【高中数学】单元《空间向量与立体几何》知识点归纳
一、选择题
1．在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中,点P1,P2分别是线段AB,BD1（不包括端点）上的动点,且线段PP1ADD1,则四面体PP12AB1的体积的最大值是 12平行于平面AA．
1 24B．
1 12C．
1 6D．
1 2【答案】A 【解析】
由题意在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点P1,P2分别是线段AB,BD1上的动点，
且线段PP1ADD1,?PP12B??AD1B， 12平行于平面A?x,x?(0,1)，即PP 设PB到平面AA1B1B的距离为x， 112?2x,P2 所以四棱锥PP12AB1的体积为V? 当x?111??(1?x)?1?x?(x?x2)， 32611时，体积取得最大值，故选A． 224
点睛：本题考查了空间几何体的结构特征，及几何体的体积的计算，其中解答中找出所求四面体的底面面积和四面体的高是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于空间几何体的体积与表面积的计算时，要正确把握几何体的结构特征和线面位置关系在解答中的应用．
2．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E?平面AA1B1B，点F是线段AA1的中点，若
S△EBC?（ ） D1E?CF，则当VEBC的面积取得最小值时，
SABCDA．25 5B．
1 2C．5 5D．5 10【答案】D 【解析】 【分析】
根据D1E?CF分析出点E在直线B1G上，当VEBC的面积取得最小值时，线段EB的长度为点B到直线B1G的距离，即可求得面积关系． 【详解】
先证明一个结论P：若平面外的一条直线l在该平面内的射影垂直于面内的直线m，则l⊥m，
即：已知直线l在平面内的射影为直线OA，OA⊥OB，求证：l⊥OB. 证明：直线l在平面内的射影为直线OA，
不妨在直线l上取点P，使得PA⊥OB，OA⊥OB，OA，PA是平面PAO内两条相交直线， 所以OB⊥平面PAO，PO?平面PAO， 所以PO⊥OB，即l⊥OB.以上这就叫做三垂线定理. 如图所示，取AB的中点G，
正方体中：A1C1?D1B1，CF在平面A1B1C1D1内的射影为A1C1， 由三垂线定理可得：CF?D1B1，
CF在平面A1B1BA内的射影为FB，FB?B1G
由三垂线定理可得：CF?B1G，B1G与D1B1是平面B1D1G内两条相交直线， 所以CF?平面B1D1G，
∴当点E在直线B1G上时，D1E?CF，
11?EB?BC??EB?a， 22当VEBC的面积取最小值时，
设BC?a，则S△EBC?线段EB的长度为点B到直线B1G的距离，
a∴线段EB长度的最小值为，
5?S△EBCSABCD1a??a5. 25??a210故选：D. 【点睛】
此题考查立体几何中的轨迹问题，通过位置关系讨论面积关系，关键在于熟练掌握线面垂直关系的判定和平面图形面积的计算.
3．已知圆锥SC的高是底面半径的3倍，且圆锥SC的底面直径、体积分别与圆柱OM的底面半径、体积相等，则圆锥SC与圆柱OM的侧面积之比为（ ）. A．10:1 【答案】A 【解析】 【分析】
设圆锥SC的底面半径为r，可求得圆锥的母线长，根据圆锥侧面积公式求得侧面积；由圆锥体积与圆柱体积相等可构造方程求得圆柱的高，进而根据圆柱侧面积公式求得圆柱侧面积，从而求得比值. 【详解】
设圆锥SC的底面半径为r，则高为3r，?圆锥SC的母线长l?r2?9r2?10r，
B．3:1
C．2:1
D．10:2
?圆锥SC的侧面积为?rl?10?r2；
圆柱OM的底面半径为2r，高为h， 又圆锥的体积V?12r?r?3r??r3，?4?r2h??r3，?h?， 34?圆柱OM的侧面积为2??2rh?4?rh??r2，
?圆锥SC与圆柱OM的侧面积之比为10?r2:?r2?10:1.
故选：A. 【点睛】
本题考查圆锥和圆柱侧面积的求解问题，涉及到圆锥和圆柱体积公式的应用，属于基础题.
4．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB?平面BCD，VBCD是边长为3的等边三角形，若AB?2，则球O的表面积为( ) A．16? 【答案】A 【解析】 【分析】
先求底面外接圆直径,再求球的直径,再利用表面积S??D2求解即可.
B．
32? 3C．12? D．32?
【详解】
VBCD外接圆直径
d?CD3??23 , sin?CBD32故球的直径平方D2?AB2?d2?22?(23)2?16,故外接球表面积S??D2?16? 故选：A 【点睛】
本题主要考查侧棱垂直底面的锥体外接球表面积问题,先利用正弦定理求得底面直径d,再利用锥体高h,根据球直径D?d2?h2求解即可.属于中等题型.
5．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于( )
A．3 【答案】B 【解析】 【分析】
B．5 C．6 D．12
首先由三视图还原几何体，再将刍甍分为三部分求解体积，最后计算求得刍甍的体积. 【详解】
由三视图换元为如图所示的几何体，该几何体分为三部分，中间一部分是直棱柱，两侧是相同的三棱锥，
并且三棱锥的体积?1?3?1?1，
13