公差为，的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，联立方程求得和，进

而可得，的通项公式；（2）数列的通项公式由等差数列和等比数列对应项相

乘构成，需用错位相减法求得前项和.

18.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学基本公式大赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.

（1）求x和y的值；

（2）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率． 【答案】（1）【解析】 【分析】

(1)由题意，甲班学生的平均分是85，根据平均数的公式，即求解即可求解

。

，乙班成绩在90分以上的学生有

，再由中位数的求解，

；（2）

（2）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为三名，分别记为

,得到从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况，其中甲班至少

有一名学生共有7种情况，利用古典概型及概率的计算公式，即可求解。 【详解】(1)由题意，甲班学生的平均分是85，所以解得

，

。

，

又因为乙班学生成绩的中位数是83，根据中位数的定义，可得（2）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为三名，分别记为

,

，乙班成绩在90分以上的学生有

从这五名学生任意抽取两名学生共有10中情况：

,

其中甲班至少有一名学生共有7种情况：

，

所以“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件，则

.

即“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”的概率为. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式求解概率，以及平均数与中位数的应用，其中解答中熟记平均数和中位数的公式，以及列举出基本事件的总数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。 19.如图，在四棱锥是

的中点，

，交

中，底面于点．

是正方形，

底面

，

，点

（1）求证：平面（2）求三棱锥

平面的体积．

；

【答案】（1）详见解析；（2）【解析】

试题分析：（1）求证：平面一个平面的垂线即可，注意到已知或故

，但位置不确定，可考虑证，而四棱锥

面

的底面

，从而得

平面

．

，证明两个平面垂直，只需证明一个平面过另，可想到证明

面

，只需证明的中点，已知

，故

面

，，，

，由已知点是是正方形，

底面

这样能得到是

的中点，则

，问题得证；（2）求三棱锥，这样转化为求

的体积，由于

容

，由图可知，

易求出． 试题解析：（1）∵又∴

∴

面

底面

，∴

······① 3分

又由①②得又∴平面（2）∵是

∴

，且是面面平面

∴

的中点，∴

6分

·········②

的中点，∴

12分

. 9分

考点：面面垂直，几何体的体积． 20.设椭圆

的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭

圆截得的线段长为.

(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若

, 求k的值.

【答案】(Ⅰ)【解析】

试题分析：（1）利用离心率、通径长度及

得到关于

的方程组求解即可；

(Ⅱ)

（2）写出相关点坐标，设出直线方程，与椭圆方程进行联立，利用根与系数的关系、数量积的运算进行求解．

试题解析：（1）由题意，可知，解得，即椭圆的标准方程为

；

（2）由（1）可知：直线

设

联立消得：

又所以

解得

考点：1．椭圆的标准方程；2．直线与椭圆的位置关系；3．数量积运算．

【技巧点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及数量积运算的应用，属于中档题；有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目，往往计算量较大，灵活利用一些结论可减少计算量，通过解题速度，如：本题中，应用了“椭圆或双曲线的通径长度为结论，又应用了“设而不求”的整体思想． 【此处有视频，请去附件查看】

21.已知函数 （1）求函数 （2）设

．

的最大值；

，且

，证明：

．

”的

【答案】（1）0；（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）由题意，求得函数的导数

，利用导数得到函数的单调性，即可求解最大值。

（2）由（1），把当－1＜x＜0时，g(x)＜1等价于设f(x)＞x，构造新函数h(x)＝f(x)－x，利用导数得到函数的单调性和极值，即可求解。 【详解】（1）由题意，求得

．