在△PCA中，易知O为AC的中点，又E为PA的中点， ∴EO∥PC.
∵PC?平面PBC，EO?平面PBC，∴EO∥平面PBC. ∴点O到平面PBC的距离就是点E到平面PBC的距离． ∵PC⊥平面ABCD，PC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面ABCD，且两平面的交线为BC. 在平面ABCD内过点O作OH⊥BC于点H， 则OH⊥平面PBC.
1
在Rt△BOC中，BC＝2a，OC＝AC＝3a，
211
∴OB ＝a.由S△BOC＝OC·OB＝BC·OH，
22OB·OCa·3a3得OH＝＝＝a.
BC2a2∴点E到平面PBC的距离为
3
a. 2
30．如图，已知四棱锥S -ABCD，底面梯形ABCD中，AD∥BC，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB是等―→―→
边三角形，已知AC＝2AB＝4，BC＝2AD＝2CD＝25，M是SD上任意一点，SM＝mMD，且m>0.
(1)求证：平面SAB⊥平面MAC；
(2)试确定m的值，使三棱锥S -ABC的体积为三棱锥S-MAC体积的3倍．
【解析】(1)证明：在△ABC中，由于AB＝2，AC＝4，BC＝25，∴AB2＋AC2＝BC2，故AB⊥AC.又平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD＝AB，AC?平面ABCD，∴AC⊥平面SAB，又AC?平面MAC，故平面SAB⊥平面MAC.
(2)VS -MAC＝VM -SAC＝∴
mm
VD -SAC＝V， m＋1m＋1S -ACD
VS -ABCm＋1VS -ABCm＋1S△ABCm＋1
＝·＝·＝·2＝3， VS -MACmVS -ACDmS△ACDm
∴m＝2，即当m＝2时，三棱锥S -ABC的体积为三棱锥S -MAC体积的3倍．
π2131．如图，在三棱柱ABC-DEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE＝，BC＝.点F在平
32
17
1
面ABED内的正投影为G，且点G在AE上，FG＝3，点M在线段CF上，且CM＝CF.
4
(1)证明：直线GM∥平面DEF； (2)求三棱锥M-DEF的体积．
【解析】(1)证明：∵点F在平面ABED内的正投影为G，∴FG⊥平面ABED，∴FG⊥GE，又BC＝
213π
＝EF，FG＝3，∴GE＝.∵四边形ABED是边长为2的菱形，且∠ABE＝，∴AE ＝2，∴AG223
1＝. 2
GHGE313
如图，过点G作GH∥AD交DE于点H，连接FH.则＝，∴GH＝，由CM＝CF得MF＝ADAE242＝GH.
∵GH∥AD∥MF，∴四边形GHFM为平行四边形， ∴GM∥FH.
又GM?平面DEF，FH?平面DEF，∴GM∥平面DEF.
113
(2)由(1)知GM∥平面DEF，连接GD，则有VM -DEF＝VG -DEF.又VG -DEF＝VF -DEG＝FG·S△DEG＝FG·33433
S△DAE＝，∴VM -DEF＝.
44
32.如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD、BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC.
18
证明：(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB. 又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC， 所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD，
BC?平面BCD且BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD. 因为AD?平面ABD，所以BC⊥AD.
又因为AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC， 所以AD⊥平面ABC.
又因为AC?平面ABC，所以AD⊥AC.
33.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
求证：(1)AF∥平面BCE； (2)平面BCE⊥平面CDE.
证明：(1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.
因为F为CD的中点， 1
所以GF∥DE且GF＝DE.
2
因为AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，所以AB∥DE， 所以GF∥AB.
1
又因为AB＝DE，所以GF＝AB.
2
19
所以四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG. 因为AF?平面BCE，BG?平面BCE， 所以AF∥平面BCE.
(2)因为△ACD为等边三角形，F为CD的中点， 所以AF⊥CD.
因为DE⊥平面ACD，AF?平面ACD， 所以DE⊥AF. 又CD∩DE＝D， 所以AF⊥平面CDE.
因为BG∥AF，所以BG⊥平面CDE. 又因为BG?平面BCE， 所以平面BCE⊥平面CDE.
34．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．
(1)求证：AB⊥平面ADC；
(2)若AD＝1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为6，求点B到平面ADE的距离． 【解析】(1)证明：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD， 又DC⊥BD，DC?平面BCD， 所以DC⊥平面ABD. 因为AB?平面ABD， 所以DC⊥AB.
又因为折叠前后均有AD⊥AB， 且DC∩AD＝D， 所以AB⊥平面ADC. (2)由(1)知DC⊥平面ABD，
所以AC在平面ABD内的正投影为AD，
20