令g'(x)?0，得x?1．列表如下： 3x g'(x) g(x) 所以当x?1(0,) 3+ 1 30 极大值 1(,1) 3– 1?1?4时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(x)max?g???．

3273??44，因此M?． 2727所以当x?(0,1)时，f(x)?g(x)?20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、

转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.

?a12q4?a1q4?a2a4?a5?a1?1由?，得?2，解得?．

a?4a?4a?0q?2aq?4aq?4a?021??3?111因此数列{an}为“M—数列”. （2）①因为

122??，所以bn?0． Snbnbn?1122??，则b2?2. b?1,S?b由111得11b2由

bnbn?1122??，得Sn?， Snbnbn?12(bn?1?bn)当n?2时，由bn?Sn?Sn?1，得bn?整理得bn?1?bn?1?2bn．

bnbn?1bn?1bn?，

2?bn?1?bn?2?bn?bn?1?所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{bn}的通项公式为bn=nn?N②由①知，bk=k，k?N*.

因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.

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?*?.

k?1k因为ck≤bk≤ck+1，所以q?k?q，其中k=1，2，3，…，m.

当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有

lnklnk?lnq?． kk?1设f（x）=

lnx1?lnx(x?1)，则f'(x)?． xx2令f'(x)?0，得x=e.列表如下：

x f'(x) (1,e) + e 0 极大值 (e，+∞) – fx） （因为

ln2ln8ln9ln3ln3???，所以f(k)max?f(3)?． 266333取q?3，当k=1，2，3，4，5时，

k?1lnk?lnq，即k?qk， k经检验知q?k也成立．

因此所求m的最大值不小于5．

351515

若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q，且q≤6，从而q≥243，且q≤216，

所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5．

数学Ⅱ(附加题)参考答案

21．【选做题】

A．[选修4–2：矩阵与变换]

本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．

?31?解：（1）因为A???，

22???31??31?2A?所以?22??22?

???? 第 14 页 共 17 页

?3?3?1?23?1?1?2??115?=??=?106?． 2?3?2?22?1?2?2????（2）矩阵A的特征多项式为

f(?)???3?2?1??2??2?5??4.

令f(?)?0，解得A的特征值?1?1,?2?4. B．[选修4–4：坐标系与参数方程]

本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）设极点为O.在△OAB中，A（3，

??），B（2，）， 42???)?5. 24由余弦定理，得AB=32?(2)2?2?3?2?cos(（2）因为直线l的方程为?sin(??)?3，

?4则直线l过点(32,)，倾斜角为

?23?． 43???)?2. 42又B(2,)，所以点B到直线l的距离为(32?2)?sin(C．[选修4–5：不等式选讲]

?2本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分． 解：当x<0时，原不等式可化为?x?1?2x?2，解得x<–

1： 3当0≤x≤

1时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解； 2当x>

1时，原不等式可化为x+2x–1>2，解得x>1. 213综上，原不等式的解集为{x|x??或x?1}.

22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算

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求解能力，满分10分．

122nn?Cnx，n?4， 解：（1）因为(1?x)n?C0n?Cnx?Cnx?n(n?1)n(n?1)(n?2)2,a3?C3?所以a2?Cn?， n26n(n?1)(n?2)(n?3)a4?C4?． n242因为a3?2a2a4，

所以[n(n?1)(n?2)2n(n?1)n(n?1)(n?2)(n?3)]?2??，

6224解得n?5．

（2）由（1）知，n?5．

(1?3)n?(1?3)5

022334455 ?C5?C153?C5(3)?C5(3)?C5(3)?C5(3)?a?b3．

解法一：

024135*因为a,b?N，所以a?C5?3C5?9C5?76,b?C5?3C5?9C5?44，

从而a2?3b2?762?3?442??32． 解法二：

022334455 (1?3)5?C5?C1(?3)?C(?3)?C(?3)?C(?3)?C(?3)55555022334455． ?C5?C153?C5(3)?C5(3)?C5(3)?C5(3)*因为a,b?N，所以(1?3)5?a?b3．

因此a2?3b2?(a?b3)(a?b3)?(1?3)5?(1?3)5?(?2)5??32．

23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，

考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．

解：（1）当n?1时，X的所有可能取值是1，2，2，5．

X的概率分布为P(X?1)?7744?,P(X?2)??， 22C615C615P(X?2)?

2222?,P(X?5)??． 22C615C615第 16 页 共 17 页