由an-1n+1
1+2a2+…+2an=n·2,
所以an-2
n1+2a2+…+2an-1=(n-1)·2(n≥2), 相减得2n-1
an+1
nn=n·2-(n-1)·2, 得an=2n+2,当n=1也满足上式. 所以{an}的通项公式为an=2n+2.
(2)数列{an-kn}的通项公式为an-kn=2n+2-kn=(2-k)n+2, 所以数列{an-kn}是以4-k为首项,公差为2-k的等差数列.
若Sn≤S4对任意的正整数n恒成立,等价于当n=4时,Sn取得最大值,
所以{
??4-4??=4(2-??)+2≥0,
??5??=5(2-??)+2≤0.
5-解得12
≤k≤5
52.
6.解(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.
则由{
??9=90,
??
15=240,
得{9??1+36??=90,15??105??=240,
1+解得{
??1=2,
??=2.
所以an=2+(n-1)×2=2n,即an=2n.
Sn=2n+??(??-1)
2
×2=n(n+1),即Sn=n(n+1).
(2)令cnn=bn-(-1)an,
9
设{cn}的公比为q,
∵b22=7,b5=71,an=2n,∴c2=b2-(-1)a2=3,c5=b5-(-1)5a5=81, ∴q3=??5??=27,q=3,∴cn-2n=c2q=3n-1,
2
从而bn-1n=3+(-1)n2n,
T1n=b1+b2+…+bn=(30+31+…+3n-)+[-2+4-6+…+(-1)n2n],
当n为偶数时,T3??+2n=??-1
2
; 当n为奇数时,T3??-2??-3
n=2
.
3??+2??-1
所以
T,??为偶数,
n={2
3??-2??-3
2
,??为奇数.
7.解(1)Sn=2an-2,① 当n=1时,得a1=2, 当n≥2时,Sn-1=2an-1-2,②
①②两式作差得an=2an-1(n≥2),
所以数列{an}是以2为首项,公比为2的等比数列, 所以ann=2.
设等差数列{bn}的公差为d,
由{
????3=??=??4-2??1,
64,
10
8=3??-??1,所以{
16=5??+??1,
所以{
??=3,
??1=1,
所以bn=3n-2.
22222
(2)T2n=(-??21+??2)+(-??3+??4)+…+(-??2??-1+??2??)
=3(b1+b2)+3(b3+b4)+…+3(b2n-1+b2n)
=3(b1+b2)+3(b3+b4)+…+3(b2n-1+b2n)=3(b1+b2+…+b2n).
又因为bn=3n-2,
所以T2n=3×
2??(??1+??2??)
2
=3n[1+3×(2n)-2]=18n2-3n.
8.解(1)设等比数列{bn}的公比为q.由b1=1,b3=b2+2,可得q-q-2=0.因为q>0,可得q=2,故bn=2.
1-2??2n-1
所以,Tn=1-2=2-1.
设等差数列{an}的公差为d.由b4=a3+a5,可得a1+3d=4.由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,从而a1=1,d=1,故an=n.
n所以Sn=??(??+1)
2
.
(2)由(1),有T1+T2+…+Tn=(2+2+…+2)-n=12n2×(1-2??)
1-2
-n=2n+1-n-2.
由Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn可得
??(??+1)
2
+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4.
所以正整数n的值为4.
11
12