k2knn?1 ?C1n(1?)?Cn(1?)???(?1)Cn(1?1n2nn?1k) n故所求概率为
1k2in?1k2n?1n?11?P(?Ai)?1?C1(1?)?C(1?)???(?1)C(1?) nnni?1nnnn48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独
立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1. 【证】
在前n次试验中，A至少出现一次的概率为
1?(1??)n?1(n??)
49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，
将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}
B={这只硬币为正品} 由题知 P(B)?mn ,P(B)?m?nm?n1P(A|B)?r,P(A|B)?1
2则由贝叶斯公式知
P(B|A)?P(AB)P(B)P(A|B) ?P(A)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)m1?rmm?n2 ? ?rm1n?r??1m?2nm?n2m?n50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用
火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？ 【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有P(B1)?P(B2)?1.（1）发现一盒已空，2另一盒恰剩r根，说明已取了2n?r次，设n次取自B1盒（已空），n?r次取自B2盒，第2n?r+1次拿起B1，发现已空。把取2n?r次火柴视作2n?r重贝努里试验，则所求概率为
1n1n?r11n p1?2Cn()()??C2n?rn?r2r?r2222式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）.
（2） 前2n?r?1次取火柴，有n?1次取自B1盒，n?r次取自B2盒，第2n?r次取自B1
盒，故概率为
1n?11n?r112n?r?1n?1n?1 p2?2C2()()?C()n?r?12n?r?1222251.求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率.
Bocker
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【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由
0n1n?122n?2nn0(q?p)n?C0pq?Cpq?Cpq???Cnnnnpq?1 0n1n?122n?2nn0(q?p)n?C0?Cnpq???(?1)nCnpq npq?Cnpq以上两式相减得所求概率为
n?13n?3p1?C1?C3?? npqnpq1?[1?(q?p)n] 21?[1?(1?2p)n] 2若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得
1p2?[1?(1?2p)n].
252.设A，B是任意两个随机事件，求P{（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）}的值. 【解】因为（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB
（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB
所求 (A?B)(A?B)(A?B)(A?B) ?[(AB?AB)?(AB?AB)] ??
故所求值为0.
53.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：
ABC=?，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.
【解】由P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) ?3P(A)?3[P(A)]?故P(A)?29 161311或,按题设P（A）<,故P（A）=. 442454.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A
不发生的概率相等，求P（A）. 【解】 P(AB)?P(?AB)?1?P(?A1B?) ① 9P(AB)?P(AB) ②
故 P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)
故 P(A)?P(B) ③
Bocker
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由A,B的独立性，及①、③式有
1?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B) 9 ?1?2P(A)?[P(A)] ?[1?P(A)]
故 1?P(A)?? 故 P(A)?即P（A）=
221324或P(A)?（舍去） 332. 32ax?x2 (a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与
55.随机地向半圆0 区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π/4的概率为多少？ 【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为 1πa2.阴影部分面积为 2π212a?a 42故所求概率为 π212a?a2?1?1 p?4122ππa256.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格 品，求另一件也是不合格品的概率. 【解】 设A={两件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品} C242C10P(AB)1P(B|A)??? 2C6P(A)51-2C1057.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3 份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份. （1） 求先抽到的一份是女生表的概率p； （2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q. 【解】设Ai={报名表是取自第i区的考生}，i=1,2,3. Bj={第j次取出的是女生表}，j=1,2. 则 P(Ai)?1,i?1,2,3 3375 P(B1|A1)?,P(B1|A2)?,P(B1|A3)?101525Bocker - 15 - (1) p?P(B1)??P(B|A)?3(10?15?25)?90 1ii?13137529(2) q?P(B1|B2)?P(B1B2) P(B2)而 P(B2)??P(Bi?132|Ai)P(Ai) ?1782061 (??)?310152590P(B1B2)??P(B1B2|Ai)P(Ai) i?13 ?137785202(?????)? 31091514252492P(B1B2)920故 q? ??61P(B2)619058. 设A，B为随机事件，且P（B）>0,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小. (2006研考) 解：因为 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) P(AB)?P(B)?P(AB)?P(B) 所以 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(B)?P(A). Bocker - 16 -