数值分析习题集
（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）
长沙理工大学
第一章 绪 论
1. 设x>0,x的相对误差为δ,求lnx的误差.
2. 设x的相对误差为2％,求x的相对误差.
3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出
它们是几位有效数字: 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:
*****x1?1.1021,x2?0.031,x3?385.6,x4?56.430,x5?7?1.0.
n************(i)x1?x2?x4,(ii)x1x2x3,(iii)x2/x4,其中x1,x2,x3,x4均为第3题所给的数.
5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 6. 设Y0?28,按递推公式
1783100 ( n=1,2,…)
Y计算到Y100.若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100将有多大误差?
Yn?Yn?1?27. 求方程x?56x?1?0的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982).
8. 当N充分大时,怎样求
???N1dx1?x2?
29. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝?
S?10. 设
误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列
12gt2假定g是准确的,而对t的测量有±0.1秒的误差,证明当t增加时S的绝对
{yn}满足递推关系yn?10yn?1?1(n=1,2,…),若y0?2?1.41(三位有效数字),y10时误差有多大?这个计算过程稳定吗?
6计算到
12. 计算f?(2?1),取2?1.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?
113,(3?22),,99?702.63(2?1)(3?22)
13. f(x)?ln(x?x?1),求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若
2改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大?
ln(x?x2?1)??ln(x?x2?1)
14. 试用消元法解方程组
?x1?1010x2?1010;x1?x2?2.假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
1?absinc,0?c?22,且测量a ,b ,c 的误差分别为15. 已知三角形面积其中c为弧度,
?a,?b,?c.证明面积的误差?s满足
s??s?a?b?c???.sabc
第二章 插值法
1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令
Vn(x)?Vn(x0,x1,?,xn?1,x)?1?11x0?xn?1x2x0????nx0?2nxn?xn?1?1x2xn
证明Vn(x)是n次多项式,它的根是x0,?,xn?1,且
Vn(x)?Vn?1(x0,x1,?,xn?1)(x?x0)?(x?xn?1).
2. 当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式.
3. 给出f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值. x 0.4 0.5 0.6 0.7 lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 0.8 -0.223144
4. 给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,
研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.
maxl2(x)x?x?khx0?x?x3k05. 设,k=0,1,2,3,求.
xj6. 设
为互异节点(j=0,1,…,n),求证:
i) ii) 7. 设
?xl(x)?x(k?0,1,?,n);kjjkj?0nn
?(xj?0j?x)klj(x)???k?1,2,?,n).2f(x)?C?a,b?且f(a)?f(b)?0,求证maxa?x?bx?61f(x)?(b?a)2maxf?(x).8a?x?b
x8. 在?4?x?4上给出f(x)?e的等距节点函数表,若用二次插值求e的近似值,要使截
断误差不超过10,问使用函数表的步长h应取多少? 9. 若yn?2,求?yn及?yn. 10. 如果f(x)是
n44m次多项式,记?f(x)?f(x?h)?f(x),证明f(x)的k阶差分
?kf(x)(0?k?m)是m?k次多项式,并且?m?lf(x)?0(l为正整数).
11. 证明?(fkgk)?fk?gk?gk?1?fk. 12. 证明k?0n?1n?1n?1?f?gkk?fngn?f0g0??gk?1?fk.k?0
13. 证明
??j?02yj??yn??y0.
n?114. 若f(x)?a0?a1x???an?1xn?anxn有n个不同实根x1,x2,?,xn,证明
?f?(x)j?1jxkj??0,0?k?n?2;?1an,k?n?1.15. 证明n阶均差有下列性质: i)
若F(x)?cf(x),则F?x0,x1,?,xn??cf?x0,x1,?,xn?;
ii) 若F(x)?f(x)?g(x),则F?x0,x1,?,xn??f?x0,x1,?,xn??g?x0,x1,?,xn?.
74f?20,21,?,27?f?20,21,?,28?f(x)?x?x?3x?1????. 16. ,求及
17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是
并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.
R3(x)?f(4)(?)(x?xk)2(x?xk?1)2/4!,??(xk,xk?1)
18. 求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足P(0)?P(?k?1)并由此求出分段三次
埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式P(x),以便使它能够满足以下边界条件
P(0)?P?(0)?0,P(1)?P?(1)?1,P(2)?1.
20. 设
f(x)?C?a,b?,把?a,b?分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数?n(x)并证明当n??时,?n(x)在a,b上一致收敛到f(x).
2f(x)?1/(1?x),在?5?x?5上取n?10,按等距节点求分段线性插值函数Ih(x),21. 设
计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)的值,并估计误差.
????423. 求f(x)?x在?a,b?上的分段埃尔米特插值,并估计误差.
24. 给定数据表如下: 0.25 xj 0.30 0.5477 0.39 0.6245 222. 求f(x)?x在a,b上的分段线性插值函数Ih(x),并估计误差.
0.45 0.6708 0.53 0.7280 yj i) ii)
0.5000 试求三次样条插值S(x)并满足条件
2f(x)?C?a,b?,S(x)是三次样条函数,证明 25. 若
S?(0.25)?1.0000,S?(0.53)?0.6868; S?(0.25)?S?(0.53)?0.
i)
??ba?f?(x)?dx???S?(x)?dx??a2b2ba?f?(x)?S?(x)?dx?2?S?(x)?f?(x)?S?(x)?dxa2b;
ii) 若f(xi)?S(xi)(i?0,1,?,n),式中xi为插值节点,且a?x0?x1???xn?b,则
baS?(x)?f?(x)?S?(x)?dx?S?(b)?f?(b)?S?(b)??S?(a)?f?(a)?S?(a)?.
26. 编出计算三次样条函数S(x)系数及其在插值节点中点的值的程序框图(S(x)可用(8.7)
式的表达式).
第三章 函数逼近与计算
1. (a)利用区间变换推出区间为a,b的伯恩斯坦多项式.
1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的
马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:
(a)当m?f(x)?M时,m?Bn(f,x)?M. (b)当f(x)?x时,Bn(f,x)?x. 3. 在次数不超过6的多项式中,求f(x)?sin4x在0,2?的最佳一致逼近多项式. 4. 假设f(x)在a,b上连续,求f(x)的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数a,使0?x?1??(b)对f(x)?sinx在?0,?/2?上求
????maxx3?ax达到极小,又问这个解是否唯一?
6. 求f(x)?sinx在?0,?/2?上的最佳一次逼近多项式,并估计误差. 7. 求f(x)?e在?0,1?上的最佳一次逼近多项式.
x8. 如何选取r,使p(x)?x?r在??1,1?上与零偏差最小?r是否唯一?
29. 设f(x)?x?3x?1,在?0,1?上求三次最佳逼近多项式.
43***T(x)?T(2x?1),x?0,1??T(x),T(x),T(x),T3(x). nn01210. 令,求
11. 试证12. 在??T*n(x)?是在0,1上带权
????1x?x2的正交多项式.
?1,1?上利用插值极小化求1f(x)?tg?1x的三次近似最佳逼近多项式.
?x13. 设f(x)?e在??1,1?上的插值极小化近似最佳逼近多项式为Ln(x),若f?Ln有界,
证明对任何n?1,存在常数?n、?n,使
?nTn?1(x)?f(x)?Ln(x)??nTn?1(x)(?1?x?1).
?上14. 设在?项式并估计误差.
?1,115. 在??(x)?1?11331541655x?x2?x?x?x28243843840,试将?(x)降低到3次多
?1,1?上利用幂级数项数求f(x)?sinx的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.
16. f(x)是??a,a?上的连续奇(偶)函数,证明不管n是奇数或偶数,f(x)的最佳逼近多项式
Fn*(x)?Hn也是奇(偶)函数.
?ax?b?sinx?dx为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.
17. 求a、b使?20?21g(x)?C?a,b?,定义 f(x)18. 、
(a)(f,g)??f?(x)g?(x)dx;(b)(f,g)??f?(x)g?(x)dx?f(a)g(a);aabb 问它们是否构成内积?
1
x6dx?01?x19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,
并比较其结果.
20. 选择a,使下列积分取得最小值:21. 设空间
?1?1(x?ax2)2dx,?x?ax2dx?11.
???span?1,x?,?2?span?x100,x101?,分别在?1、?2上求出一个元素,使得其为
x2?C?0,1?的最佳平方逼近,并比较其结果.
??span?1,x,x?22. f(x)?x在??1,1?上,求在1上的最佳平方逼近.
sin?(n?1)arccosx?un(x)?1?x223. 是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系
24un?1?x??2xun?x??un?1?x?.
24. 将
近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.
f(x)?sin1x2在??1,1?上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼
25. 把f(x)?arccosx在??1,1?上展成切比雪夫级数.
26. 用最小二乘法求一个形如y?a?bx的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.
19 25 31 38 44 xi 2yi 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 27. 观测物体的直线运动,得出以下数据: 0.9 1.9 时间t(秒) 0 3.0 3.9 5.0 110 10 30 50 80 距离s(米) 0 求运动方程. 28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下: 10 15 20 25 30 35 40 45 时间 0 5 浓度 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 用最小二乘拟合求y?f(t).
29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT算法的程序框图. 31. 现给出一张记录?50 4.62 55 4.64 xk???4,3,2,1,0,1,2,3?,试用改进FFT算法求出序列?xk?的离散频谱
?Ck?(k?0,1,?,7).
第四章 数值积分与数值微分
1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具
有的代数精度:
(1)(2)(3)
??h?hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h); ;
?2h?2h1f(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)?1f(x)dx??f(?1)?2f(x1)?3f(x2)?/3;
.
(4)?h0f(x)dx?h?f(0)?f(h)?/1?ah2?f?(0)?f?(h)?1?x22. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:
1(1?e)xdx,n?10dx,n?8??04?x20x(1); (2);
1(3)1; (4)
3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度. 4. 用辛普森公式求积分0并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:
(1)(2)(3)
?9?xdx,n?4?60?sin2?dx,n?6.
?1e?xdx??baba?baf?(?)(b?a)22; f?(?)f(x)dx?(b?a)f(b)?(b?a)22; a?bf?(?)f(x)dx?(b?a)f()?(b?a)3224. f(x)dx?(b?a)f(a)?6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n??时收敛到积分7. 用复化梯形公式求积分a超过?(设不计舍入误差)?
?baf(x)dx.
?bf(x)dx1,问要将积分区间?a,b?分成多少等分,才能保证误差不
28. 用龙贝格方法计算积分??0e?xdx,要求误差不超过10.
??5cS?a?21?()2sin2?d?0a9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是,这里a是椭圆
的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h为近地点距离,H为远地点距离,R?6371公里为地球半径,则a?(2R?H?h)/2,c?(H?h)/2.我国第一颗人造
卫星近地点距离h?439公里,远地点距离H?2384公里,试求卫星轨道的周长.
n10. 证明等式
法求?的近似值.
nsin?????33!n2??55!n4??试依据nsin(?/n)(n?3,6,12)的值,用外推算
11. 用下列方法计算积分
(1) 龙贝格方法;
?31dyy并比较结果.
(2) 三点及五点高斯公式;
(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.
f(x)?12. 用三点公式和五点公式分别求
差.f(x)的值由下表给出: 1.0 1.1 x 1(1?x)2在x?1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误
1.2 0.2066 1.3 0.1890 1.4 0.1736 f(x) 0.2500 0.2268 第五章 常微分方程数值解法
1. 就初值问题y??ax?b,y(0)?0分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解
2. 用改进的尤拉方法解初值问题
y?12ax?bx2相比较。
?y??x?y,0?x?1;??y(0)?1,
x取步长h=0.1计算，并与准确解y??x?1?2e相比较。
3. 用改进的尤拉方法解
?y??x2?x?y;??y(0)?0,
?x2取步长h=0.1计算y(0.5)，并与准确解y??e?x?x?1相比较。
4. 用梯形方法解初值问题
证明其近似解为
?y??y?0;??y(0)?1,
n?2?h?yn???,2?h??
?x并证明当h?0时，它原初值问题的准确解y?e。
5. 利用尤拉方法计算积分
?e0xt2dt在点x?0.5,1,1.5,2的近似值。
6. 取h=0.2，用四阶经典的龙格－库塔方法求解下列初值问题：
?y??x?y,0?x?1;? 1）?y(0)?1,
?y??3y/(1?x),0?x?1;? 2）?y(0)?1.
7. 证明对任意参数t，下列龙格－库塔公式是二阶的：
8. 证明下列两种龙格－库塔方法是三阶的：
h?y?y?(K2?K3);n?n?12??K?f(x,y);nn?1?K2?f(xn?th,yn?thK1);???K3?f(xn?(1?t)h,yn?(1?t)hK1).
h?y?y?(K1?3K3);n?n?14??K1?f(xn,yn);??hhK?f(x?,y?K1);nn?233??K?f(x?2h,y?2hK);nn2?3331） ? h?y?y?(2K1?3K2?4K3);n?n?19?K?f(xn,yn);??1?hhK?f(x?,y?K1);nn?222??K?f(x?3h,y?3hK).nn2?3442） ?
9. 分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列初值问题：
y??1?y,y(0)?0,
?xh?0.2,y?0,y?0.181,y(1.0)y?1?e01取计算并与准确解相比较。
10. 证明解y??f(x,y)的下列差分公式
yn?1?是二阶的，并求出截断误差的首项。 11. 导出具有下列形式的三阶方法： 12. 将下列方程化为一阶方程组：
1h??1?yn??3yn??1)(yn?yn?1)?(4yn24
??b1yn??1?b2yn??2). yn?1?a0yn?a1yn?1?a2yn?2?h(b0yny???3y??2y?0,1）y(0)?1,y?(0)?1;
y???0.1(1?y2)y??y?0,2）y(0)?1,y?(0)?0;
xy??,y(t)??,r?x2?y2,33rr3）
x(0)?0.4,x?(0)?0,y(0)?0,y?(0)?2.
x??(t)??13. 取h=0.25，用差分方法解边值问题
14. 对方程y???f(x,y)可建立差分公式
?y???y?0;??y(0)?0,y(1)?1.68.
试用这一公式求解初值问题
yn?1?2yn?yn?1?h2f(xn,yn),
验证计算解恒等于准确解
?y???1;??y(0)?y(1)?0,
x2?xy(x)?.2
15. 取h=0.2用差分方法解边值问题
?(1?x2)y???xy??3y?6x?3;??y(0)?y?(0)?1,y(1)?2.
第六章 方程求根
21. 用二分法求方程x?x?1?0的正根，要求误差<0.05。
2. 用比例求根法求f(x)?1?xsinx?0在区间[0,1]内的一个根，直到近似根xk满足精度
|f(xk)|?0.005时终止计算。
323. 为求方程x?x?1?0在x0?1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。
22x?1?1/xx?1?1/xk； 1），迭代公式k?12332x?1?xk?1kx?1?x2），迭代公式；
1x2?x?1，迭代公式xk?1?1/xk?1。 3）
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。 4. 比较求e?10x?2?0的根到三位小数所需的计算量；
1）在区间[0,1]内用二分法；
xkx?(2?e)/10，取初值x0?0。 k?12) 用迭代法
5. 给定函数f(x)，设对一切x,f?(x)存在且0?m?f?(x)?M，证明对于范围内0???2/M的任意定数λ，迭代过程xk?1?xk??f(xk)均收敛于f(x)的根x?。
x6. 已知x??(x)在区间[a,b]内只有一根，而当a |??(x)|?k?1， 试问如何将x??(x)化为适于迭代的形式？ 将x?tgx化为适于迭代的形式，并求x=4.5（弧度）附近的根。 ?7. 用下列方法求f(x)?x?3x?1?0在x0?2附近的根。根的准确值x＝1.87938524…，要求计算结果准确到四位有效数字。 1) 用牛顿法； 32）用弦截法，取x0?1,x1?1.9； 3）用抛物线法，取x0?1,x1?3,x2?2。 8. 用二分法和牛顿法求x?tgx?0的最小正根。 9. 研究求a的牛顿公式 xk?1?证明对一切k?1,2,?,xk?1a(xk?),x0?0,2xk a且序列x1,x2,?是递减的。 10. 对于f(x)?0的牛顿公式xk?1?xk?f(xk)/f?(xk)，证明 Rk?(xk?xk?1)/(xk?1?xk?2)2 收敛到?f??(x)/(2f?(x))，这里x为f(x)?0的根。 11. 试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度： ?????x,x?0;f(x)??????x,x?0; 1) 23??x,x?0;f(x)??23???x,x?0. 2) 3212. 应用牛顿法于方程x?a?0，导出求立方根a的迭代公式，并讨论其收敛性。 13. 应用牛顿法于方程值。 f(x)?1?a?0x2，导出求a的迭代公式，并用此公式求115的 f(x)?1?a?0nxn，分别导出求a的迭代公 14. 应用牛顿法于方程f(x)?x?a?0和 式，并求 k??nlim(na?xk?1)/(na?xk)2.15. 证明迭代公式 xk?1x(x?3a)?kk23xk?a 2?是计算a的三阶方法。假定初值x0充分靠近根x，求 lim(a?xk?1)/(a?xk)3.k?? 第七章 解线性方程组的直接方法 1. 考虑方程组： ?0.4096x1?0.1234x2?0.2246x?0.3872x?12??0.3645x1?0.1920x2??0.1784x1?0.4002x2?0.3678x3?0.2943x4?0.4043;?0.4015x3?0.1129x4?0.1550;?0.3781x3?0.0643x4?0.4240;?0.2786x3?0.3927x4??0.2557; (a) 用高斯消去法解此方程组（用四位小数计算）， (b) 用列主元消去法解上述方程组并且与(a)比较结果。 2. (a) 设A是对称阵且a11?0，经过高斯消去法一步后，A约化为 ?a11??0证明A2是对称矩阵。 (b)用高斯消去法解对称方程组： a1T??A2? 4. 设A为n阶非奇异矩阵且有分解式A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，求证A的所有顺序主子式均不为零。 5. 由高斯消去法说明当?i?0(i?1,2,?,n?1)时，则A=LU，其中L为单位下三角阵，U 为上三角阵。 ;?0.6428x1?0.3475x2?0.8468x3?0.4127?;?0.3475x1?1.8423x2?0.4759x3?1.7321??0.8468x?0.4759x?1.2147x??0.8621. 123?|aii|??|aij|(i?1,2,?,n),j?i6. 设A 为n阶矩阵，如果称A为对角优势阵。证明：若A 是对角优势阵，经过高斯消去法一步后，A具有形式 j?1n?a11??0?a11??0其中A?(aij)n,A2?(aij)n?1; (2)a1T??A2?。 a1T??A2?， 7. 设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为 证明 （1）A的对角元素aii?0(i?1,2,?,n); （2）A2是对称正定矩阵； (n)a?aii,(i?1,2,?,n); n（3） （4）A的绝对值最大的元素必在对角线上； （5）2?i,j?n(2)max|aij|?max|aij|;2?i,j?n (k)|aij|?1. （6）从（2），（3），（5）推出，如果|aij|?1，则对所有k 8. 设Lk为指标为k的初等下三角阵，即 ?1????????1Lk???m1k?1,k????????m1??nk??（除第k列对角元下元素外，和单位阵I相同） ~L求证当i,j?k时，k?IijLkIij也是一个指标为k的初等下三角阵，其中Iij为初等排 列阵。 9. 试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角阵，U为单位上三角阵。 10. 设Ux?d，其中U为三角矩阵。 (a) 就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，病写出算法。 (b) 计算解三角形方程组Ux?d的乘除法次数。 (c) 设U为非奇异阵，试推导求U?1的计算公式。 ?1T11. 证明（a）如果A是对称正定阵，则A也是正定阵； （b）如果A是对称正定阵，则A可唯一写成A?LL,其中L是具有正对角元的下三角阵。 12. 用高斯－约当方法求A的逆阵： ?21?3?1??310?7?A????124?2???10?15?? 13. 用追赶法解三对角方程组Ax?b，其中 00??2?10?1???12?10??0?0????A??0?12?10?,b??0?????00?12?1???0???00?12??0??0?? 14. 用改进的平方根法解方程组 15. 下述矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么 分解是否唯一？ ?2?11??x1??4???1?23??x???5?.???2????31??1???x3????6?? 16. 试划出部分选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组 ?123??111??126??,B??221?,C??2515?.A??241??????????467???331???61546?? ?034??x1??1??1?11??x???2????2?????212????x3????3??. 17. 如果方阵A 有aij?0(|i?j|?t)，则称A为带宽2t+1的带状矩阵，设A满足三角分解条件，试推导A?LU的计算公式，对r?1,2,?,n. r?11） uri?ari?lir?(air?rkkik?max(1,i?t)?lr?1u (i?r,r?1,?,min(n,r?t))； (i?r?1,?,min(n,r?t)). 2）18. 设 ikkrk?max(1,i?t)?lu)/urr?0.60.5?A????0.10.3?， 计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。 19. 求证 (a) ||x||??||x||1?n||x||?， 1(b) n||A||F?||A||2?c2||A||Fn?n。 20. 设 P?Rn且非奇异，又设||x||为R上一向量范数，定义 ||x||p?||Px||。 n试证明||x||p是R上的一种向量范数。 21. 设A?Rn?n为对称正定阵，定义 ||x||A?(Ax,x)1/2， n试证明||x||A为R上向量的一种范数。 nTx?R,x?(xx,?,x)12n22. 设，求证 lim(?||xi||p)1/p?maxxi?||x||?y??i?11?i?nn。 23. 证明：当且尽当x和y线性相关且xy?0时，才有 T||x?y||2?||x||2?||y||2。 24. 分别描述R中（画图） 2Sv?{x|||x||v?1,x?R2},(v?1,2,?)。 nn25. 令?是R（或C）上的任意一种范数，而P是任意非奇异实（或复）矩阵，定义范 数||x||??||Px||，证明||A||??||PAP||。 n?n26. 设||A||s,||A||t为R上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数c1,c2?0，使对一切 ?1A?Rn?n满足 c1||A||s?||A||t?c2||A||s TTn?nTT?(AA)??(AA)。 A?RAAAA27. 设，求证与特征值相等，即求证 28. 设A为非奇异矩阵，求证 ||A||?y?0||y||||A?1||??。 ?1?129. 设A为非奇异矩阵，且||A||||?A||?1，求证(A??A)存在且有估计 1?min||?A||||A?1?(A??A)?1||||A||?.?1||?A||||A||1?cond(A)||A|| cond(A)30. 矩阵第一行乘以一数，成为 ?2???A????11?。 证明当 ???23时，cond(A)?有最小值。 TT1/2T31. 设A为对称正定矩阵，且其分解为A?LDL?WW，其中W?DL，求证 (a) cond(A)2?[cond(?)2]; Tcond(A)?cond(?)2cond(?)2. 2(b) 232. 设 ?10099?A????9998? 计算A的条件数。cond(A)v(v?2,?) 33. 证明：如果A是正交阵，则cond(A)2?1。 34. 设A,B?Rn?n且?为上矩阵的算子范数，证明 cond(AB)?cond(A)cond(B)。 第八章 解方程组的迭代法 1. 设方程组 (a) 考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性; (k?1)(k)?4||x?x||?10?(b) 用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当时迭代 ?5x1?2x2?x3??12???x1?4x2?2x3?20?2x?3x?10x?323?1 终止． ?00?A????20?, 证明:即使||A||1?||A||??1级数I?A?A2???Ak??也收敛． 2. 设 3. 证明对于任意选择的A, 序列 I,A,收敛于零． ４. 设方程组 121314A,A,A,?23!4! 迭代公式为 ?a11x1?a12x2?b1;??a21x1?a22x2?b2; (a11,a12?0); 1?(k)(k?1)x?(b?ax);11122?a11???x(k)?1(b?ax(k?1));22211?a22? (k?1,2,?). (k){x}收敛的充要条件是 求证: 由上述迭代公式产生的向量序列 r?5. 设方程组 a12a21?1.a11a22 ?x1?0.4x2?0.4x3?1??0.4x1?x2?0.8x3?2?0.4x?0.8x?x?3123(a) ? (b) 6. 求证k???x1?2x2?2x3?1??x1?x2?x3?1?2x?2x?x?123?1 试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。 limAk?A的充要条件是对任何向量x，都有 7. 设Ax?b，其中A对称正定，问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛？试考察习题5(a)方程组。 8. 设方程组 k??limAkx?Ax.111?x?x?x??143442;??x?1x?1x?1;?243442???1x?1x?x?1;3?41422?111??x1?x2?x4?.42 ?4(a) 求解此方程组的雅可比迭代法的迭代矩阵B0的谱半径； (b) 求解此方程组的高斯－塞德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径； (c) 考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯－塞德尔迭代法的收敛性。 9. 用SOR方法解方程组（分别取松弛因子??1.03,??1,??1.1） ?4x1?x2?1;???x1?4x2?x3?4;??x?4x??3.3?2 11x??(,1,?)T,?(k)?622要求当||x?x||??5?10时迭代终止，并且对每一个?精确解 值确定迭代次数。 10. 用SOR方法解方程组（取?＝0.9） ?5x1?2x2?x3??12;???x1?4x2?2x3?20;?2x?3x?10x?3.23?1 (k?1)(k)?4||x?x||?10?要求当时迭代终止。 11. 设有方程组Ax?b，其中A为对称正定阵，迭代公式 x(k?1)?x(k)??(b?Ax(k)), (k?0,1,2,?) ?时上述迭代法收敛（其中0????(A)??）。 (k?1)(k?1)xAx?bi12. 用高斯－塞德尔方法解，用记x的第i个分量，且 试证明当 0???2ri(k?1)?bi??aijxj?1i?1(k?1)j??aijxi(k)j?in。 ri(k?1)x?x?ai； (a) 证明 (k)?x(k)?x?，其中x?是方程组的精确解，求证： (b) 如果?(k?1)i(k)i?ri(k?1)(k?1)i??(k)iri(k?1)?aii 其中 (c) 设A是对称的，二次型 ??aij?j?1i?1(k?1)j??aij?i(k)j?in。 Q(?(k))?(A?(k),?(k)) Q(?(k?1))?Q(?(k)j?1jj证明 。 (d) 由此推出，如果A是具有正对角元素的非奇异矩阵，且高斯－塞德尔方法对任意初始向 )???n(rj(k?1))2a量x是收敛的，则A是正定阵。 13. 设A与B为n阶矩阵，A为非奇异，考虑解方程组 (0)Az1?Bz2?b1,Bz1?Az2?b2, 其中z1,z2,d1,d2?R。 (a) 找出下列迭代方法收敛的充要条件 (b) 找出下列迭代方法收敛的充要条件 比较两个方法的收敛速度。 14. 证明矩阵 (m?1)(m)(m?1)(m)Az1?b1?Bz2,Az2?b2?Bz1(m?0); n(m?1)(m)(m?1)(m?1)Az1?b1?Bz2,Az2?b2?Bz1(m?0); ?1aa??A??a1a????aa1?? 111??a?1??a?2是收敛的。 对于2是正定的，而雅可比迭代只对2?5123??0204??A???3?12?1???0307??，试说明A为可约矩阵。 15. 设 16. 给定迭代过程，x?Cx(k)?g，其中C?Rn?n(k?0,1,2,?)，试证明：如果C的 特征值?i(C)?0(i?1,2,?)，则迭代过程最多迭代n次收敛于方程组的解。 (k?1)17. 画出SOR迭代法的框图。 18. 设A为不可约弱对角优势阵且0???1，求证：解Ax?b的SOR方法收敛。 19. 设Ax?b，其中A为非奇异阵。 (a) 求证AA为对称正定阵； (b) 求证cond(AA)2?(cond(A)2)。 T2T第九章 矩阵的特征值与特征向量计算 1. 用幂法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量： 3?2??7?3?43???463??A1??34?1A?2??????31??3?, ??2?13?? , (b) (a) 当特征值有3位小数稳定时迭代终止。 2. 方阵T分块形式为 ?T11T12?T1n???T?T222n?T???????Tnn?, ?其中Tii(i?1,2,?,n)为方阵，T称为块上三角阵，如果对角块的阶数至多不超过2，则称T 为准三角形形式，用?(T)记矩阵T的特征值集合，证明 n?(T)???(Tii).i?13. 利用反幂法求矩阵 的最接近于6的特征值及对应的特征向量。 4. 求矩阵 ?621??231?????111?? 与特征值4对应的特征向量。 5. 用雅可比方法计算 ?400??031?????013?? 的全部特征值及特征向量，用此计算结果给出例3的关于p的最优值。 6. (a)设A是对称矩阵，λ和x(||x||2?1)是A的一个特征值及相应的特征向量，又设P为 一个正交阵，使 ?1.01.00.5??A??1.01.00.25????0.50.252.0?? Px?e1?(1,0,?,0)T 证明B?PAP的第一行和第一列除了λ外其余元素均为零。 (b)对于矩阵 T?2102??A??105?8????2?811??, ?212?x??,,??333?是相应于9的特征向量，试求一初等反射阵P，使λ=9是其特征值， Px?e1，并计算B?PAPT。 7. 利用初等反射阵将 T正交相似约化为对称三对角阵。 8. 设A?Rn?n?134??A??312????421?? (2)aa,aPi1j1ij，且不全为零，为使j1?0的平面旋转阵，试推导计算PijA第iTAPij行，第j行元素公式及第i列，第j列元素的计算公式。 9. 设An?1是由豪斯荷尔德方法得到的矩阵，又设y是An?1的一个特征向量。 1P2?Pn?2y； (a)证明矩阵A对应的特征向量是x?P(b)对于给出的y应如何计算x？ 10. 用带位移的QR方法计算 ?120??310???121?A??2?11B????????013??, (b) ?011?? (a) 全部特征值。 11. 试用初等反射阵A分解为QR，其中Q为正交阵，R为上三角阵， 1??11?A??2?1?1????2?45??。 数值分析习题简答 （适合课程《数值方法A》和《数值方法B》） 长沙理工大学 第一章 绪论习题参考答案 ?(x*)1． ε（lnx）≈ x*n??r(x*)??。 ?r(x)?2． n?(x)x*n?nx*n?1?(x*)x*nn?(x*)??0.02n*x。 ****xxxx12343． 有5位有效数字，有2位有效数字，有4位有效数字，有5位有效*x数字，5有2位有效数字。 4． ?(x1?x2?x4)??(x1)??(x2)??(x4)?0.5?10?0.5?10?0.5?10************?(x1x2x3)?x2x3?(x1)?x1x3?(x2)?x1x2?(x3)?0.214790825******?4?3?3?1.05?10?3**x2x21**?(*)?*?(x2)?*2?(x4)?8.855668?10?6x4x4x4。 ?r(R)??r(35． 6． 3V)?4?31?(V)/236?V33V1?(V)1???r(V)?0.0033334?3V3。 ?(Y100)?100?111??10?3??10?310022。 7． x1?28?783?55.982， ??x2?28?783?128?783?1?0.0178655.982。 1?dx??arctgN?N1?x228． 11??(x)??(S)?S2?(S)?0.00529． 。 gt?(t)2?(t)0.2?r(S)???12ttgt210． ?(S)?gt?(t)?0.1gt，，故t增加时S的 绝对误差增加，相对误差减小。 1?(y10)?1010?(y0)??108211． ，计算过程不稳定。 66f?(2?1)?0.004096，f?(2?1)?0.0050512?1.4112． ，如果令，则 11f2??0.005233f??0.0051254363f?(3?22)?0.008(2?1)(3?22)，3，， f5?99?702?1，f4的结果最好。 13． f(30)??4.094622，开平方时用六位函数表计算所得的误差为 ???10?4中 1222f(x)?ln(x?x?1),f(x)??ln(x?x?1)，分别代入等价公式12计算可得 4?(f1)?ln(1??x?x2?1)?1?(x?x2?1)??60??10??3?10?2x?x2?1， ?x?x2?11000000000999999998x1??1.000000,x2??1.00000099999999999999999914． 方程组的真解为， 而无论用方程一还是方程二代入消元均解得x1?1.00,x2?1.00，结果十分可靠。 ?tanc?c?15． ?(f2)?ln(1??x?x2?1)???11??10?4?8.33?10?7602。 第二章 插值法习题参考答案 Vn(x)??(x?xi)i?0n?10?j?i?n?1?sbsinc?a?asinc?b?abcosc?c?a?b?c????sabsincabc 1. ?(xi?xj)i； . (x?1)(x?2)(x?1)(x?2)(x?1)(x?1)L2(x)?0??(?3)??4?(1?1)(1?2)(?1?1)(?1?2)(2?1)(2?1) 2. 537?x2?x?23. 6,y1??0.5108263. 线性插值：取x0?0.5,x1?0.6,y0??0.693147，则 0?j?i?n?1Vn?1(x0,x1,?,xn?1)??(x?xj)ln0.54?L1(0.54)?y0?y1?y0?(0.54?x0)??0.620219x1?x0； 二次插值：取 x0?0.4,x1?0.5,x2?0.6,y0??0.916291,y1??0.693147,y2??0.510826，则 ln0.54?L2(0.54) (0.54?x0)(0.54?x2)(0.54?x0)(0.54?x1)(0.54?x1)(0.54?x2)?y0??y1??y2?(x0?x1)(x0?x2)(x1?x0)(x1?x2)(x2?x0)(x2?x1) ＝－0.616707 . 1R1(x)?f(x)?L1(x)?f??(?)(x?x0)(x?x1)24. ，其中??[x0,x1]. 1|R1(x)|?max|cos??(x)|?max|(x?x0)(x?x1)|x0?x?x12x0?x?x1所以总误差界 (x1?x0)21?11???8??1???????1.06?10248?60180? . 5. 当 x?x0?2l2(x)?(x?x0)(x?x1)(x?x3)(x2?x0)(x2?x1)(x2?x3) 4?7?h3 时，取得最大值 x0?x?x3max|l2(x)|?10?7727 . k6. i) 对f(x)?x,(k?0,1,?,n)在x0,x1,?,xn处进行n次拉格朗日插值，则有 xk?Pn(x)?Rn(x) ??lj(x)xkj?i?0nn1f(n?1)(?)(x?x0)?(x?xn)(n?1)! jk(x)xkj?x(n?1)(?)?0，故有i?0由于f. k ii) 构造函数g(x)?(x?t),在x0,x1,?,xn处进行n次拉格朗日插值，有 Ln(x)??(xj?t)klj(x)i?0n?l. g(n?1)(?)n(x?t)?Ln(x)?(x?xj)?(n?1)!j?0插值余项为 ， (n?1)g(?)?0,(k?1,2,?,n).故有 由于 k(x?t)?Ln(x)??(xj?t)klj(x).ki?0n 令t?x,即得 ?(xi?0nj?t)klj(x)?0. 7. 以a, b两点为插值节点作f(x)的一次插值多项式 f(b)?f(a)L1(x)?f(a)?(x?a)b?a， 1f(x)?L1(x)?f??(?)(x?a)(x?b),??[a,b]2据余项定理，， 由于f(a)?f(b)?0,故 |f(x)?L1(x)|?|f(x)|?11max|f??(x)|max|(x?a)(x?b)|?(b?a)2max|f??(x)|.a?x?ba?x?b2a?x?b8 8. 截断误差 R2(x)?1?e(x?x0)(x?x1)(x?x2),??[?4,4].6 3hx?x?h,x?x?h,01213其中 则时取得最大值 2max|(x?x0)(x?x1)(x?x2)|?3?h3?4?x?49 . 12|R2(x)|?e4?(3?h3)?10?6,69由题意， 所以，h?0.006. x?x1?n?1n2n?2n?1n?1nn?y?2?2,?y?(2?2)?(2?2)?2, 则可得 nn9. ?4yn??2(?2yn)?2n. ?yn?2n?1/2?2n?1/2， ?2yn?(2n?1?2n)?(2n?2n?1)?2n?1，则可得 10. 数学归纳法证 ?4yn??2(?2yn)?2n?2. 当k?1时，?f(x)?f(x?h)?f(x)为m－1次多项式； k假设 ?f(x)(0?k?m)是m-k 次多项式，设为g(x)，则 ?k?1f(x)?g(x?h)?g(x)为m-(k+1)次多项式，得证。 11. 右?fk(gk?1?gk)?gk?1(fk?1?fk)?fk?1gk?1?fkgk?左 12. n?1?fk?0k?gk?f0g1?f0g0?f1g2?f1g1???fn?1gn?fn?1gn?1, ?gk?0n?1k?1?fk?f1g1?f0g1?f2g2?f1g2???fngn?fn?1gn.2j 13. j?0 ?(y2?y1)?(y1?y0)?(y3?y2)?(y2?y1)???(yn?1?yn)?(yn?yn?1) ?(yn?1?yn)?(y1?y0)??yn??y0 . 14. 由于x1,x2,?,xn是f(x)的n个互异的零点，所以 f(x)?a0(x?x1)(x?x2)?(x?xn) ?a0?(x?xi)?a0(x?xj)?(x?xi),i?1i?1i?jnn??yn?1对f(x)求导得 ?n?nf?(x)?a0??(x?xi)?(x?xj)(?(x?xi))???i?0?i?1?i?j?， i?j??f?(xj)?a0?(xj?xi)ni?1i?j则 ， ?j?1n1?f?(xj)a0xkj?j?1nxkj?(xi?1i?jn.?xi) jkg(x)?x,则 k记 g(n?1)?0,0?k?n?2,(x)???(n?1)!,k?n?1. 由以上两式得 ?j?1n1?f?(xj)a0xkj?j?1ngk(xj)?(xi?1i?jn?j?xi)1gk[x1,x2,?,xn]a0 (n?1)(?)?0,0?k?n?2,1gk????1a0(n?1)!?a0,k?n?1. nF(xj)F[x0,x1,?,xn]??j?0(xj?x0)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn) 15. i) ??j?0nc?f(xj)(xj?x0)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)017?c?f[x0,x1,?,xn]. ii) 证明同上。 f(7)(?)7!f[2,2,?,2]???1;7!7!16. f(8)(?)f[2,2,?,2]??0.7! ???RR(x)?f(x)?p(x)?0,jj17. 3j 3(xj)?f(xj)?p(xj)?0,j?k,k?1. 即xk,xk?1均为R3(x)的二重零点。因而有形式： 018R3(x)?K(x)(x?xk)2(x?xk?1)2. 22作辅助函数?(t)?f(t)?p(t)?K(x)(t?xk)(t?xk?1). 则 ?(xk)?0,?(x)?0,?(xk?1)?0,??(xk)?0,??(xk?1)?0. 由罗尔定理，存在?1?(xk,x),?2?(x,xk?1),使得 ??(?1)?0,??(?2)?0. 类似再用三次罗尔定理，存在??(?1,?2)?(xk,xk?1),使得 ?(4)(?)?0, 又 ?(4)(t)?f(4)(t)?4!K(x), (4)可得 K(x)?f(?)4!, (4)22即 R3(x)?f(?)(x?xk)(x?xk?1)4!.,??(xk,xk?1). 18. 采用牛顿插值，作均差表： xi f(xi) 一阶均差 二阶均差 0 0 1 1 1 2 1 0 -1/2 p(x)?p(x0)?(x?x0)f[x0,x1]?(x?x0)(x?x1)f[x0,x1,x2] ?(A?Bx)(x?x0)(x?x1)(x?x2) ?0?x?x(x?1)(?1/2)?(A?Bx)x(x?1)(x?2) 31A??,B?,44 又由 p?(0)?0,p?(1)?1, 得 x2p(x)?(x?3)2.4所以 b?ah?,xk?a?kh.n19. 记 则 x?xi?1x?xi?f(xi??1),x?[xi,xi?1].xi?xi?1xi?1?xi 因为f(x)?C[a,b]，所以f(x)在[a,b]上一致连续。 ?n(x)?f(xi)b?a??n?Nn当时，，此时有 max|f(x)??n(x)|?maxmax|f(x)??n(x)|h?a?x?b0?i?n?1xi?x?xi?1由定义知当n??时，?n(x)在[a,b]上一致收敛于f(x)。 20. Ih(x)在每个小区间[xk,xk?1]上表示为 x?xx?xi?maxmax[f(x)?f(xi)]i?1?[f(x)?f(xi?1)]0?i?n?1xi?x?xi?1xi?1?xixi?1?xi x?xx?xi?maxmax?i?1????.0?i?n?1xi?x?xi?1xi?1?xixi?1?xi ?x?xx?xi??maxmaxf(x)??f(xi)i?1?f(xi?1)?0?i?n?1xi?x?xi?1x?xx?xi?1ii?1i??x?xk?1x?xkfk?fk?1,(xk?x?xk?1).xk?xk?1xk?1?xk 计算各值的C程序如下： #include\#include\float f(float x) { return(1/(1+x*x)); } float I(float x,float a,float b) { return((x-b)/(a-b)*f(a)+(x-a)/(b-a)*f(b)); } void main() { int i; float x[11],xc,xx; x[0]=-5; printf(\ for(i=1;i<=10;i++) { x[i]=x[i-1]+1; printf(\ } for(i=0;i<10;i++) { xc=(x[i]+x[i+1])/2; I(xc,x[i],x[i+1]); printf(\ } for(i=0;i<10;i++) { xx=(x[i]+x[i+1])/2; f(xx); printf(\ } } 21. Ih(x)在每个小区间[xk,xk?1]上为 Ih(x)?Ih(x)?x?xk?12x?xk2xk?xk?1?(xk?1?xk)x?xkxk?1.xk?xk?1xk?1?xk 2(xk?1?xk)2h2|R(x)|?|Ih(x)?f(x)|?|x?(xk?1?xk)x?xkxk?1|??.44 322. f?(x)?4x, 则Ih(x)在每个小区间[xk,xk?1]上表示为 ?x?xk?1?Ih(x)???x?x??k?1??k22?x?xk?1?2??xk?1?xk??4?x?xk??xk???x?xk??k?12????2?x?xk?1?4??1?2???xk?1x?xkk?1???x?xk?1??x?xk?33????4??(x?x)x?4?(x?x)xkkk?1k?1.?x?x??x?x?k?1?k??k?k?1|R(x)|?|f(4)(?)(x?xk)2(x?xk?1)2/4!| xk?1?xkh42xk?1?xk2?4!?(?xk)(?xk?1)4!?.2216 23. h1?x2?x1?0.05, h2?x3?x2?0.09, h3?x4?x3?0.06, h4?x5?x4?0.08. hi?1?i?hi?hi?1 6?yi?1?yiyi?yi?1??????hi?hi?1?hi?1hi? 则三次样条插值函数表达式为 mmymymSi(x)?i?1(xi?x)3?i(x?xi?1)3?(i?1?i?1hi)(xi?x)?(i?ihi)(x?xi?1)6hi6hihi6hi6,S?(0.53)?0.6868，得 i) 由S?(0.25)?1.0000?i??1?0.6429,?2?0.4,?3?0.5714 ?0?6(f[x0,x1]?1)??0.276，?1??4.3157,?2??3.264,?3??2.43 ?4?6(0.6868?f[x3,x4])??0.1692 关于m0,m1,m2,m3,m4的方程组为 224. i) 因为f(x)?C[a,b],所以 右＝?ababab[f??(x)?S??(x)]2dx?2?S??(x)[f??(x)?S??(x)]dxab ??{[f??(x)?S??(x)]2?2S??(x)[f??(x)?S??(x)]}dx??(f??(x)2?S??(x)2)dx ＝左。 ii) 由于S(x)为三次函数，故S???(x)为常数，又f(xi)?S(xi)，则 ?xi?1xi[f?(x)?S?(x)]dx?0b，所以 nxi?1i?0xi?aS??(x)[f??(x)?S??(x)]dx???S??(x)[f??(x)?S??(x)]?S???(x)[f?(x)?S?(x)]dx ??[S??(x)(f??(x)?S??(x))?S???(x)(f?(x)?S?(x))]dxab?S???(b)[f?(b)?S?(b)]?S???(a)[f?(a)?S?(a)]。 第三章 函数逼近与计算习题参考答案 1. (a) 区间变换公式为 x'?(b?a)x?a,x?nx'?ab?a，代入原公式可得新区间里的伯 kx?akkBn(f,x)??f((b?a)?a)Pk(),Pk(x)?Cnx(1?x)n?knb?ak?0恩斯坦多项式为; (b) B1(f,x)?2?x,B3(f,x)?3x?(1?2x?)?263x2?2(1?2x?)?8x3?3，相应的麦克劳 1313P(x)?x,P(x)?x?xR(x)???0.645964131648林级数分别为，部分和误差则为， R3(x)?1?5?0.07969263840，大于伯恩斯坦多项式的误差。 nnnkm?m?Pk(x)??f()Pk(x)?Bn(f,x)?M?Pk(x)?Mm?f(x)?Mnk?0k?0k?02. ，故， nnkkkn?kk?1k?1Bn(f,x)??Cnx(1?x)?x?Cn(1?x)(n?1)?(k?1)?x?1xk?0nk?1当f(x)?x时，。 3. sin4x?0?1，对任意不超过6次的多项式g(x)，在时， 若有g(x)?sin4x?1，则g(x)在?0,2??上至少有7个零点，这与g(x)不超过6次矛盾，所以g(x)?sin4x?1，g(x)?0就是所求最佳一致逼近多项式。 ?(f,g)?max(M?c,m?c),M?maxf(x),m?minf(x)a?x?ba?x?bx?2(k1)??,k?1,8,?84. 设所求为g(x)?c， ， 由47页定理4可知g(x)在?a,b?上至少有两个正负交错的偏差点，恰好分别 1M?c??(m?c),c?(M?m)2为f(x)的最大值和最小值处，故由可以解得 1g(x)?(M?m)2即为所求。 5. 原函数与零的偏差极大值点分别为 x?3a3a33a,x?1()?a()?a?1333，故， 34。 解方程可得出唯一解 222a1??0.636620cosx?x2?arccos?0.880689,f(x2)?0.771178??，?6. ，故得，f(x2)xa0??a12?0.10525722，故所求最佳一次逼近多项式为 a?P?1(x)0.63?6x620，又因为两个偏差点必在区间端点，故误差限为0.1052570?x?maxsinx?P1(x)?P1(0)?0.105257?2。 x7. a1?e?1?1.71828，故由e2?e?1可以解得x2?0.541325，f(x2)?1.71828， 1?f(x2)x?a12?0.89406722则有，故所求最佳一次逼近多项式为 P1(x)?1.71828x?0.894067。 a0?8. 切比雪夫多项式在??1,1?上对零偏差最小，所求函数必为切比雪夫多项式的常 111p(x)?T2(x)?x2?r??22，解得唯一解 2。 数倍， 9. 作变换 x?11153119?tg(t)?t4?t3?t2?t?22代入f(x)得1682816，则g(t)在 ??1,1?三次最佳逼近多项式为15251173S(t)?g(t)?T3(t)?t3?t2?t?1288168128，作逆变换t?2x?1代入S(t)，则 5211293P(x)?5x?x?x?f(x)在?0,1?上的三次最佳逼近多项式为44128。 ***2上的 T1(x)?T1(2x?1)?2x?1，T2(x)?T2(2x?1)?8x?8x?1，10. T0(x)?T0(2x?1)?1， T3*(x)?T3(2x?1)?32x3?48x2?18x?1，其中x??0,1?。 *Tn*(x)Tm(x)?11. 10x?x2dx??1Tn(2x?1)Tm(2x?1)x?x2xk?cos0dx??12Tn(x)Tm(x)dx*2?12T(x)??n1?x，故正 1交。 12. 用T4(x)的4个零点 2k?1?(k?1,2,3,4)8做插值节点可求得三次近似最 23L(x)??0.0524069?0.855066x?0.0848212x?0.0306032x3佳逼近多项式为。 xnxf(x)?ef(x)?e13. ，则有，其中x???1,1?。由拉格朗日插值的余项表达公式 可得出 f(x?Ln)x)e?fn?1(?)??Tn?1(x)(n?1)!2n(n?1)!2nen，令 e?1?n?(n?14. 由 ,?n?n1n)?勒 !，则待证不等式成立，得证。2(1 )!21有级数项数节约，在??1?,上1511651?(x?)5M,3(?x)T4?(x)T(x)538483840，16即1511651183321219931101M5,3(x)??(x)?T4(x)?T5(x)??x?x?x?3848384016102412840961096151165131max?(x)?M5,3(x)????0.00756836?1?x?138483840164096其中误差限为。 泰 115115f(x)?sinx?x?x3?x??P5(x)?x?x3?x61206120为f(x)的近似，15. ，取 1maxf(x)?P5(x)??0.0001984137!误差限为?1?x?1，再对幂级数的项数进行节约就 可以得到原函数的3次逼近多项式 115383M5,3(x)?P5(x)?T5(x)??x3?1201632384，其误差限为 111maxf(x)?M5,3(x)???0.000719246?1?x?17!12016，即为所求 16. 当f(x)为??a,a?上的奇函数时，设Fn(x)为原函数的最佳逼近多项式，则 *Fn*(x)?f(x)?En***?F(?x)?f(x)?F(?x)?f(?x)?En?F(?x)nnn，对有，所 *?Fn(?x)也是最佳逼近多项式，由最佳逼近多项式的唯一性，以 ?Fn*(?x)?Fn*(x)，即?Fn*(?x)是奇函数。同理可证，当f(x)为??a,a?上的偶 函数时，最佳逼近多项式Fn(x)也是偶函数。 *?ax?b?sinx??17. 20?2dx??324a?2?2b?2?24ab?2a?2b?a??4，为使均方误差最小， ,b?8??24?3则有1218. (a) a??24b?2?0,b?24a??b?2?0， 96?24?，解得 ?3ba?2。 ，c为常 ， (f,g)?(g,f)??f'(x)g'(x)dxa(cf,g)?c(f,g)?c?f'(x)g'(x)dxba数， (f,f)?0，但当f(x)?c时，(f,f?)(f1?fg2,?f)g?1(fg,??2)ff'x(g)x(gxdx,1??)fabxgx'dx()'(),0不满足定义，所以 'x(dx不构成内积。（b）(f,g)?(g,f)，(cf,g)?c(f,g)， (f1?f2,g)?(f1,g)?(f2,g)，(f,f)?0且当且仅当f(x)?0时(f,f)?0，满 a(f,g?)?b足定义，所以(f,g)构成内积。 61x111x1112dx?(dx)(xdx)??0.196116dx??0?0(1?x)2?0?0261??19. 1?x，1?x16121212?10x6dx， 61x11?0.0714286??dx??0.14285701?x7其中0???1，则14，由此可知用积分 中值定理估计比许瓦兹不等式估计更精确。 12221222(x?ax)dx??ax?axdx??13520. ，a?0时最小。??1在a?1时，值为 2121a?2?a?33a，a?1时，值为1，a??1时，值为33a2，a?1时最小。 1122a?1,b??(x?ax?b)dx6，误差为21. 要使?0最小，由拉格朗日乘子法可解得 ??1121001012(x?ax?bx)dx180，要使?0最小，由拉格朗日乘子法可解得 20097992009294a?,b??53565356，误差为??0.164063，前者误差小。 1242(x?a?bx?cx)dxx?22. 1上均为偶函数，也为偶函数，则?0最小，由拉格朗 日 a?110乘 5?.2子 8b1法 1?1可解 057?c16。 4得 8?7?23. un?1(x)?un?1(x)?证。 sin?(n?2)arccosx??sin?narccosx?1?x2?2xun(x)，和差化积得 124. 由积分区间的对称性及勒让德多项式的奇偶性可知 (f,P0)??sin?11xdx?02， 1311(f,P2)??(x2?)sinxdx?0?1222，将原函数在此积分区间上按勒让德多项式 三次展开就可以求得153111(f,P3)??(x3?x)sinxdx?236cos?432sin??0.00234807?122222，代入可 ?1(f,P??1)11xsinxd?x218sin?214co?s20.325074， *3S(x)?0.487611P(x)?0.00821825P(x)?0.499938x?0.0205456x13得3，均方误 差为 2?n2???sin2xdx?(f,P)?2(f,P3)??2.4487?10?1222??1??1137?124。 21f(x)Tk(x)2?1***C?dx??cosk?d?f(x)?C0??CkTk(x)k??2?10??21?xk?125. ，其中。 ?????10a?10654b?542.8?0?10654a?14748998b?738643.0?026. ?a，?b，解方程得a?4.00955,b?0.0471846，均方误差??13.0346。 ?227. 经验公式为s?at?bt，最小二乘法解得a?2.31346,b?10.65759，运动方程 2为s?2.31346t?10.65759。 28. 经验公式为y?t/(at?b)，最小二乘法解得a?0.160744,b?3.17914，浓度与 时间的函数关系为y?t/0.160744t?3.17914。 29.输入初始节点x0,x1,?,xm，权函数?(x)?0及正交多项式次数n。 k?0,Pk(x)?1，计算?k?1,?k,Pk?1(x)。 判断k?n 否 是 计算?k?1,?k,Pk?1(x),?*k?1。 令k?k?1 nF(x)???*kPk(x)k?0 p输入初始数组{xk}，等分点数N?2。 q?1，计算?m,m?0,1,?,(N/2)?1。 判断q?0(mod2) 否 是 qA(k2?j)，2计算qA(k2?j)，1计算A2(k2q?j?2q?1)，k?0,1,?,2p?q?1，令q?q?1 A1(k2q?j?2q?1)，k?0,1,?,2p?q?1，j?0,1,?,2q?1。 否 j?0,1,?,2q?1?1。 判断q?p 是 判断q?0(mod2) 否 是 Cj?A2(j),j?0,1,?,N?1 Cj?A1(j),j?0,1,?,N?1 30. ?Ck??xjexp(ikj)?0?1,?1?2?i2,?2?i,?3??2?i24，j?02222，C0?16，31. 7C1?4?22，C2?0，C3?4?22， C4?0，C5?4?22，C6?0， C7?4?22。 第四章 数值积分与数值微分习题参考答案 21. 1) 公式可对f(x)?1,x,x均准确成立，即 ??A?1?A0?A1?2h???hA?1?hA1?0?2?h2A?1?h2A1?h33 ?h4,A0?h33，具有3次代数精度。 解得 84A?1?A1?h,A0??h33，具有3次代数精度。 2) ,x2?0.62660,或x1?0.68990,x2??0.12660. 3) x1??0.28990A?1?A1?具有2次代数精度。 1??12，具有3次代数精度。 4) 11234567T8?[f(0)?2(f()?f()?f()?f()?f()?f()?f())?f(1)]2?888888882. 1) 1?[0?2(0.0311?0.0615?0.0906?.01176?0.1644?.1836)?0.2] ＝16 ＝0.1114 11357123S4?[f(0)?4(f()?f()?f()?f())?2(f()?f()?f())?f(1)]6?48888444 1?[0?4(0.0311?0.0906?0.1423?0.1836)?2(0.0615?0.1176?0.1644)?0.2] 24 ＝0.1116 2) T10?1.3915 S5?1.454 7 3) T4?17.2277 S2?17.3222 4) T6?1.0356 S3?1.035 83. 柯特斯公式为 b?aC?[7f(x0)?32f(x1)?12f(x2)?32f(x3)?7f(x4)]90. 其中 xk?a?kh,h?b?a4. b23456f(x)dx?C验证对于f(x)?1,x,x,x,x,x，?a均成立，但f(x)?x时不成立。 1S?(e0?4?e?1/2?e?1)64. ＝0.63233 b?ab?a4(4)RS??()f(?)1802， 1111|RS|??()4(e??)??()4?0.0003518021802所以。 5. 1) 此差值型求积公式的余项为 由于x?a在[a,b]上恒为正，故在[a,b]上存在一点?，使 bf?(?)R?f?(?)?(x?a)dx?(b?a)2.a2 bf?(?)2f(x)dx?(b?a)f(a)?(b?a)?2所以有a。 aR??f?(?)(x?a)dxb 2) R??f?(?)(x?b)dxabab f?(?)(b?a)2.2 ??f?(?)?(x?b)dx??bf?(?)a?b2(x?)dxa22 3) f??(?)ba?b2?(x?)dx?a22 f??(?)?(b?a)3.24 6. 梯形公式和辛甫森公式的余项分别为 b?a2Rr??hf??(?)12 b?ah4(4)RS??()f(?)1802 b?a??[a,b],h?n， 其中 R??f(x)dx所以当n??时，Rr?0,RS?0，即两公式均收敛到积分?a，且分别为二阶和四阶收敛。 7. 设将积分区间分成n等分则应有 b?a?b?a?(b?a)3|R|???M???f??(?)?212?n?12n2b其中 M?max|f??(x)|a?x?b ， (b?a)3Mn?12?解得。 8. 首先算出T1,T2,T4,T8，然后逐次应用3个加速公式 计算结果如下表 S2k T2k k 0.68394 0.63234 0 0.64524 0.63213 1 0.63541 0.63212 2 0.63294 3 2I??0.63212?0.71327?所以，积分。 .5， 9. a?(2R?H?h)/2?77825， c?(H?h)/2?97.241S2k?T2k?1?T2k,k?0,1,233 161C2k?S2k?1?S2k,k?0,11515 641R2k?C2k?1?C2k,k?0,16363 C2k 0.63213 0.63212 R2k 0.63212 cS?4a?21?()2sin2?d?0a所以 ?0 ＝4×7782.5×1.56529 ＝48728 （可任选一种数值积分方法，如柯特斯公式）。 10. 由泰勒展开式 2?4?7782.5?21?0.01561sin?d??x3x5sinx?x????3!5! nsin??????24n3!n5!n有 ?1limn?sin??T(h)?sin?hnh由于n??，用外推算法，令，则 111T()?2.59808,T()?3,T()?3.10583,3 6 12 1411114111T1()?T()?T()?3.13397T1()?T()?T()?3.1411133633631236， ， ??3?5116111T2()?T1()?T1()?3.141593156153， 即?的近似值为3.14159。 31I??dy1y11. 1) 计算结果如下表 T2k k 1.33333 0 1.16667 1 1.11667 2 1.10321 3 即积分I＝1.09862。 3111dy?dtf(t)???1y?1t?22) ，令三点高斯公式 I?S2k C2k 1.09926 1.09863 R2k 1.09862 1.11112 1.10000 1.09872 1t?2 5158515f(?)?f(0)?f()?1.0980495995 五点高斯公式 I?0.23693f(?0.90618)?0.47863f(?0.53847)?0.56889f(0)?0.47863f(0.53847)?0.23693f(0.90618) ＝1.09862。 31I??dy1y3) 212.51311??dy??dy??dy??dy1y1.5y22.5yy 111111111?(?dt??dt??dt??dt)?10.25t?1.75?10.25t?2.25?10.25t?2.754?10.25t?1.25 133f(x)dx?f(?)?f()?33，得 对每个积分用高斯公式 ?1I＝1.09854。 此积分精确值为ln3?1.09861。 12. 三点公式： 1f?(1.0)?[?3f(1.0)?4f(1.1)?f(1.2)]??0.2472?0.1 1f?(1.1)?[?f(1.0)?f(1.2)]??0.2172?0.1 1f?(1.2)?[?f(1.1)?f(1.3)]??0.1892?0.1。 3f?(x)??2(1?x)?3， f??(x)?6(1?x)?4， f???(x)??24(1?x)?5 h20.12|R1|?f???(?)??24(1?1.2)?5?1.55?10?333f?(1.0)的误差 h20.12|R2|??f???(?)??24(1?1.2)?5?7.8?10?466f?(1.1)的误差 ?4f?(1.2)的误差 |R3|?6.2?10。 五点公式： 1[?25f(1.0)?48f(1.1)?36f(1.2)?16f(1.3)?3f(1.4)]??0.248312?0.1 1f?(1.1)?[?3f(1.0)?10f(1.1)?18f(1.2)?6f(1.3)?f(1.4)]??0.216312?0.1 1f?(1.2)?[f(1.0)?8f(1.1)?8f(1.3)?f(1.4)]??0.188312?0.1。 误差分别为 f?(1.0)?R1?1.7?10?3， R2?3.4?10?4， R3?4.7?10?4。 第五章 常微分方程数值解法习题参考答案 yn?1?yn?h(axn?b)?n(n?1)2n2ah?nbhah22，误差，改进尤拉 1． 尤拉法表达式 hn22yn?1?yn??f(xn,yn)?f(xn?h,yn?hf(xn,yn))??ah?nbh22法表达式，无误 差。 2． 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 3． 近似解 1.11 1.24205 1.39847 1.58181 1.79490 准确解 1.11034 1.24281 1.39972 1.58365 1.79744 近似解 0.0055 0.0219275 0.0501444 0.0909307 0.144992 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 近似解 2.04086 2.32315 2.64558 3.01237 3.42817 准确解 0.00516258 0.0212692 0.0491818 0.0896800 0.143469 准确解 2.04424 2.32751 2.65108 3.01921 3.43656 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 h2?h2?hnyn?1?yn?(?yn?yn?1)yn?1?ynyn?1?()y(0)?122?h，2?h。4． ，即又由，则有 2?nh2?hn2h22?hh?22?hhn2?hlimyn?lim()?lim(1?)?lime?e?xnh?02?hh?0h?02?h当h?0时，h?0。 5． 取步长h=0.5，，f(0.5)=0.500000，f(1)=1.14201，f(1.5)=2.50115，f(2)=7.24502。 6． (1) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 近似解 (2) 近似解 1.24280 0.2 1.72763 1.58364 0.4 2.74302 2.04421 0.6 4.09424 2.65103 0.8 5.82927 3.43655 1.0 7.99601 7． K1?fn，K2?fn?th(fx?f?fy)n?o(h)，K3?fn?(1?t)h(fx?f?fy)n?o(h)，则 h2h??yn?hy'n?y\n?yn?(fn?th(fx?f?fy)n?fn?(1?t)h(fx?f?fy)n)?o(h2)22h2h?hfn?(fx?f?fy)?(2fn?h(fx?f?fy)n)?o(h2)?o(h2)22 ??D??f?x?y，泰勒展开可得K1?fn，8． (1)令 11K2?fn?hDfn?h2D2fn?o(h2)318，2221?2K3?f(xn?h,yn?hK2)?fn?h(D?hDfn)fn?h2D2fn?o(h2)3333?y9， 11yn?1?yn?hfn?h2Dfn?h3(D2f?fyD)fn?o(h3)26同理有， 代入龙格-库塔 3??o(h)。(2) 类似(1)展开可得K1?fn，公式可得 11K2?fn?hDfn?h2D2fn?o(h2)28，3331?9K3?f(xn?h,yn?hK2)?fn?h(D?hDfn)fn?h2D2fn?o(h2)4442?y32， 同理有 yn?1?yn?hfn?121hDfn?h3(D2f?fyD)fn?o(h3)26， 代入龙格-库塔 3公式可得??o(h)。 hyn?1?yn?(2?yn?1?yn)29． 二阶显式公式为，代入得y(1.0)?0.626，二阶隐式hyn?1?yn?(2?yn?yn?1)2公式为，代入得y(1.0)?0.633，真解为 y(1.?0)0。.6 10． h2(2)h3(3)yn?1?yn?hy?yn?yn?o(h3)26(1)n(1)n(2)n， y'n?1?y?hyy'n?1?y?hy(1)nh2(3)h2(2)h3(3)2(1)?yn?o(h)yn?1?yn?hyn?yn?yn?o(h3)226，，h2(3)5(3)??h3yn?o(h3)?o(h2)?yn?o(h2)82，代入得，截断误 (2)n53(3)hyn8差首项为。 11． h2(2)h3(3)yn?1?yn?hy?yn?yn?o(h3)26(1)n(1)n(2)n， y'n?1?y?hyh2(3)4h3(3)2(1)2(2)?yn?o(h)yn?2?yn?2hyn?2hyn?yn?o(h3)23，， (1)ny'n?2h2(2)h3(3)yn?1?yn?hy?yn?yn?o(h3)(1)(2)2(3)2?yn?2hyn?2hyn?o(h)，26， 代入待定系数的公式中可得系数之间的关系式为a0?a1?a2?1，?a1?2a2?b0?b1?b2?1，a1?4a2?2b1?4b2?1，?a1?8a2?3b1?12b2?1。 12． (1) y'?z,z'?3z?2y， ， 其其 中中 y(?0z)?y(?0z1。?)(2) 。中 y'?z,z'?0.1(1?y2)z?yx'?a,a'??x(x2?y2)3(3) x(0)?0,a(0)?0,y(0)?0,b(0)?2。 13． ,y'?b,b'??y(x2?y2)3， 其 用差商逼近导数的方法把原边值问题转化为等价差分法方程组可得?31y1?16y2?0,16y1?31y2?16y3?0,16y2?31y3??26.88，解此方程组可得 y1?0.494380,y2?0.957862,y3?14． 1.36148。 h?1,xn?n，初值条件等于准确解，由数学归纳法代入差分公式中可得 22(n?1)2h2?(n?1)h(n?1)2h2?(n?1)hyn?1?2yn?yn?1?1?nh?nh??1?22，即 差分法求出的解恒等于准确解。 15． 差分方程6y0?5y1?1,26y0?54y1?25y2??1.8,29y1?59y2?27y3??0.6， 34y2?68y3?31y4?0.6,41y3?81y4??72.2，代入得y0?1.01487,y1?1.01785，y2?1.07010,y3?1.21030,y4?1.51329。 第六章 方程求根 2f(x)?x?x?1，则f(0)??1?0,f(2)?1?0. 1. 令 k 0 1 2 3 4 5 2. ak 0 1 1.5 1.5 1.5 1.5625 bk 2 2 2 1.75 1.625 1.625 xk 1 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.5938 f(xk)符号 － － ＋ ＋ － － 12?|?(x)|??122x?1.5xx3. 1) ，在附近，， 迭代公式收敛。 2x?|?(x)|??122/3233(1?x) 2) ?(x)?1?x，在x?1.5附近， 迭代公式收敛，迭代得近似值1.466。 ?(x)?1?x?1， 3) 迭代公式发散。 4. 1) 二分14次得0.0905456； 2) 迭代5次得0.0905246。 5. 迭代函数?(x)?x???f(x)， ??(x)?1???f?(x)， ?(x)?1|??(x)|?12(x?1)3/2，|??(1.5)|?1.414?1， 由已知 即迭代过程收敛。 0?f?(x)?M?2?，有0???f?(x)?2，所以|??(x)|?1. ?16. 将x??(x)转化为x??(x)，此时 11??1.??(x)k 在x?4.5附近，x?tgx?tg(x??)，所以迭代格式为x?arctgx??，迭代三次得4.4934。 |??1(x)?|?7. 1) 牛顿法迭代格式 xk?13f(xk)2xk?1?xk??2f?(xk)3xk?3，迭代三次得1.879。 2) 弦截法迭代格式 3) 抛物线法 f(x0)??3,f(x1)?17,f(x2)?1， xk?1?xk?f(xk)(xk?xk?1)f(xk)?f(xk?1)，迭代三次得1.879。 f[x1,x0]?10,f[x2,x1]?16,f[x2,x1,x0]?6, 故 ??f[x2,x1]?f[x2,x1,x0](x2?x1)?10， xk?1?xk?2f(xk)则 ???2?4f(xk)f[xk,xk?1,xk?2]，迭代三次得1.879。 8. 最小正根为4.4934。 1a1(xk?)??2a?axk29. 2，即xk?a。 2xk?11xk?a1a1a??(1?)?(1?)?122xk2xk22axk， 即xk?1?xk，序列单调递减。 f(x)?(x)?x?f?(x)，且有 10. 迭代函数为 f??(x?)?(x)?x,??(x)?0,???(x)?f?(x?)， ????xk?x?f??(x?)lim??2limxk?x?k??(x2f?(x?). k??k?1?x)， xk?xk?1??(xk?1)??(xk?2) 1??(xk?1)?[?(xk?1)???(xk?1)(xk?2?xk?1)????(?k?1)(xk?2?xk?1)2]2 1???(xk?1)(xk?2?xk?1)????(?k?1)(xk?2?xk?1)22 2?其中?k?1介于xk?1与xk?2之间。将上式两边除以(xk?1?xk?2)，并将??(xk)在x处泰勒展开得 xk?xk?1??(xk?1)1?????(?k?1)?2xk?1?xk?2 (xk?1?xk?2)2??(x?)????(?k?1)(xk?1?x?)1?????(?k?1)?2(xk?1?x?)?(x??xk?2) xk?1?x????(?k?1)(xk?2?x?)21?????(?k?1)?2xk?1?x?1?(xk?2?x?)2x??xk?2， lim?k?x?lim?k?x???x其中k?1介于k?1与x之间。将上式两边取极限，及k??，k??， 得 xk?xk?11f??(x?)lim??lim???(?k?1)??2?k??(xk???2?x)2f(x)。 k?1k?211. 1) 2) xk?1?xk?xk?1?xk?f(xk)??xkf?(xk)，迭代格式发散。 f(xk)1??xkf?(xk)2，迭代格式收敛，且收敛到x??0。 1x??limek?1?limxk?1?xk要使 k??ekk??(x?p?lim2p?C(C?0为常数)k?x)k??xk， 则p?1，为一阶收敛。 12. 令 f(x)?x3?a，迭代公式为 x?xf(x)x33kk?a2xk?ak?1k?f?(x?xk?2?2k)3xk3xk。 ?(x)?2x3?a3x2，则??(x)?23?a3?(?2)x?3，所以??(a)?0， 又 ???(x)?2ax?4，所以???(a)?2a?1/3?0，因此迭代格式为线性收敛。axf(x1?23k)xk3axk?xkk?1?xk?f?(x?xk?k)2a?2a13. x3k， 取a?115,x0?10，迭代三次得115?10.7238。 14. 求na的迭代公式分别为 x(n?nn?1k?1?1)xk?anxn?1x??xk?(1?1)xk， k?1annk xn?11n设迭代函数为 ?(x)??an?(1?n)x，则???(x)???1axn?1， n?1lim(na?xk?1)/(na?x???(na)nk??k)2?2??n?1!2aa?(1?n)/2na. x(x2?15. 记迭代函数 ?(x)?3a)3x2?a，则?(a)?a， 由上 (3x2?a)?(x)?x3?3ax 两边求导得 6x?(x)?(3x2?a)??(x)?3x2?3a 则可得 ??(a)?0 对①式两边求二阶导数得 6?(x)?12x??(x)?(3x2?a)???(x)?6x 则可得 ???(a)?0 对①式两边求二阶导数得 3?6??(x)?3?(6x)???(x)?(3x2?a)????(x)?6则可得 ????(a)?32a 所以迭代公式是三阶方法，且 ????(a)klim??(a?x3k?1)(a?xk)?3!?14a. ① 第七章 解线性方程组的直接方法习题参考答案 1． (a)高斯消去法解得x1??0.1670,x2??1.6504,x3?2.1967,x4??0.4468；(b)列主元消去法解得x1??0.181919,x2??1.66303,x3?2.21723,x4??0.446704。 (a) 2． A2(ij)?ai?1,j?1?ai?1,1a1,j?1a11?aj?1,i?1?aj?1,1a1,i?1a11?A2(ji)，故A2对称。(b) 高 斯消去法解得x1?4.58669,x2??0.631523,x3?2.73520。 3． (a) a(k)ij?a(k?1)ij?m(k?1)i,k?1k?1,ja(t)?a??mitatj(1)ijt?1k?1(r)m?l,a，(b)由irirrj?urj及(a)的结 论可得 4． urj?a(r)rj?arj??lrkukjk?1r?1, lir?mir?a(r)ir/a(r)rr?(air??likukr)/urrk?1r?1。 因为A非奇异，U的对角元uii不为零，又LU分解等价于高斯消去法， (i)aii?uii?0，由引理可知，矩阵A的顺序主子式均不为零。 5． 高斯消去法第k步等价于左乘单位下三角矩阵Lk，而顺序主子式均不为 零保证所得矩阵对角元不为零，可进行第k?1步消元，U?A?11A?L1?L?nU?LU。 (n)?Ln?L1A， 6． A2ii?a?(2)ii?aii?a1iai1/a11?aii?a1iai1/a11?j?2,j?i?naij?ai1(a11?a1i)/a11n(2)aij，则2是对角 优势阵，故高斯消去法与部分选主元高斯消去法对于对称的对角优势阵每一步均选取同样的主元，得出的是同样的结果。 j?2,j?ij?2,j?ij?2,j?ij?2,j?i?naij?ai1?na1j/a11??naij?ai1a1j/a11??A7． (2)(2)Ta?a?aa/a?a?aa/a?aa?eAe?0ijij1ji111ji1ij111ji，又有当iiii(1)，(2) ?1eAei?e??i?2时?b1TiTiT0??a11a1?T?ei?(ei)n?1A2(ei)n?1?0??AIn?1??0A2?，故2是对称正 (2)2a?maxaij,x?ya?a?aa/a?a?a/a11?aii，iiij1ii111ii1i定矩阵，(3) (4)若xy， 令A'?I1yAI1y，由于A'和A2'也是对称正定矩阵，代入得(2)2axa'x/a?xx'1a/a?'0A的绝对值最大的元素x'?ax'?x1a'x11a1?'x'1，矛盾，故1必在对角线上，(5)2?i,j?n定， (2)(2)maxaij?axx?axx?maxaij2?i,j?n，(6)对所有k均有Ak对称正 (k)(k?1)aij?aij???aij?1。 8． ?1???1???ILI??Lkijkij?mk?1,k??????m1n,k??，其中mi,k与mj,k位置互换。 9． 对A施行初等列变换， (k)(k)(k?1)(k)(k)mkj?akj/akk,aij?aij?mkjaik,(i,j?k?1,?,n)，进行n次初等列变换后，(n)A?L,mkj?Ukj即为所求。 令 10． (a) 若U为n阶可逆下三角矩阵，Ukk?0，则 当k?1时x1?d1/U11，而 xk?(dk??Uk,ixi)/Ukki?1k?1当 k?2,3,?,n时， ，算法即从第一行开始顺序循环，同理可知若U为n阶可逆上三角矩阵，则当k?1时xn?dn/Unn，而当，算法即从最后 一行开始逆序循环，(b)第k步循环进行k次乘除法，共进行n(n?1)/2次乘除 i?2k?2,3,?n,时， xn?1?k?(dn?1?k??Un?1?k,n?i?kxn?i?k)/Un?1?k,n?1?kk法，(c) 11． U?1ii?1/Uii,U?1ij?1???UikUkj/Uii,i?n?1,n?2,?,1,j?i?1,i?2,?,nk?i?1j。 ?TT?1T?T?1(a)AA?I?AA?A?A， 由此可知A?1也是对称矩阵， ?1T?1?x,(Ax)A(Ax?)?1xA?x0，由此可知A?1也是对称正定矩阵， (b)Lnn?Ann,Lni?Ani/Lnn,Li,i?Ai,i??L,Li,j?(Ai,j??Li?k,iLi,i?k)/Li,i2i,kk?1k?1i?1n?i，得 出唯一正对角元的下三角阵L使得A?LTL。 ??4/8510/17?23/85?16/17???33/85?6/1741/8513/17?A?1????19/855/17?3/85?8/17????3/85?1/174/855/17??。 12． 13． 14． 15． x?(5/6,2/3,1/2,1/3,1/6)T。 x?(10/9,7/9,23/9)T。 按高斯消去法，A无法进行第二次消去，换行后可以分解，B第二次消去可乘任意系数，分解不唯一，C可唯一分解。 00??212??1????I13A??1/210??0?3/20?1T711Ty?(3,,2),x?(,?,)?0?21??0?04?，解得???2632。 16． 17． 18． 高斯消去法公式中去掉aij?0(i?j?t)即可推出该公式。 A??1.1,A1?0.8,A2?0.827853,AF?0.842615。 (a) nii?1x19． ??maxxi??xi?x1?nmaxxi?nx1?i?ni?11?i?nn?1A??,(b)ni,j?1?an2ij/n???(ATA)/n??max(AA)?A2?T??(Aii?1nTA)?i,j?1?an2ij?A?。 20． xP?Px?0,xP?0?Px?0?x?0x?yP?P(x?y)?Px?Py?xP?yP，故xP是Rn上的向量范数。 ，， ?xP??Px??Px??xP121221． ， xA?(Ax,x)?0,xA?0?xAx?0?x?0,?xA?LTL12TA?(?Ax,?x)??x12A故 22x?yA??Lx2?2(Lx,Ly)?Ly2???Lx2?2Lx???121222Ly2?Ly2??2?(Ax,x)?(Ay,y)?xA?yA，故xA是Rn上的向量范数。 22． 23． 。 T充分性：若有x和y线性相关且xy?0， 即x?ky(k?0)，代入得 i?1i?1lim(?xi)p??np1/p?maxxilim(?(xi/maxxi)p)1/p?maxxi?x1?i?np??1?i?n1?i?nn?x?y2?(1?k)y2?x2?y2；唯一性：若有x?y2?x2?y2，由于 x?y2?xTx?2xTy?yTy?xTx?yTy?x2?y2，两边同时平方可得出 TTTxTy?0，消去共同项可得xy?xxyy，当且仅当x和y线性相关时等号成立。 24． ?以上图像分别为x1?1，x2?1，x?1。 25． PAP?1xAy'PAyA'?max?max?max?PAP?1y'?0Py?0x?0y'Pyx。 26． 由向量范数的相容性可知存在常数a1,a2?0，使得a1xs?xt?a2xs， 于是令c1?a1/a2>0，c2?a2/a1>0，则对任意A?Rn?n，均有不等式 c1As?maxxs?0a1Axa2xss?maxxt?0Axxtt?At?maxxs?0a2Axa1xss?c2As。 TTT?x?0,AAx??,xAA(Ax)??Ax，可推出???(AA)27． 若，则就有 ???(AAT)即?(ATA)??(AAT)，同理可以推出?(AAT)??(ATA)，综合这两TT?(AA)??(AA)。 点即可得 28． 29． 1A?1?1/max?x??0A?1xx???min?1?x??Ax?0A?1x?miny?Ayy???0。 ，故(A??A)存 ?1A?1?A?A?1?A?1，则 1(I?A?1?A)?1?1/1?A??A在， A?1?(A??A)?A?1?A?(I?A??A)?A??AA??A??A1?A??Acond(A)??AA11?cond(A)?AA。 30． cond(A)??A?A?1?，当??2/3时，cond(A)??3?6?，当??2/3时，cond(A)??4?2/?，当???2/3时，cond(A)?有最小值7。 31． (a) cond(A)2??max/?min?(?max(WTW)/?min(WTW))2?cond(W)22， TTTTTcond(W)??(WW)/?(WW)?cond(W)2，?(WW)??(WW)2maxmin(b), cond(A)2?cond(WT)2cond(W)2。 32． 33． 34． ?1cond(A)2??max/?min?39206.0，cond(A)??A?A??39601。 cond(A)2??max(ATA)?max(AAT)??maxI?maxI?1。 cond(AB)?ABB?1A?1?ABB?1A?1?cond(A)cond(B)。 第八章 解线性方程组的迭代法习题参考答案 1. (a) Jacobi迭代矩阵 0.40.2??0??B?D?1(L?U)???0.2500.5??0.2?0.30??? 3特征方程为 |?I?B|???0.21??0.055?0 特征根均小于1，Jacobi迭代法收敛。 Gauss-Seidel迭代矩阵 ?00.40.2???G?(D?L)?1U??00.40.7??00.040.17??? 326?0 特征方程为 |?I?G|???0.57??0.09?特征根均小于1，Gauss-Seidel迭代法收敛。 (b) Jacobi迭代格式为 X(k?1)?BX(k)?f1 ?1T其中B如上，f1?Db?(?1.250.3)， 迭代18次得 ?， X???3.99999642.99997391.9999999Gauss-Seidel迭代格式为 TX(k?1)?GX(k)?f2 ?1T其中G如上，f2?(D?L)b?(?2.42.61.53)， 迭代8次得 ?。 X???4.0000362.9999852.000003?00?A???20????， 2. 证： T2k则 A?0, 故A?0(k?2,3,4,?)， ?10?I?A?A2???Ak???I?A???21????， 因此 即级数收敛。 3. 证： 设||A||?a， Anlim?0n??n!一方面，， An||An||||A||nanlim?lim?lim?lim?0n??n!n??n??n??n!n!n!另一方面， Anlim?0n??n!因此，即序列收敛于零。 4. 证：由已知迭代公式得迭代矩阵 a12??a11??0?? aa|?I?G|??2?1221?0a11a22则特征多项式为 ??0G???a21??a?22????解得 a12a21a11a22， (k)向量序列x收敛的充要条件是 ??1，即 5. (a) 谱半径?(B)?1.093?1，Jacobi迭代法不收敛； ??r?a12a21?1a11a22。 矩阵A对称正定，故Gauss-Seidel迭代法收敛。 (b) 谱半径?(B)?0?1，Jacobi迭代法收敛； 谱半径?(B)?2?1，Gauss-Seidel迭代法不收敛； limAk?A?0limAk?Ak??6. 证：必要性 ，则 k??， 对任意向量x，有 limAkx?Ax?lim(Ak?A)x?limAk?Ax?0k??k??k?? 因而有 limAkx?Ax?0k??limAx?Ax，即k??k。 ，令xi?ei，则 limAkei?Aeik?? 即当k??时，Ak的任一列向量的极限为A的对应的列向量，因而有 limAk?Ak??。 7. A对称正定，Jacobi迭代法不一定收敛，如题5(a)。 1?(B)?2； 8. (a) Jacobi迭代矩阵的谱半径 (b) Gauss-Seidel迭代矩阵的谱半径?(B)?0.25； 充分性 因对任何向量x，都有k??(c) 两种方法的谱半径均小于1，所以两种方法均收敛。 事实上，对于方程组Ax?b，矩阵A为严格对角占优则Jacobi和Gauss-Seidel迭代法均收敛。 (0)9. 取X?0，迭代公式为 limAkx?Ax??(k?1)(k)(k)(k)X?X?(1?4X?X)1112?4???(k?1)(k)(k)X?X?(4?X1(k?1)?4X2?X3(k))?224???(k?1)(k)(k?1)(k)X?X?(?3?X?4X)3323?4? X??X(k)?5?10?6?使当时迭代终止， 取??1.03时，迭代5次达到 ?； X(5)??0.50000431.0000001?0.4999999取??1时，迭代6次达到 T?； X(6)??0.50000381.0000002?0.4999995取??1.1时，迭代6次达到 T?。 X(6)??0.50000350.9999989?0.500000310. 迭代公式为 T取X(0)??(k?1)(k)(k)(k)(k)X?X?(?12?5X?2X?X)11123?5???(k?1)(k)(k)X?X?(20?X1(k?1)?4X2?2X3(k))?224???(k?1)(k)(k?1)(k?1)(k)X?X?(3?2X?3X?10X)33123?10? ?0，??0.9，迭代8次达到精度要求 T?。 X(8)???4.000272.999892.0000311. 证：所给迭代公式的迭代矩阵为B?I??A， 其n个特征值分别为1???1,1???2,?1???n,(0??i??,i?1,?,n)， 当 0???2?时，有?1?1???i?1,(i?1,2,?,n)， 因而?(B)?1，迭代法收敛。 ri(k?1)(k?1)(k)Xi?Xi?iia即为Gauss-Seidel迭代格式。 12. 证：(a) (b) 由 X(k?1)i?X(k)iri(k?1)?ii(k)(k)?a及Xi??i?X，可得 ?ri(k?1)(k?1)i??(k)iri(k?1)?iia； n?ji?1(k?1)jj?1j?1其中， i?1j?1?bi??aijxj?1(k?1)jni?1(k?1)j??aijxj?i(k)jn(k)j??aijx??aijxi?1(k?1)jn??aijx(jk)j?in ??aij(x?x?j)??aij(x?x)??(?aij??jj?ij?1??aij?(jk))j?i。 (c) (d) (m?1)?1(m)?1(m?1)?1(m)?1z?ABz?Abz??ABz?Ab2， 1212113. (a) 由已知，有，及(m?1)?12(m?1)?1?1?1z?(AB)z?ABAb?Ab1， 112则 (m?1)(m?1)?12(m)(m?1)(AB)zzzz即由1到1的迭代矩阵为，所以由1到1的迭代矩阵为A?1B， ?1?(AB)?1。 则迭代方法收敛的充要条件为 (m?1)?12(m)?1?1?1z?(AB)z?ABAb?Ab1，所以迭代矩阵为12 (b) 由已知可推得1(A?1B)2，则迭代方法收敛的充要条件为?[(A?1B)2]?1。 由迭代矩阵可以看出，(b)迭代法的收敛速度是(a)的2倍。 1a1?1?a2?0,??a?114. 证：由于1?0，当2时，a1 |A|?(1?2a)(1?a)?0，所以A正定。 11?a?2收敛。 Jacobi迭代矩阵谱半径为?(B)?2|a|，所以只对215. 取排列阵P?I23，则 ?A为可约矩阵。 ?5??3PTAP??0??0?213??2?1?1?024??037?? 16. 证： 迭代矩阵的特征方程为|?i(C)I?C|?0， n若?i(C)?0,(i?1,2,?,n)，则|C|?0，所以C?0，即对任给向量X(0)，迭代n (n)n(0)n?1X?CX?f?ff?Cg???cg?g，则 次后，，其中 X(n?1)?Cng?Cn?1g???cg?g?f 即最多迭代n次收敛于方程组的解f。 17. 用SOR方法解方程组AX?b，其中A对称正定，数组x用来存放解向量，用 |p0|?max|xi(k?1)?xi(k)|??1?i?n控制迭代终止，k表示迭代次数。 k=0, i=1 xi?0(i?1,?,n) k?k?1,p0?0 否 i<=n 是 p??(bi??aijxj??aijxj)/aii;j?1j?ii?1nxi?xi?p;i?i?1; |P|>|P0| P0=P; 是 |P0|>ε 否 输出x, k; ?118. 证：方程组的SOR迭代矩阵为L??(D??L)((1??)D??U)， ?1特征方程|(D??L)||(??1??)D???L??U|?0， 即|(??1??)D???L??U|?0， 记G?(??1??)D???L??U