多练出技巧 巧思出硕果

常微分方程期末考试试卷

一． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。

1、当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全 微分方程。

2、________________称为齐次方程。 3、求

dy =f(x,y)满足?(x0)?y0的解等价于求积分方程____________________的dx连续解。

4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程

dy?f(x,y) dx的解 y=?(x,x0,y0)作为x,x0,y0的函数在它的存在范围内是__________。 5、若x1(t),x2(t),...x3(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。

6、方程组x/?A(t)x的_________________称之为x/?A(t)x的一个基本解组。

7、若?(t)是常系数线性方程组x/?Ax的基解矩阵，则expAt =____________。

8、满足___________________的点（x*,y*），称为方程组的奇点。

9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定

的，对应的奇点称为___________。

二、计算题（共6小题，每题10分）。

1、求解方程：

dyx?y?1= dxx?y2?3多练出技巧 巧思出硕果

2、解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0

dy33?y在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，3、讨论方程并求通dx21过点（0，0）的一切解

4、求解常系数线性方程：x//?2x/?3x?e?tcost

?12?5、试求方程组x/?Ax的一个基解矩阵，并计算eAt,其中A为??43??

??6、试讨论方程组

dx?ax?by,dt数，且ac?0。

dy?cy （1）的奇点类型，其中a,b,c为常dt

三、证明题（共一题，满分10分）。

试证：如果?（t）是x/?Ax满足初始条件?(t0)??的解，那么

?(t)?eA(t?t0)?

答案

??多练出技巧 巧思出硕果

一、填空题。（30分） 1、2、

?M(x,y)?N(x,y) ??y?xdyy?f() dxxxx03、y=y0+?f(x,y)dx 4、连续的

5、w?x1(t),x2(t,),...,xn(t)??0 6、n个线性无关解 7、?(t)??1(0)

8、X(x,y)=0,Y(x,y)=0

9、为零 稳定中心

二、计算题。（60分） 1、解： (x-y+1)dx-(x+y2+3)dy=0 xdx-(ydx+xdy)+dx-y2dy-3dy=0

11dx2-d(xy)+dx-dy3-3dy=0 2311 所以x2?xy?x?y3?3y?C

23

即

2、解：

dy2(x?y)?1??，令z=x+y dx(x?y)?2dzdy?1? dxdxdz2z?1z?1?z?2?1??,dz?dx dxz?2?z?2z?1则

所以 –z+3ln|z+1|=x+C1， ln|z?1|3=x+z+C1 即(x?y?1)3?Ce2x?y

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33?f1?33、解： 设f(x,y)= y,则?y(y?0)

2?y212 故在y?0的任何区域上

?f存在且连续， ?y 因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，

显然，y?0是通过点（0，0）的一个解；

dy33?y解得，|y|=(x?c)2 又由

dx213 所以，通过点（0，0）的一切解为y?0及

0??3|y|=?2??(x?c)(x?c)(x?c),c?0是常数

4、解： (1)?2?2??3?0,?1,2?1?2i

齐次方程的通解为x=et(c1cos2t?c2sin2t) (2)???1?i不是特征根，故取x?(Acost?Bsint)e?t

代入方程比较系数得A=于是x?(54，B=- 414154cost?sint)e?t 41411(5cost?4sint)e?t 41 通解为x=et(c1cos2t?c2sin2t)+

5、解： det(?E?A)=

??1?4?2??2?4??5?0 ??3 所以，?1??1,?2?5

设?1??1对应的特征向量为v1