实验十五 离散信号与系统的z域分析的MATLAB实现
实验十五 离散信号与系统z域分析的MATLAB实现
一、实验目的
1. 掌握离散信号z变换和逆z变换的MATLAB方法；
2. 掌握离散系统的系统函数零极点分布与系统频率特性分析的MATLAB实现方法。
二、实验原理
1．离散信号的z变换和逆z变换 序列f(k) (k为整数)的双边z变换定义为
?F(z)??k???f(k)z?k
MATLAB的符号数学工具箱(Symbolic Math Tools)提供了计算z正变换的函数ztrans和计算逆z变换的函数iztrans。其调用形式为：
F=ztrans(f) %求符号函数f的z变换，返回函数的自变量为z； F=ztrans(f,w) %求符号函数f的z变换，返回函数的自变量为w；
F=ztrans(f,k,w) %对自变量为k的符号函数f求z变换，返回函数的自变量为w。 f=iztrans(F) %对自变量为z的符号函数F求逆z变换，返回函数的自变量为n； f=iztrans(F,k) %对自变量为z的符号函数F求逆z变换，返回函数的自变量为k； f=iztrans(F,w,k) %对自变量为w的符号函数F求逆z变换，返回函数的自变量为k。 例15-1.已知序列f(k)?2?k，求其z变换。
解：在命令窗口中输入如下命令，即可完成f(k)的z变换
>> syms k
>> f=sym('2^(-k)'); %定义序列>> F=ztrans(f) %求z变换
运行结果为：F =2*z/(2*z-1) ，即F(z)?2z2z?12?kf(k)?2
例15-2.已知一离散系统的系统函数H(z)?解：运行如下M文件，
syms k z
H=sym('z/(z^2+3*z+2)');
h=iztrans(H,k) %求逆z变换
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zz?3z?2，求其冲激响应h(k)。
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运行结果为：h =(-1)^k-(-2)^k，即h(k)?[(?1)?(?2)]?(k)
对象函数F求逆z变换，还可以利用函数residuez( )对象函数作部分分式展开，然后按部分分式展开法求得原函数。有关方法参见《MATLAB信号处理详解》第31页。
2．系统函数的零极点图的绘制
MATLAB的zplane函数用于系统函数的零极点图的绘制,调用方式为： zplane(b,a)
其中， b、a分别为系统函数分子、分母多项式的系数向量。
在MATLAB中，可以借助函数tf2zp来直接得到系统函数的零点和极点的值，函数tf2zp的作用是将H(z)转换为用零点、极点和增益常数组成的表示式，即：
H(z)?B(z)A(z)?C(z?z1)(z?z2)...(z?zm)(z?p1)(z?p2)...(z?pn)kk
tf2zp函数的调用形式如下：
[z,p,C]=tf2zp(b,a)
例15-3.已知一离散系统的系统函数H(z)?z2?0.7z?0.1z2?3z?2，试绘制其零极点图。
解：在MATLAB的命令窗口中输入如下命令，即可得到其零极点图（图15-1）。
>> a=[1 3 2]; >> b=[1 -0.7 0.1];
>> zplane(b,a) %绘制其零极点图
图中，零点、极点分别用“○”、“×”表示。
图15-1
3．离散系统的频率响应分析
若离散系统是稳定的，其系统函数的收敛域应包含单位圆，离散系统的频率响应即为单位圆上（z?1）的系统函数，即
H(ej?)?H(ej?)ej?(?)?H(z)z?ej?
其中，H(ej?)为系统的幅频特性，?(?)为系统的相频特性。
在MATLAB中，利用freqz( )函数可方便地求得系统的频率响应。调用格式如下： freqz(b，a)
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该调用方式将绘制系统在0~?范围内的幅频特性和相频特性图，其中，b、a分别为系统函数分子、分母多项式的系数向量。
freqz(b，a，’whole’)
该调用方式将绘制系统在0~2?范围内的幅频特性和相频特性图。 freqz(b，a，N)
该调用方式将绘制系统在0~?范围内N个频率等分点的幅频特性和相频特性图，N的缺省值为512；
freqz(b，a，N，’whole’)
该调用方式将绘制系统在0~2?范围内N个频率等分点的幅频特性和相频特性图。 此外，还有如下相类似的四种调用形式。其中，返回向量H包含了离散系统频率响应
H(ej?)在0~?（或0~??）范围内各频率点处的值，返回向量w则包含了在0~?（或0~??）
范围内N个（或512个）频率等分点。利用这些调用方式MATLAB并不直接绘制系统的频率特性图，但可由向量H、w用abs、angle、plot等函数来绘制幅频特性和相频特性图。
[H，w]= freqz(b，a)
[H，w]=freqz(b，a，’whole’) [H，w]=freqz(b，a，N) [H，w]=freqz(b，a，N，’whole’) 例15-4.已知一离散系统的系统函数H(z)?解：在MATLAB的命令窗口中输入如下命令，即可得到其频率特性图（图15-2）。
>> b=[0 1 0]; >> a=[1 0.3 0.2]; >> freqz(b,a,'whole')
图15-2
zz?0.3z?0.22，试绘制频率特性图。
三、实验内容与步骤
1.已知因果系统的系统函数为
H(z)?zz22?0.75z?0.125
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利用MATLAB，求：(1)系统的单位序列响应的表达式并显示其波形；(2)画出幅频响应和相频响应特性曲线。
2.已知一离散因果系统的系统函数为：
H(z)?z322?2z?1?0.005z?0.3z?0.5z
利用MATLAB，求：(1)系统函数的零点和极点，并在z平面显示它们的分布；(2)画出幅频响应和相频响应特性曲线。
3.已知系统的差分方程为
y(k)?0.7y(k?1)?0.1y(k?2)?5f(k)?f(k?1)
输入为f(k)?(0.25)?(k)。求：（1）系统的零状态响应y(k)、单位序列响应h(k)和阶跃响应g(k)的波形图（选取k=0:10）（2）画出系统的幅频响应和相频响应特性曲线。
k四、实验报告要求
列出M文件，给出运行结果图形。
总结z变换及其逆变换、离散系统频率分析的MATLAB实现方法。
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