题21图 题22图
【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x?y|>30.
如图阴影部分所示.
3021P?2?
60422.从（0，1）中随机地取两个数，求：
6的概率； 51（2） 两个数之积小于的概率.
4（1） 两个数之和小于【解】 设两数为x,y，则0 6. 514417 p1?1?255??0.68 1251(2) xy=<. 4 p2?1???1?11dxdy11???ln2 ??4x?4?42123.设P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B） 【解】 P(BA?B)?P(AB)P(A?)PAB()? P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB)Bocker - 5 - ?0.7?0.51? 0.7?0.6?0.5424.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比 赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率. 【解】 设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新 球} 由全概率公式，有 P(B)??P(BAi)P(Ai) i?03 323213C3C9C1C8C9C6C3C9C369C67?3?3?3?3?3?3?3?36C15C15C15C15C15C15C15C15?0.089 25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学 生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则A={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P （A）=0.8，P（A）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（B|A）=0.9，故由贝叶斯公式知 P(A)P(BA)P(AB)（1）P(AB)? ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA) ?0.2?0.11??0.02702 0.8?0.9?0.2?0.137即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) P(AB)?P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.8?0.14??0.3077 0.8?0.1?0.2?0.913 ?即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%. 26. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而 B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？ 【解】 设A={原发信息是A}，则={原发信息是B} C={收到信息是A}，则={收到信息是B} 由贝叶斯公式，得 Bocker - 6 - P(AC)? ?P(A)P(CA)P(A)P(CA)?P(A)P(CA) 2/3?0.98?0.99492 2/3?0.98?1/3?0.0127.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱 子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种） 【解】设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）= 出一球为白球}.由贝叶斯公式知 1,i=0,1,2.又设B={抽3P(A1B)?P(BA1)P(A1)P(A1B)?2 P(B)?P(BAi)P(Ai)i?0?2/3?1/31? 1/3?1/3?2/3?1/3?1?1/3328.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率 为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品} 由贝叶斯公式得 P(AB)? ?P(A)P(BA)P(AB)? P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.96?0.98?0.998 0.96?0.98?0.04?0.0529.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上 述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？ 【解】 设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}， C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得 P(A|D)? ?P(AD)P(A)P(D|A) ?P(D)P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)P(D|C)0.2?0.05?0.057 0.2?0.05?0.5?0.15?0.3?0.330.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为 0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）. P(?Ai)?1?P(A1A2A3A4) i?14 ?1?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) Bocker - 7 - ?1?0.98?0.97?0.95?0.97?0.124 31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概 率不小于0.9? 【解】设必须进行n次独立射击. 1?(0.8)n?0.9 即为 (0.8)?0.1 故 n≥11 至少必须进行11次独立射击. 32.证明：若P（A｜B）=P(A｜B)，则A，B相互独立. n?【证】 P(A|B)P(A|B)即 P(AB)P(AB)? P(B)P(B)亦即 P(AB)P(B)?P(AB)P(B) P(AB)[1?P(B)]?[P(A)?P(AB)]P(B) 因此 P(AB)?P(A)P(B) 故A与B相互独立. 33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为的概率. 【解】 设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则 111，，，求将此密码破译出534P(?Ai)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3) i?13 ?1?423???0.6 53434.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人 击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3 由全概率公式，得 P(A)??P(A|Bi)P(Bi) i?03=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+ (0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458 35.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用， 且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率. Bocker - 8 -