圆内接正六边形与圆的面积之比:e=S正六边形S圆=0.827

测控站测控的范围与曲面交线圆的面积：S3=pr2 对应的圆内接正六边形的面积：S4=S3 e

其中测控站测控的范围与曲面的交线圆半径：r=(R+H)sin(87-arcsin( 需要的测控站数目至少为：n=[S2S4]+1

°Rsin93R+H°))

将神舟七号运行数据：离地面高度H=343千米，地球半径R=6371千米以及倾角

°q=42.2代入上式，编辑MATLAB程序（见附件4）运算得到n=67，即最少需要建67个测控站才能全程测控神七飞行。

图8 圆内接六边形覆盖法

5.3 对问题三资料的查取与分析

通过上网查阅资料，搜集了我国神州7号飞船运行资料和相关测控站点的分部信息，飞船运行在轨道倾角42.4度、近地点高度200公里、远地点高度350公里的椭圆轨道上，实施变轨后，进入343公里的圆轨道。各个测控站的地理位置位置如表1。

表1 神舟七号测控站地理位置 1 2 3 4 卫星测控站 东风站 酒泉卫星发射中心 喀什卫星测控站 和田站 经度 98.50°E 100.50°E 75.99°E 79.92°E 纬度 39.70°N 41.83°N 39.45°N 37.10°N 11

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 青岛站 陕西渭南卫星测控站 厦门卫星测控站 纳米比亚站 卡拉奇卫星测控站 马林迪站 圣地亚哥站 远望一号测控船 远望二号测控船 远望三号测控船 远望四号测控船 远望五号测控船 120.30°E 109.50°E 118.01°E 14.52°E 66.99°E 40.10°E 70.10°E 77.0°W 150.0°W 0.0°E 135.0°E 180.0°E 36.20°N 34.50°N 24.07°N 22.67°N 24.82°N 3.22°S 33.43°S 20.0°S 31°S 1.0°N 30.0°N 32.0°N 根据世界地图及神舟七号测控通信系统分布图9所示。

图9 神舟七号测控站分布图 9060300-30-60-90060120180240300360我们对其中的测控站进行拟合，发现所成图形近似正弦函数的曲线。对此。我们试作以下分析：卫星的运行轨道在地球表面上的投影应大致服从正弦曲线分布。测控站的作用是为了能够更清晰更准确的了解卫星运行的具体情况，故测控站分布在卫星的运行轨道在地球表面上的投影曲线上是十分必要的。

查找了神舟六号的观测站数据，各观测站具体位置见附件表1，对模型进行了验证，通过对数据的分析显示，监控占的位置同样接近于正弦曲线，增大了对卫星检测的覆盖面。

6、模型的评价及其改进

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6.1、模型的评价

优点：模型有特殊到一般，由简单到复杂，充分考虑了卫星或飞船运行轨道为椭圆时的测算方式，灵活巧妙地计算出了需要最少测控站的区间，减小了数据误差。问题二中我们考虑正四边形和正六边形两种情况，使模型具有更高的可靠性

对于问题一，我们建立了圆形轨道模型。由于在模型建立之初所作的假设较少，故与真实情况比较接近，因而实用性强，同时把圆形轨道模型推广到椭圆模型，对问题2的解决起着重要作用。在解决问题2的过程中，我们建立了圆锥测控模型。并且应用此模型对神舟六号与神舟七号飞船的测控站的数目进行了验证，所得结果与实际相近。这充分说明了所建模型比较理想。

对于问题3，我们给出了测控站分布的拟合曲线，发现卫星的运行曲线大致服从正弦曲线，如图所示。

另外，在某些具体问题上，采用内接正方形或内接正六边形、正八边形覆盖所要测控的区域，会出现较多的浪费，这时不能一味追求圆内接图形面积占圆面积的比率，而应该从整体的角度来考虑测控站的最优分布。

6.2、模型的改进

关于问题二：在地球自转的影响下卫星运行过程中星下线的轨迹是地球表面的一些曲线，计算测控站的数量比较困难。一种估算方法是设置许多测控站，使得其能覆盖卫星飞过的所有空域。计算这个涵盖赤道的球面的立体角，再用一个观测站所能覆盖的立体角去除这个涵盖赤道的立体角，就可以得到得到要覆盖这个区域至少需要的观测站的数目

7、参考文献

[1] 姜启源，数学模型[M]，北京高等教育出版社，1993

[2] 叶其孝，数学建模，教育与国际数学建模竞赛中国工业与应用数学学会工科数学杂志社，1994

[3] 萧树铁主编，大学数学试验（第二版）[M]，高等教育出版社，2006 [4] 苏金明 阮沈勇，Matlab 实用教程，北京，电子工业出版社，2005

[5] 张海基等，卫星和飞船跟踪测控的数学模型，苏州市职业大学学报，2010年第1期，72-75

[6] 戴红兵等，卫星和飞船的跟踪测控，思茅师范高等专科学校学报，2009年第6期，28-32

[7] 杨徐昕等，卫星或飞船的跟踪测控模型设计，重庆科技学院学报（自然科学版），2010年第1期，183-187

[8] 柳仲贵，卫星跟踪系统的动态范围，飞行器测控学报，2003

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附件：

附件1：卫星或飞船与地球、太阳关系Matlab程序

figure('name','卫星或飞船与地球、太阳关系'); s1=[0:.01:2*pi];

hold on;axis equal;%建立坐标系 axis off % 除掉Axes

r1=10;%地球到太阳的平均距离

r2=3;%卫星或飞船到地球的平均距离 w1=1;%设置地球公转角速度

w2=12%设置卫星或飞船绕地球公转角速度 t=0;%初始时刻为０

pausetime=.002;%设置暂停时间

sita1=0;sita2=0;%设置开始它们都在水平线上 set(gcf,'doublebuffer','on') %消除抖动

plot(-20,18,'color','r','marker','.','markersize',40); text(-17,18,'太阳');%对太阳进行标识

p1=plot(-20,16,'color','b','marker','.','markersize',20); text(-17,16,'地球');%对地球进行标识

p1=plot(-20,14,'color','k','marker','.','markersize',13); text(-17,14,'卫星或飞船');%对卫星或飞船进行标识 plot(0,0,'color','r','marker','.','markersize',60);%画太阳 plot(r1*cos(s1),r1*sin(s1));%画地球公转轨道 set(gca,'xlim',[-20 20],'ylim',[-20 20]);

p1=plot(r1*cos(sita1),r1*sin(sita1),'color','b','marker','.','markersize',30);%画地球初始位置 l1=plot(r1*cos(sita1)+r2*cos(s1),r1*sin(sita1)+r2*sin(s1));%画卫星或飞船绕地球公转轨道 p2x=r1*cos(sita1)+r2*cos(sita2);p2y=r1*sin(sita1)+r2*sin(sita2);

p2=plot(p2x,p2y,'k','marker','.','markersize',20);%画卫星或飞船的初始位置 orbit=line('xdata',p2x,'ydata',p2y,'color','r');%画卫星或飞船的运动轨迹 while 1

set(p1,'xdata',r1*cos(sita1),'ydata',r1*sin(sita1));%设置地球的运动过程

set(l1,'xdata',r1*cos(sita1)+r2*cos(s1),'ydata',r1*sin(sita1)+r2*sin(s1));%设置卫星或飞船绕地球的公转轨道的运动过程

ptempx=r1*cos(sita1)+r2*cos(sita2);ptempy=r1*sin(sita1)+r2*sin(sita2); set(p2,'xdata',ptempx,'ydata',ptempy);%设置卫星或飞船的运动过程 p2x=[p2x ptempx];p2y=[p2y ptempy];

set(orbit,'xdata',p2x,'ydata',p2y);%设置卫星或飞船运动轨迹的显示过程 sita1=sita1+w1*pausetime;%地球相对太阳转过的角度

sita2=sita2+w2*pausetime;%卫星或飞船相对地球转过的角度 pause(pausetime); drawnow

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