

课堂练习

一、填空题：

1、把下列各式分解因式：

（1）x?5x?6?__________________________________________________。 （2）x?5x?6?__________________________________________________。 （3）x?5x?6?__________________________________________________。 （4）x?5x?6?__________________________________________________。

22222x y

－1 1

图1．1－5

2（5）x??a?1?x?a?__________________________________________________。 （6）x?11x?18?__________________________________________________。 （7）6x?7x?2?__________________________________________________。 （8）4m?12m?9?__________________________________________________。 （9）5?7x?6x?__________________________________________________。 （10）12x?xy?6y?__________________________________________________。 2、x?4x? ??x?3??x? ?

222222 3

3、若x2?ax?b??x?2??x?4?则a? ，b? 。 二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的） 1、在多项式（1）x?7x?6（2）x?4x?3（3）x?6x?8（4）x?7x?10 （5）x?15x?44中，有相同因式的是（ ） A、只有（1）（2） B、只有（3）（4） C、只有（3）（5） D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）

2、分解因式a?8ab?33b得（ ） A、?a?11?? a?3? B、?a?11b?? a?3b? C、?a?11b?? a?3b? D、

2222222?a?11b?? a?3b?

23、?a?b??8?a?b??20分解因式得（ ） A、?a?b?10?? a?b?2? B、?a?b?5?? a?b?4? C、?a?b?2?? a?b?10? D、?a?b?4?? a?b?5?

24、若多项式x?3x?a可分解为?x?5??x?b?，则a、b的值是（ ）

A、a?10，b?2 B、a?10，b??2 C、a??10，b??2 D、a??10，b?2

5、若x2?mx?10??x?a?? x?b?其中a、b为整数，则m的值为（ ） A、3或9 B、?3 C、?9 D、?3或?9 三、把下列各式分解因式

1、6?2p?q??11?q?2p??3 2、a?5ab?6ab

423、2y2?4y?6 4、b?2b?8

23222．提取公因式法

例2 分解因式：

（1） a2?b?5??a?5?b? （2）x3?9?3x2?3x 解： （1）．a2?b?5??a?5?b?=a(b?5)(a?1)

（2）x3?9?3x2?3x=(x3?3x2)?(3x?9)=x2(x?3)?3(x?3) =(x?3)(x2?3)． 或

x3?9?3x2?3x＝(x3?3x2?3x?1)?8＝(x?1)3?8＝(x?1)3?23

＝[(x?1)?2][(x?1)2?(x?1)?2?22] ＝(x?3)(x2?3) 课堂练习：

一、填空题：

1、多项式6xy?2xy?4xyz中各项的公因式是_______________。 2、m?x?y??n?y?x???x?y??__________________。

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